全国2008年初中数学联合竞赛试题(含解析).doc

2008年全国初中数学联合竞赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，则代数式+的值为（ ）（A）5 （B）7 （C）9 （D）112、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（ ）（A） （B）4 （C） （D）3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（ ）（A）() 3 （B）() 4 （C）() 5 （D）6、已知实数x，y满足( x –) ( y –) = 2008，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7、设a =，则= 。

8、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM =，∠MAN = 135°，则四边形AMCN的面积为 9、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且| m | + | n | ≤ 1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则| p | + | q | = 10、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 第二试 （A）一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x，不等式a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 （1）恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值二、（本题满分25分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB = BC1）证明：点O在圆D的圆周上；（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。

三、（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) （1）求a，b的值第二试 （B）一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件x + y = 1，x y ≥ 0的一切实数对( x，y )，不等式a y 2 – x y + b x 2 ≥ 0 （1）恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同第二试 （C）一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）设a为质数，b，c为正整数，且满足 ，求a ( b + c )的值一、选择题：1、设a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，则代数式+的值为（ ）（A）5 （B）7 （C）9 （D）112、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（ ）（A） （B）4 （C） （D）3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（ ）（A）() 3 （B）() 4 （C）() 5 （D）6、已知实数x，y满足( x –) ( y –) = 2008，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1【答案】D【解析】∵( x –) ( y –) = 2008，∴x –==二、填空题7、设a =，则= 。

8、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM =，∠MAN = 135°，则四边形AMCN的面积为 9、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且| m | + | n | ≤ 1设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则| p | + | q | = 10、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 2008年全国初中数学联合竞赛第二试 （A）一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x，不等式a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 （1）恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值二、（本题满分25分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB = BC。

1）证明：点O在圆D的圆周上；（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值三、（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) （1）求a，b的值第二试 （B）一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件x + y = 1，x y ≥ 0的一切实数对( x，y )，不等式a y 2 – x y + b x 2 ≥ 0 （1）恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同第二试 （C）一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）设a为质数，b，c为正整数，且满足 ，求a ( b + c )的值。