徐树芳数值线性代数_答案完全版.doc

数值线性代数习题解答习题11.求下三角阵的逆矩阵的详细算法［解］设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量为此我们将T按列分块如下:注意到我们只需运用算法111,逐一求解方程厶爲=勺，i=1,2,便可求得尸=［注意］考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T,前代法）预置歩置T=1jbr丿=1：疋fori=1:«-1T(k+1:=T仗+1:“)-丫欲丿)£(丿+1:end=『0,J”£（刃,刀）end2.设氏丁£丹为两个上三角矩阵，而且线性方程组（ST-心zb是非奇异的，试给出一种运算量为3，）的算法，求解该方程组［解］因（血一ZI）=（S-1T-1）Tf故为求解线性方程组（ST-心x",可先求得上三角矩阵丁的逆矩阵T~\依照上题的思想我们很容易得到计算的算法于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵『t,算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法该算法的的运算量为/）预置歩置亍=IforJ=1：«fork-n2T(krj)=T{kjyT(k,^T(1:k-1J)=7(1:fc-lj)-7(AJ)Z(1:k-1悶endend(2) 计算上三角矩阵§=£-久T・】。

运算量大约为泊心.(3) 用回代法求解方程组：运算量为(4) 用回代法求解方程组：Tx=y运算量为3 2算法总运算量大约为："十丄3 .证明:如果厶•=1-賦是一个Gauss变换，则£<=W嵐也是一个Gauss变换［解］按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵‘+人％是Gauss变换下面我们只需证明它是Gauss变换W7血的逆矩阵事实上(』-賦)(/+蕊)=7+/X-賦-曲屍=I-賦尬；注意到・=仏…©hw…人丿,则显然有就人=°・从而有4 •确定一个Gauss变换L,使_2__2_L3—748［解］比较比较向量⑵和⑵ZSf可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量R34F的第三行加上第一行的2倍于是Gauss变换如下1_Z=212015 .证明：如果E有三角分解，并且是非奇异的，那么定理112中的L和U都是唯一的［证明］设^=4^1=^2^2,其中厶,“都是单位下三角阵，5，®都是上三角阵因为A非奇异的，于是右厶=w注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等,故此，它们都必是单位矩阵。

即骂厶=U眄'=从而Zi=Z2,Uy=TJq・即A的LU分解是唯一的6 •设的定义如下1,如果心J或/=n,气=<7如果心么a其他Sb证明A有满足忖幻和％C的三角分解［证明］令小加是单位下三角阵，27是上三角o?iJ容易验证：A=LU.阵定义如下22_L2=1,2,・・・卫;丿=”.叫彳1J=J0其余7・设A对称且如L=并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式aUal7A_证明川2仍是对称阵［证明］根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为1L1=10=-生ZL^ii1^11其中如=（勺1，…,％1）,将人分块为T'4^11a\①期」由A的对称性，&对称性则是显而易见的8.设A=MeR那么是严格对角占优阵，即A满足k=1?2?KI>Zh乂设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式ha_试证：矩阵堆仍是严格对角占优阵由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵來说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果［证明］依上题的分析过程易知，题中的4=［爲］其中「=2rrn.于是&主对角线上的元素满足i=2,…卫・(1)>aii-“ailaliaii_all堆非主对角线上的元素满足竝站抖茫际LJU2P11JU22JUi\a^\>乞血由于A是严格对角占优的,22Bi/

9•设Ae^k有三角分解指出当把Gauss消去法应用于"次（"+1）矩阵［卫丄］时，怎样才能不必存储l而解出Ax=b?需要多少次乘法运算？［解］用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是丄"，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有ZT认］=囚0切这就是说，方程组Ax=b和吩風是同解方程而后者是上三角形方程组，可运用本章算法11-2求解这样我们就不必存储L,通求解方程组5=,來求解原方程组Ax=bo算法如下：（1）用初等变换化［心为⑺厂切；forA;=1:«-1A(k+1:=A(k+1:&上+1:冷七+1:刃)二卫(上+1:n,k+1:-A(k+1:刀Qj4(匕上+1:«)b(k+1:w)=b(七+1:n)—A(k+1:n.k)b(k)end（2）利用回代法求解方程组％=广陀该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为壬（33釣"=2/十2宀i5310.A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为巧1焯ha_的矩阵，证明&仍是正定阵［证明］不妨设从而有LrA=^110则有10玉1an「r~\o'anaia.an°W4J-1I.两1__oAJ厶卫蹲=由于“非奇异，故对且汇Hd，构造路及尹=可兗，则由A的正定性有0

11.设kn-kAik并且丘】是非奇异的矩阵$=&2-称为是去在A中的Schur余阵证明：如果丘】有三角分解，那么经过氐步Gauss消去以后,S正好等于(11-4)的矩阵列？•［证明］因为丘】有三角分解，所以矩阵A可保证前丘步Gauss消去法可以顺利完成即有如下单位下三角矩阵n-kLA=注意到415蜡］上总汕-上n-k比较两式便知，厶1=一4』补，故有阀？=&2_&14十12. 证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU,则对任意彳有#［证明］略13. 利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法［解］设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到PA=LU这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵于是，通过求解下列I】个方程组#便可求得=［小，乜，・・・，兀］尸也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：(1) 用列主元Gauss消去法得到：皿=⑴；(2) 经求解:°%=幻・丿=12…卫.得(PA)~l=X丘斜.(3) 对X进行列置换得：川=於14.假定己知AwRg的三角分解:店LU试设计一个算法來计算犷】的(i,j)元素［解］求解方程组LUx=则X的第i个分量吗就是的(ij)元素。

15. 证明：如果尺冶"是严格对角占优阵(参见第8题)，那么A有三角分解A=LU并且31［证明］仿照第8题的证明，容易证明：对于川尺冶"是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到allal0A=L^A其中採e"""仍是严格对角占优阵A的三角分解A=LU中h卜1这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元因此，16. 形如"3比严丘的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中（1）假定"3卫）非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式2）向量兀V丈满足何种条件才能保证存在尹丘使得（3）给出一•种利用Gauss-Jordan变换求虫e尺处"的逆矩阵人1的算法并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底［解］为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：性质1：张KM）"-九.事实上，-Ji性质2：Gauss-Jordan变换恥二"^朮）非奇异的充分必要条件是九莖1（1）运用待定法，首先设"0,冊二'-刀％的逆矩阵为"0,七）=』-恣,则有/=”（兀上）=（』-应）（』-><）=』-〃；-琢十试城=z-0+x-肿）说故应有兀=y®,-1），九莖1（2）欲使笹3环=壮,则应有心兀社111XA+1%如’，耳，xjxj，心丿因此，严应满足瓦罡0,便可按上述方法得到尹已丈使得（3）设A的逆矩阵二氐爲，…,7；］,贝g应有/巧.二勺•，j-1,…丿.下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。

算法如卫0—A于卩）—7T：假定A的各阶主子阵非零，记*一乩2-1第1步：假若尿丁疋°,令乃=0-i/时卫踣伺役…卫评伺,构造M=WlJ）,用M］左乘川叫和旳，得到尸⑴=砒⑼；…船…媳其中诰'毘，Sza屏）'an诸、叩—绻硝，“2,…用严2,…，比^11叔⑴土n第2步：假定如2HU,令『2=（雄"胡?‘1-i/逡，矚'/谓'…卫霸i遲y，构造“2=川仏,2）,用M左乘虫⑴和『⑴，得到7（2）=“2尸⑴；胡？…壊虧）=岖能，其中a⑴砧）二‘1~134,…，刃，丿=3…丿.^11严）工n照此下去，直到第1】步：假定°線HU,儿=G严/盅巴…，空慑/4巴1-1/盘叮，构造M=M0"）,用M左乘川I）和01）,得到占図=胚川7,旳=叽邪7;经上述n步，我们得知：in皿…m齊“心…叽故A~l=尹何从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：以严工°>—1,…“我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理定理：址严工°，曲二1，・・也）的充分必要条件是矩阵/的各阶顺序主子阵非奇异［证明］对于氐用归纳法当无=1时，4=金留，定理显然成立假定定理直到氐一1成立，下面只需证明：若4，・・・，4・］非奇异，则血非奇异的充要条件是眯7°即可。

由归纳假定知昭心工°，21，・・・我7因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行无一】步，即可得到无一】个Gauss-Jordan变换M使川円二“汐也…(164)由此可知川9"的氐阶顺序主子阵有如下形式九*__0