因式分解讲义秋.doc

1专 题 因式分解教学内容〖知识点〗多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式 ),(cbamcba其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．(2)运用公式法，即用写出结果．))(,2223baba(3)十字相乘法对于二次项系数为 l 的二次三项式 寻找满足 ab=q，a+b=p 的 a，b，如有，则,2qpx);(2bxaqpx(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是 “-”号，括到括号里的各项都改变符号.〖分解因式的步骤〗（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式〖分解因式时常见的思维误区〗提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等一、 提公因式法【典型例题】【例 1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式， （ ）⑴ ； ⑵2()xyxy322()xx⑶ ； ⑷23(3)11yy【例 2】 分解因式⑴ ⑵2422325420()8()xyzabxyzabxzab 346()12()mn2【巩固】 分解因式：⑴ ⑵2316()56()mnm(23)((32)(abab【巩固】 化简下列多项式： 23206111xxxx【例 3】 分解因式：⑴ ⑵212150nnabab212146nmnmaba【巩固】 分解因式： ， 为正整数.2122()()()()nnnxyxzyxyz【例 4】 (2005 年长沙市中考题)先化简再求值， ，其中 ， ．2yxyx2x1y【巩固】 求代数式的值： ，其中 .2 2(3)1(3)1()3xxxx23【例 5】 已知： ，求 的值.2bca21()()(2)333abcabca11【练习题】1．下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A． 23(2)3xx B． ()()mabnmabnC． 16 D． 22()2．把多项式 2()()ma分解因式正确的是（ ）A．  B． (1)a C． ()1aD． 2()am4、若 ，那么 ＝ 。

01292015、 、 满足 ，分解因式 ＝ n4nnmxyx26.分解因式： 7.分解因式： ⑶224()xax 32252461zxyz8.分解因式： ( 为大于 1 的自然数)2121()()mmpqp 2123nnxyxz9． （6 分）应用简便方法计算4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.810． （6 分）先化简再求值（2x＋1） 2（3x－2）－（2x＋1） （3x－2） 2－x（2x＋1） （2－3x） （其中，32x）二、公式法【分类解析】1. 把 分解因式的结果是（ ）ab22A. B. C. D. ()()())ab2()ab2()()aba222. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用1例：已知多项式 有一个因式是 ，求 的值23xm21xm3. 在几何题中的应用例：已知 是 的三条边，且满足 ，试判断 的形状abc、 、 ABCabcabc220ABC4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。

5、中考点拨：例 1：因式分解： ________xy324例 2：分解因式： _________83x例 3. 已知： ，求 的值ambcm121212， ， abacb222例 4. 已知 ，求证：abcabc0033， abc550例 5. 若 ，求 的值xyxy32279， xy2【实战模拟】1. 分解因式：（1） （2） （3）()()a231xyx52()()axyaxy2234()()()12. 已知： ，求 的值x13x413. 若 是三角形的三条边，求证：abc， ， abc2204. 已知： ，求 的值2102015. 已知 是不全相等的实数，且 ，试求abc， ， abcbca033，（1） 的值； （2） 的值 b()()()11三、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式—— 进行分解)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和例 1、分解因式： 652x（二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— cbxa2条件：（1） 2a11（2） 1c22（3） 12b11分解结果： =x2 ))((21cxa例 2、分解因式： 分解因式：（1） （2）03 6752x2732x1（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 3、分解因式： 分解因式(1) (2) 228ba 223yx2286nm（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 4、 分解因式：（1） （2）2267yx 2247152ax【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例 1. 已知： ，求 x 的取值范围。

x2140例 2. 如果 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的值，并把这个xmx432多项式分解因式2. 在几何学中的应用例.长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足 ，求长方形的面积xyxy2203、在代数证明题中的应用例. 证明：若 是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 是 49 的倍数4xy 810322xy4、中考点拨例 1.把 分解因式的结果是________________22495yxy例 2. 因式分解： _______________67515、题型展示例 1. 若 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（ ）xym256A. 1 B. -1 C. D. 21例 2. 已知：a、b 、c 为互不相等的数，且满足 求证：acbac24abc例 3. 若 有一因式 求 a，并将原式因式分解xxa3257x1【实战模拟】1. 分解因式：（1） （2） （3）ab216391574212xynnnxx23723. 已知多项式 有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。

2133xxk4. 分解因式： 5. ，求 的值352942xyxyxyxy05312..， 31292xy四、分组分解因式【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 分解因式，所得的结果为（ ）21142aa()AaBCD.().()2 2221例 2. 分解因式 xx543112. 在几何学中的应用例：三条线段长分别为 a、b、c，满足 证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形abcbac， 223. 在方程中的应用 例：求方程 的整数解xy4、中考点拨例 1.分解因式： _____________122mn例 2．分解因式： ____________xy例 3. 分解因式： ____________32415、题型展示：例 1. 分解因式： 分解因式：mnn22()x32例 2. 已知： ，求 ab+cd 的值abcdacbd22110， ， 且【实战模拟】1. 填空题：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：132243123abxymnn()2. 已知： 3. 分解因式：abcacbc03223， 求 的 值 。

15a4. 已知： ，试求 A 的表达式xyzAxyzxyzxyz22 330 ， 是 一 个 关 于 的 一 次 多 项 式 ， 且, ()15. 证明： ()()()()abaabb21122五、换元法例 1、分解因式（1） 205)1205(xx练习 1、分解因式（1） （2） )(4)(222 yxyx 90)384)(23(2 xx例 2、分解因式（1） （2）62234xx 14234xx练习 2、 （1） （2）6737624xx )(2134xx六、添项、拆项、配方法例 3、分解因式（1） （2）43x369x练习 3、分解因式（1） （2） 89x 424)1()()1(x1（3） （4）1724x 2241axx七、待定系数法例 4、分解因式 613622yxyx例 5、 （1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分解此多项式m652ymx（2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值 823bxa1x2ba练习 5、 （1）分解因式 （2）分解因式910322yxxy 675232 yxxy（3） 已知： 能分解成两个一次因式之积，求常数 并且分解因式。

pyxyx146322 p（4） 为何值时， 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式k 25322yxkxy1。