《多元生命函数》PPT课件.ppt

第七章多元生命函数本章结构n多元生命函数简介n 连生状况n最后生存状况n生命模型n人寿保险与生存年金n在特殊死亡律假定下求值本章中英文单词对照n多元生命函数n连生状态n最后生存状态n共同震动n继承年金nMultiple life functionnJoint-life statusnLast-survivor statusnCommon shocknReversionary annuities第一节多重生命函数简介多重生命函数的定义及作用n多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数n作用n养老金给付场合n合伙人联保场合n遗产税计算场合多元剩余寿命的联合分布n联合密度函数n联合分布函数多元剩余寿命的联合分布n边际生存函数第二节多元生命状况连生状况n连生状况定义：n当所有成员都活着时的状况，称为连生状况当有一个成员死亡时，连生状况就结束了简记连生状况为：n连生状况剩余寿命等于：n连生状况剩余寿命的性质：求连生状况的剩余寿命实质上就是m个生命的最小次序统计量两个体连生状况的生命函数n分布函数n生存函数两个体连生状况的生命函数n密度函数n死亡效力函数两个体连生状况的生命函数n两独立个体至少有一个在第K年死亡的概率n连生状况整值剩余寿命为k的概率两个体连生状态的生命函数n剩余寿命期望最后生存状况n最后生存状况定义：n只要有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。

只有当所有成员都死亡时，最后生命状况才算结束简记为：n最后生存状况的剩余寿命等于：n最后生存状况的剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次序统计量多元生存状况剩余寿命的关系n n n n 两个体最后生存状况的生命函数n分布函数 等价公式两个体最后生存状况的生命函数n生存函数 等价公式两个体最后生存状况的生命函数n密度函数 等价公式两个体最后生存状况的生命函数n死亡效力函数两个体最后生存状况的生命函数n最后生存状况整值剩余寿命为k的概率n等价公式两个体最后生存状态的生命函数n剩余寿命期望例1：n假定（60）和（65）服从Moivre 生存模型，n计算例1答案例1答案例2n假定：n不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟的人的死亡力的一半n不抽烟的人数满足如下方程n有一对夫妻丈夫（65）不抽烟，妻子（55）抽烟，求他们还能共同生活的期望时间例2答案联合生命状况剩余寿命协方差分析第三节联合生命模型简介n联合生命模型分为两类：nCommon Skhoc 模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。

nCopulas模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析Common Shock 模型 如果有 满足且有一个Common Shock 随机变量Z，它独立于 ,且服从指数生存函数令则联合生命状况分析 n记n边际生存函数为 n连生状况剩余寿命生存函数为 n最后生存状况剩余寿命生存函数为 第四节人寿保险与生存年金 寿险趸缴纯保费的确定原理联合生命状况下寿险趸缴保费的确定n连生状况n最后生存状况联合生命状况下生存年金的确定n原理n连生状况n最后生存状况连生状况和最后死亡状况的关系例3n例1续，假定n计算例3答案（1）例3答案（2）单重次顺位函数n — 在n年之内，(x) 先于(y)死亡单重次顺位函数n — 在n年之内， (y) 后于(x)死亡n 顺位保险例4n例1续n求例5n假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性n已知n求两者中第一个死亡者的期望寿命例5答案例4答案（1）例4答案（2）继承年金(reversionary annuities)n继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。

这种年金叫做继承年金，简记为 n终身继承年金n定期继承年金第五节特殊死亡律假定下求值Gomperz假定下 n目的：寻找能替代连生状态的单个生命状态w，即n已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有n由这个等式可求出w，于是Makeham假定下 n由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用两个同年龄的连生状态（w，w）作替换，即n已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有n由这个等式可求出，于是 例6n假定生命表服从Makeham分布n且多元生命状态20:30可以被W:W代替n假定多元生命状态10:W可以被Z:Z代替n求Z.例6答案均匀分布假定n在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质补充案例1n假定有一20岁的女性和一50岁的男性已知n求第一个死亡的期望年龄补充案例2n求（10）和（20）都能活到他们目前年龄的两倍且至少有一个能活到他目前年龄的3倍的概率补充案例3n求（25）和（45）死亡间隔在10年内的概率。

补充案例4n确定该年金产品的现时值n（X）和（Y）都存活时给付1n（X）死亡后降到1/3n（Y）死亡后降到1/4n已知。