第二章 泊松过程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,1,第二章 泊松过程,泊松过程定义,,泊松过程的数字特征,,时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布,,复合泊松过程,,非齐次泊松过程,,滤过泊松过程,2,计数过程：,,称随机过程,{N(t),t≥0},为计数过程，若,N(t,),表示到时刻,t,为止已发生的“事件,A”,的总数，且,N(t,),满足下列条件：,,,N(t,) ≥0;,,,N(t,),取正整数值；,,若,s0,），事件,A,发生的次数,N(t+s)-N(t,),仅与时间差,s,有关，而与,t,无关3,泊松过程定义,1,：,,称计数过程,{X(t),t≥0},为具有参数,λ,>0,的泊松过程，若它满足下列条件：,,1,、,X(0)=0,；,,2,、,X(t,),是独立增量过程；,,3,、在任一长度为,t,的区间中，事件,A,发生的次数服从参数,λ,>0,的泊松分布，即对任意,s,t,≥,0,，有,泊松过程同时也是平稳增量过程,表示单位时间内事件,A,发生的平均个数，故称为过程的速率或强度,4,泊松过程定义,2,：,,称计数过程,{X(t),t≥0},为具有参数,λ,>0,的泊松过程，若它满足下列条件：,,,X(0)=0,；,,,X(t,),是独立、平稳增量过程；,,X(t,),满足下列两式：,例如：,,交换机在一段时间内接到的呼叫次数；,,火车站某段时间内购买车票的旅客数；,,机器在一段时间内发生故障的次数；,,保险的理赔,5,定理 ：,,定义,1,和定义,2,是等价的。

例子：设交换机每分钟接到的次数,X(t,),是强度为,λ,的,泊松过程求,,两分钟内接到,3,次呼叫的概率第二分钟内接到第,3,次呼叫的概率6,泊松过程的数字特征,设,{X(t),t≥0},是泊松过程，对任意的,t,s∈[0, ∞),，且,ss,1,+s,2,|S>s,1,},即假定最近一次事件,A,发生的时间在,s,1,时刻，下一次事件,A,发生的时间至少在将来,s,2,时刻的概率,8,时间间隔的分布,设,{N(t),t≥0},是泊松过程，令,N(t,),表示,t,时刻事件,A,发生的次数，,T,n,表示从第（,n-1,）次事件,A,发生到第,n,次事件,A,发生的时间间隔9,定理：,,设,{X(t),t≥0},为具有参数,λ,的泊松过程，,{T,n,,n≥1},是对应的时间间隔序列，则随机变量,T,n,是独立同分布的均值为,1/,λ,的指数分布对于任意,n=1,2, …,事件,A,相继到达的时间间隔,T,n,的分布为,概率密度为,10,等待时间的分布,等待时间,W,n,是指第,n,次事件,A,到达的时间分布,因此,W,n,是,n,个相互独立的指数分布随机变量之和。

11,定理：,,设,{W,n,,n≥1},是与泊松过程,{X(t),t≥0},对应的一个等待时间序列，则,W,n,服从参数为,n,与,λ,的,Г,分布，其概率密度为,例：已知仪器在,[,0,，,t],内发生振动的次数,X(t,),是具有参数,λ,的,泊松过程，若仪器振动,k,（,k>=1,）次就会出现故障，求仪器在时刻,t,0,正常工作的概率12,到达时间的条件分布,假设在,[0,t],内时间,A,已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间,W,1,的分布泊松过程,,平稳独立增量过程,可以认为,[0,t],内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在,[0,t],上服从均匀分布对于,s

1,、设,{X(t),t≥0},是泊松过程，在给定,[0,t],内事件,A,发生,n,次的条件下，这,n,次到达时间,W,1,，,W,2,, …,，,W,n,,，每一个都是,U[0,t],的一个样本，且相互独立2,、若不考虑其大小顺序，其分布就如,n,个独立的均匀随机变量,U[0,t],，如,到达时间的条件分布的说明,3,、如果我们有一组,n,个独立均匀分布,U[0,t],随机变量的观测值，将其按大小排列，则可以将其视为给定,X(t,)=n,的齐次泊松过程的,n,个到达点，是一种产生齐次泊松过程的方法,15,例题,,设,{X,1,(,t),t,≥0},和,{X,2,(,t),t,≥0},是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为,λ,1,和,λ,2,，记 为过程,X,1,(t),的第,k,次事件到达时间， 为过程,X,2,(t),的第,1,次事件到达时间，求,例题,,有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费,1,元，设签约客户为参数为,λ,的泊松过程，求公司在,(0,，,t],时间段内的平均总收入16,非齐次泊松过程,允许时刻,t,的来到强度是,t,的函数,定义：,,称计数过程,{X(t),t≥0},为具有跳跃强度函数,λ,(t),的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：,,,X(0)=0,；,,,X(t,),是独立增量过程；,,,非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为,17,定理：,,设,{X(t),t≥0},为具有均值函数 非齐次泊松过程，则有,或,18,到达时间的条件分布,19,例题,,设,{X(t),t≥0},是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程（,ω,≠0,），求,E[X(t,)],和,D[X(t,)],。

例题,,设某路公共汽车从早上,5,时到晚上,9,时有车发出，乘客流量如下：,5,时按平均乘客为,200,人,/,时计算；,5,时至,8,时乘客平均到达率按线性增加，,8,时到达率为,1400,人,/,时；,8,时至,18,时保持平均到达率不变；,18,时到,21,时从到达率,1400,人,/,时按线性下降，到,21,时为,200,人,/,时假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的求,12,时至,14,时有,2000,人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望20,复合泊松过程,定义：,,设,{N(t),t≥0},是强度为,λ,的泊松过程，,{,Y,k,,k,=1,2,,…,},是一列独立同分布随机变量，且与,{N(t),t≥0},独立，令,则称,{X(t),t≥0},为复合泊松过程N(t,),Y,k,X(t,),在时间段,(0,t],内来到商店的顾客数,第,k,个顾客在商店所花的钱数,该商店在,(0,t],时间段内的营业额,21,定理,,设 是复合泊松过程，则,,,{,X(t,), t≥0},是独立增量过程；,,,X(t,),的特征函数 ，其中 是随机变量,Y,1,的特征函数，,λ,是时间的到达率；,,若,E(Y,1,2,)<,∞,，则,例题：结巴（,stuttering,）泊松过程,,对于一个复合泊松过程，如果,Y,n,服从几何分布：,23,泊松过程的分解,例题,,设到达某商场的顾客组成强度为,λ,的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为,p,，且与其他顾客是否购买商品无关，若,{,X,(,t,,),，,t,≥0,},为购买商品的顾客数，证明,{,X,(,t,,),，,t,≥0},是强度为,λ,p,的泊松过程。

泊松过程的分解：,,强度为,λ,的泊松过程，事件,A,在时刻,s,到达，则此到达可分解成概率为,P,(,s,),的,type-,1,到达和概率为,1-,P,(,s,),,的,type-,2,到达，用,{,N,i,,(,t,),,，,t,≥0},，,i=1,2,，表示,type-,i,在时间,(0,t],的达到次数，则有,24,泊松过程的分解可推广到,n,个类型，用,P,i,(,s,),表示,type-i,在时刻,s,达到的概率，定义：,,,,,则,{,N,i,(,t,),,，,t,≥0},为参数,λ,p,i,的泊松分布，且,{,N,i,,(,t,)},相互独立,例：某沙滩汽车的到达服从指数为,λ,的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间分布为,G(s,),，假定各汽车逗留时间,之间，,以及逗留时间与到达时间之间相互独立，用,N,1,,(,t,),,表示时刻,t,离开沙滩的汽车数量，,N,2,,(,t,),,表示时刻,t,仍然在沙滩上的汽车数量，则,N,1,(,t,),和,N,2,,(,t,),,是一个,type-1,和,type-2,的分解25,作业,,,3.1 3.5 3.7,。