高等代数第六章自测题精编版.doc

第六章 线性空间自测题一、选择题1． 设 M 是 R 上全体 n 阶矩阵的集合， 定义( A)=|A|,A∈ M ，则是 M 到 R的一个（）.A．单射B．满射C ．双射D ．既非单射也非满射2．把复数域 C 看成 R 上的线性空间，这个空间的维数是（） .A．一维B．二维C． 三维D．无限维3． R 是复数域， P 是任一数域，则集合R∩ P 对于通常的数的加法与乘法是（） .A． C 上的线性空间B．R 上的线性空间C． Q 上的线性空间D．不构成线性空间4．已知 P2 的两组基：1( a1 ,a2 )2b1 ,b2与 1c1, c2， 2d1 ,d2,则由基1、 2到基1 、2 的过渡矩阵为（） .a1b11d1c11a1b1c1d1A．b2c2d2B．d2a2b2a2c2a1a21c2c11a1a2C．c1c2b1b2d1d2D．d 2b1b2d15．全体正实数集集合 R+ 中，加法与数乘定义为：a⊕ b=ab, ka=ak，其中 a、 b∈ R+，k∈ R，则 R+构成 R 上的线性空间，它的维数与基为（） .A．维数 =0 ，没有基B．维数 =1， 1 是基C．维数 =1， 2 是基D．维数 =2， 3、 5 是基6.按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（） .A． W1APn nAAB． W2A Pn nA为上三角形矩阵C． W3A Pn n A 0D． W4A Pn n AA7.数域 P 上线性空间 V 的维数为 r， 1 ,2, ,n V ，且 V 中任意向量可由1, 2,,n 线性表出，则下列结论成立的是（） .A． rnB． r nC ． rnD． rn8.设 W1P[ x] 3,W2 P[ x] 4 ，则 dim( W1W2 )（） .A． 2B． 3C． 4D． 59. 已知W( a,2a,3a) aR 在 R 上构成线性空间，则W 的基为（） .A． (1,2,3)B． ( a, a, a)C． (a,2a,3a)D．(1,0,0) ( 0,2,0) (0,0,3)10.若 W1,W2 均为线性空间 V 的子空间，则下列等式成立的是（） .A． W1(W1W2) W1W2B． W1(W1 W2 ) W1 W21C．W1(W1W2) W1D． W1(W1W2) W211．已知( x1 , x2 , x3) ，下列集合中是R3 的子空间的为（） .A．x30B．x12 x23x30C．x31D ．x12x23x3112．下列集合有（）个是 Rn 的子空间 .w1{( x1, x2 , xn ) | xiR, x1x2xn0} ；w2{( x1, x2 ,xn ) | xiR, x1x2xn } ；w3{( a, b,a, b, ,a,b) |a,bR} ；w4{( x1, x2 ,xn ) | xi 为整数 } ；A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个13. 设 1,2 ,3与 1 , 2 , 3 都是三维向量空间V 的基，且11111,212,3123 ，则矩阵 P101是由基1,2 , 3001到（）的过渡矩阵 .A．2,1,3B．1,2,3C．2,3,1D．3,2, 1二、判断题1．设 V 是 n 维线性空间，1， 2，，nV ，且 V 中的每一个向量均可由它们线性表示，则1，2， ， n 是 V的一组基 .（ √）2． 1 （ 1，1，1），2 =（ 1，-1，1），3 =（ -1，1，1）是三维空间 R3 的一组基 .（√）3．若 V 1,V 2 为有限维线性空间V 的子空间，则 V1V2也是 V 的子空间 .（ ×）4．设 1，2，3，4 是线性空间 V 的一组线性无关向量，则L（ 1， 2， 3， 4）=L（ 1， 2）⊕ L（ 3， 4）.（√ ）5．设 V1、V 2、V3 是线性空间 V 的三个子空间， 且 V1∩ V 2=0 ，V2∩ V 3=0，V1∩ V 3=0 ，则和 V1+V 2+V 3 是直和 .（×）6. Rn 中的子集( a1, 0,...，0, an )a1,anR为子空间 .（√）27. Rn 中的子集 ( a1,a2 ,..., an )nai 1， aiR 为子空间 .（ ×）i 18. Rn 中的子集 ( a1, a2 ,..., an )n（ √ai 0 为子空间 .）i 19.R3 的向量1(3,1,4), 2(2,5, 1),310.R3 的向量1(1, 2,3),2(2,1,0),311.R3 的向量1(1,0,0),2(1,1,0),3(4,3,7) 线性相关 .（×）(1,7,9) 线性相关 .（√ ）(1,1,1)的线性相关 .（×）12. 设 W1 , W2 是线性空间 V 的两个子空间，那么它们的和 W1 +W2 也是 V 的一个子空间 .（ √ ）13. 设 W1 , W2 是线性空间 V 的两个子空间，那么它们的交 W1 W2 也是 V 的一个子空间 .（ √）14.设 W1 , W2 都是数域 P 上的线性空间 V 的有限维子空间，那么W1W2 也是有限维的，并且 dim( W1 W2 )dim( W1 ) dim(W2 )dim( W1W2).（√）三、填空题1．设: MM 是一双射 ,则-1 =.2．设 V 是三维线性空间，则V 的二维子空间有无数个 .3 ．设有P2的一组基11,2,20,1，则向量= （ a ， b）在这组基下的坐标为.4.1 （ 1，2，3），2 =（3，-1，2）， 3 =（ 2，3，x） , 则 x=5 时，1、 2、3 线性相关 .5．向量组1（ 1， 0， 0），2 =（ 0， 1，0），3 =（ 3，-1， 0）的极大无关组是.6.向量空间 V 的基 1,2， ， n 到基n , n1 ,, 1, 的过渡矩阵为.7.复数域 C1作为实数域 R 上的向量空间，则dimC =,它的一个基为.复数域 C 作为复数域 C 上的向量空间，则dim C,它的一个基为.8.设{ 1,2 ,, n } 是向量空间 V 的一个基，由该基到{2,,n , 1}的过渡矩阵为.9.设 V 与 W 都是 P 上的两个有限维线性空间，则VW.310.数域P上任一 n 维向量空间都与Pn（不同构，同构）.11.任一有限维的向量空间的基是的，但任两个基所含向量个数是.12. 令 S 是 数 域 P 上 一 切 满 足 条 件 A A 的 n 阶 矩 阵 A 所 成 的 线 性 空 间 ， 则dim S =.13.令 S是数域 P上一切满足条件 AA 的 n 阶 矩 阵 A 所 成 的 线 性 空 间 ， 则dim S =.14.令 S 是数域 P 上一切 n 阶上三角形矩阵所成的线性空间，则dim S =.四、简答题1．证明： x2+x， x2-x， x+1 是线性空间 R[x]3 的一组基，并求 2x 2+7 x +3 在这组基下的坐标 .2.证明： { x2 , x2x, x1} 是 C[ x]3 的一个基， 并求多项式 x 2x 1 与 x 22x 1 在该基下的坐标 .。