第七章伪投影与多圆锥投影.ppt

第七章第七章 伪投影与多圆锥投影伪投影与多圆锥投影  学习指导学习指导•学习目标与要求学习目标与要求 1．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影表象 2．了解伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的一般公式 3．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的特点 4．掌握多圆锥投影的几何构成及一般公式 5．掌握几种多圆锥投影的应用及变形特点•学习重点学习重点 1．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影表象 2．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的特点 3．了解掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的应用 4．掌握几种多圆锥投影的应用及变形特点•学习难点学习难点 1．伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影的特点 2．多圆锥投影的几何构成一一 伪投影的共同特点伪投影的共同特点1 纬线投影与原投影一致2 经线投影均将过去的直经线改为对称于中央直经线的曲线3 均无等角性质的投影二二 伪圆锥投影伪圆锥投影 伪圆锥投影的定义是：纬线投影为一组同心圆圆弧，经线为对称于中央直经线的曲线。

由此可见，纬线的投影仅是纬度φ的函数，而经线的投影则是纬度φ和经度λ的函数　由此可写出伪圆锥投影的一般公式：•式中q为圆心纵坐标，因为纬线为同心圆，所以q在一个投影中是常数•伪圆锥投影的变形公式，注意到q为常数，因此q′=0，可得： •在伪圆锥投影中，除中央经线外，其余经线均为曲线如若经线成为交于纬线共同圆心的直线束，则就成为圆锥投影另一方面，若纬线半径无穷大，则纬线变成一组平行直线，这时所得到的是伪圆柱投影可见，不论圆锥投影或伪圆柱投影都可说是伪圆锥投影的特例•按变形性质来分析伪圆锥投影，因为伪圆锥投影的经纬线不正交，故不可能有等角投影，而只能有等面积和任意投影在伪圆锥投影的实际应用中，最常见的是彭纳等面积伪圆锥投影下面我们仅介绍这种投影纬线长度保持不变的等面积伪圆锥投影纬线长度保持不变的等面积伪圆锥投影——彭纳投影彭纳投影（（Bonne Projection））1）中央经线投影为直线，并保持长度无变形，即m0=12）纬线投影为同心圆圆弧且保持长度无变形，即n=13）中央经线与所有纬线正交，而中间纬线（切纬线）则与所有经线正交4）面积比P=1彭纳投影是保持纬线长度不变的等面积伪圆锥投影，即n=1，P=1。

有积分后得 此处C为积分常数，如以中央经线作为0°起算，则λ=0时δ=0，故以n=1代入之得 积分后得 ρ=C—s 式中C为积分常数，s为赤道到纬线φ的经线弧长 变形公式如下： 因中央经线与一切纬线正交，故其上θ′=90°，即ε=0，故按中央经线长度比m0=1，由此可知，彭纳投影中央经线无长度变形  为了决定常数C，令指定的某一纬线φ0上没有变形，即与所有经线正交，即ε=0，则有 即　　　　　ρ0=N0ctgφ0 由此得　　　C=N0ctgφ0+s0 通常取投影区域中部纬度作为φ0，其上n0=1并ε=0 因为彭纳投影的中央经线λ0及指定的纬线φ0上没有变形，所以它的等变形线在中心点λ0、φ0附近是“双曲线”彭纳投影的经纬线网如图所示图中另一组曲线是角度等变形线，对称于中央经线 彭纳投影曾以用于法国地形图而著名其后因发现它由于不是等角投影而不适宜于军事方面使用，故现很少用于地形图现在一般用于小比例尺地图例如地图出版社出版的《世界地图集》中的亚洲政区图，单幅的亚洲地图，英国《太晤士世界地图集》中澳洲与西南太平洋图，均用此投影。

在其他国家出版的地图和地图集中，也常可看到用该投影编制的欧洲、亚洲、北美洲和南美洲以及个别地区的地图三三 伪圆柱投影伪圆柱投影 伪圆柱投影中纬线投影为平行直线，经线投影为对称于中央直经线的曲线伪圆柱投影可视为伪圆锥投影的特例，当后者的纬圈半径为无穷大时，即成为伪圆柱投影根据经纬线形状可知，伪圆柱投影中不可能有等角投影，而只能有等面积和任意投影　　 在伪圆柱投影，纬线的投影仅为纬度φ的函数，而经线的投影是经、纬度的函数故可写出 x=f1(φ)　　　　 y=f2(φ，λ) 本投影中通常以中央经线为x轴，赤道为y轴变形公式为： 通常伪圆柱投影用于小比例尺制图，故可把地球视为正球体这时，上式中的M、N均可以用R代之等面积伪圆柱投影的一般公式 伪圆柱投影中以等面积投影较多，为此我们先推导出等面积伪圆柱投影的一般公式，以便于探求具体的投影公式　　在等面积条件下P=1，故有： 移项积分后 式中C为积分常数，因中央经线为直线，λ由中央经线起算，当λ=0时，y=0，故C=0，则 规定伪圆柱投影经线形状的一般公式　　在研究伪圆柱投影时，通常可规定投影中经线的形状，为此我们先导出实践中应用较多的经线为正弦曲线与椭圆曲线的一般公式。

2几种等面积伪圆柱投影几种等面积伪圆柱投影1）正弦曲线等面积伪圆柱投影）正弦曲线等面积伪圆柱投影——桑逊投影桑逊投影(Sanson-Flamsteed Projection) 本投影纬线投影后为间隔相等且互相平行的直线，中央经线为垂直于各纬线的直线，其他经线投影后为正弦曲线，并对称于中央经线　　该投影有以下特性：–n=1， P=1，m0=1，–纬线投影为间隔相等的平行直线–经线投影为对称于中央直经线的正弦曲线–适合沿中央经线和赤道延伸的区域的地图投影，高纬度地区变形大 上图是正弦曲线等面积伪圆柱投影略图由图可见，在该投影中远离中央经线和纬度愈高之处变形愈大故该投影最适宜于沿赤道或沿中央经线伸展的地区 等面积，即P=1，所有纬线无长度变形，即n=1，中央经线保持等长，即m0=1 　　由这些条件，推得投影公式(推导从略)如下：2）极点投影成线的等面积伪圆柱投影）极点投影成线的等面积伪圆柱投影——爱凯特投影爱凯特投影(Eckert Projection) 由上述桑逊投影可见，高纬度处角度变形甚大为使角度变形改善一些，有一种设想使各经线不是交于一点而是终止于两条线上，称为极线。

这就是本投影的特点，显然它不能保持n=1的条件 本投影中P=1，规定 (参见图) 即两极投影成极线，极线的长度等于赤道长度的一半•极点投影成线，其长度等于赤道长的一半•P=1•根据以上条件，可由一般公式推导(过程从略)得以下投影公式：　　　　 (10－17)•当解算上式中的α时，需用逐渐趋近法•本投影在高纬度处变形较桑逊投影小，值其极点投影不成点而成线该投影主要应用于编制小比例尺世界图3）椭圆经线等面积伪圆柱投影）椭圆经线等面积伪圆柱投影——摩尔威德投影摩尔威德投影(Mollweide Projection) 本投影中经线投影为对称于中央直经线的椭圆，离中央经线经差为±90°的经线投影后合成一个圆，其面积等于地球的半球面积纬线是平行于赤道的一组平行直线•椭圆经线，离中央经线经差+90的经线投影后合成一个圆，其面积为地球表面积的一半•P=1上图是该投影的经纬线网略图。

该投影常用于编制小比例世界地图•从一般公式可推导得本投影公式为：(推导过程从略)式中α值是用逐渐趋近法求解的 4）伪圆柱投影的分瓣方法）伪圆柱投影的分瓣方法•从几种伪圆柱投影的变形情况看来，在高纬度特别是远离中央经线的地区都有较大变形的缺点，为了弥补这一缺陷，古德(Goode)曾提出将摩尔威德投影进行分瓣的改良方法以减小变形例如对于编制世界地图，要求保持大陆部分完整，变形较小，则在分瓣时将海洋部分分裂，而在赤道上统一起来故对于不同的大陆采用不同的中央经线，即： 北美洲——中央经线为－100°； 南美洲——中央经线为－60°； 欧、亚洲——中央经线为+60°； 非洲——中央经线为+20°； 澳洲——中央经线为+150°分瓣投影的经纬线网 •当编制各大洋地图时，要求海洋部分保持完整，为此将大陆分裂，其各部分的中央经线可取如下； 北大西洋——中央经线为－30°； 南大西洋——中央经线为－20°；　 太平洋北部——中央经线为－170°；　 太平洋南部——中央经线为－140°； 印度洋北部——中央经线为+60°， 印度洋南部——中央经线为+90°。

•分瓣方法对于伪圆柱一类投影显然都可以运用在国外地图集中常可看到一些不同用法的例子四四 伪方位投影伪方位投影 1伪方位投影的投影表象及一般公式伪方位投影的投影表象及一般公式•在伪方位投影中，正常位置下纬线投影为同心圆，经线为对称于中央直经线的曲线，并交于纬线圆心在横轴或斜轴投影中，等高圈表现为同心圆，垂直圈表现为交于等高圈圆心的对称曲线，而经纬线均为较复杂的曲线•由于伪方位投影中等变形线具有不同于方位投影中等变形线为圆的特点，而是可能为椭圆形或卵形，或有规律的其它几何形，使它能设计得符合于对投影变形分布的特殊要求，即等变形线与制图区域轮廓近似一致使它具有同一般投影设计计算有不同的特点也由于这一特点，伪方位投影的应用，以非正常位置为多，所以一般公式的推导要从任意位置的球面极坐标出发，其一般公式为：式中z为天顶距，α为方位角以选定的投影区域中某点作为原点投影中的极角具有以下函数形式： 式中c、g、K、zn为参数视具体情况而取一定的数值zn是制图区域中心到最远边界的天顶距K是决定投影网对称轴的参数，如制图区域为椭圆或卵形，可取K为1(则投影有一个对称轴)或2(则有两个互相垂直的对称轴)。

若制图区域为三角形，可令K=3，若制图区域为方形，可令K=4等等参数q和c可在使等变形线与区域轮廓近似一致的条件下计算决定•至于ρ的形式，可以取方位投影中等面积、等距离或等角投影的ρ的形式，即 ，或ρ=2， (这里令地球球体半径R=1)但根据经纬线形状的定义可知，伪方位投影不可能有等角或等面积投影，而只存在任意投影，因此ρ即使取为这类形式，也并不使投影具有单纯的等面积或等距性质•由一般公式代入第二章求E、G、F、H的一般公式有：可求得 2 伪方位投影等变形线的特点：伪方位投影等变形线的特点：•等变形线可以设计为心形、三角形、方形、椭圆形、三叶玫瑰形等规则的几何图形•伪方位投影不可能有等角或等面积投影，而只存在任意投影3 伪方位投影的应用实例伪方位投影的应用实例—— 中国全图中国全图•在上列伪方位投影的一般公式中，6的函数形式中的几个系数的决定是比较复杂的问题我们可以通过下列实例来解决至于ρ的形式可以取方位投影中ρ的条件，例如ρ=Z当然必要时也可以取别的方式)•现以设计中国全图为例首先观察中国疆域的外廓，在西北、东北和南中国海是三个向外突出的方向，它们之间则是三个凹进去的方向，每两突出方向(或凹入方向)之间的夹角近似120°。

•现选定ρ=Rz，即选取近似于方位投影中的等距离投影(但在伪方位投影中并不保持等距离)•于是有：令R=1，则有代入得 设投影中心点为λ0=105°，φ0=35°时，估算zn(即从中心点到最突出之点)≈26°，由上节可知K应为3°为使边缘角度变形不致过大，选定g=1，故需求定的参数为c因突出和凹入方向夹角近似为60°，设凹入处α=0°，则突出处α=60°对凹入处之zn估定为14°令区域轮廓凸出凹入点之面积变形相等，则有由此可解出　　　c=－0．005308•由于中国领域的形状特点，为使等变形线与区域轮廓更好地近似一致，在计算δ的时候，宜将由球面坐标变换所得之方向角加上15°，也就是把方位角的起算方向反时针旋转15°•由此得适用于中国全图的近似等距离的伪方位投影：图11—1　　图11—1示出用伪方位投影表示的经纬网略图及角度等变形线由图可见等变形线形状能与中国疆域形状较好的相似而且最大角度变形较小，全域能达到小比例尺地图中等量测精度要求五五 多圆锥投影多圆锥投影•多圆锥投影中纬线表象为同心圆圆弧，圆心位于中央直经线上，经线为对称于中央经线的曲线 •从多圆锥投影原来的几何构成来理解，可视为对地球上每一定纬度间隔的纬线作一个切圆锥。

这样一系列圆锥的圆心必位于地球旋转轴线上，然后将这些圆锥系列沿一母线展开各纬线成为以切线为半径的圆弧，使各圆心位于同一直线上(作为中央经线)，圆心的定位以相邻圆弧间的中央经线距离保持与实地等长为准这就使得各纬线成为同轴圆圆弧经线则是以光滑曲线的形式连接各纬线(即圆锥对球面的切线)与一定间隔的经线交点而构成的对称曲线，如图12－1所示图12－1 多圆锥投影几何构成多圆锥投影几何构成 多圆锥投影：多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平剪开展平纬线纬线投影为投影为同轴圆弧同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线，其圆心都在中央经线的延长线上中央经线为直线，其余经线投影为上中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线对称于中央经线的曲线•随着地图投影理论的发展，多圆锥投影已具有一种广义的概念与原来的几何构成大不相同了•从原来的几何关系上我们可写出： m0=1 ρ=Nctgφ•参考图12—2，设x轴与中央经线相合，以赤道或投影区域最低纬线与中央经线交点为原点。

用极坐标表示某一点位置时，可写为：δ=f1(φ，λ)　　ρ=f2(φ)　　按图12—2可写出x=q-ρcosδy=ρsinδ 　　式中q=xcf(φ)，此处q不是常数，而是纬度的函数　　为了计算F、G、H诸量，先求偏导数式中 ρ’=d ρ/dφ q=dq/dφ 将所求得的偏导数代入(2—16,E、F、G、H的表达式)得 由此根据前面的公式得出多圆锥投影的一般公式： 从变形性质来分多圆锥投影，一般常用等角的和任意的二种在任意多圆锥投影中，最常见的是普通多圆锥投影 (12—1) 1 普通多圆锥投影（美国多圆锥投影）普通多圆锥投影（美国多圆锥投影）•本投影在美国被广泛应用，所以也称为美国多圆锥投影该投影中央经线是直线，其长度比为1，即m0=1，纬线是与中央经线正交的同轴圆圆弧，圆心位于中央经线上，其半径为ρ=Nctgφ各条纬线上的长度比保持不变，即n=1，•1）） n=1•根据上面式(12－1)可得本投影公式：•2）适宜于表示沿中央经线延伸的制图区域）适宜于表示沿中央经线延伸的制图区域•普通多圆锥投影最适宜于表示沿中央经线延伸的制图区域，由中央经线向两侧的距离愈远，则变形数值愈大。

在离中央经线λ=±15°的边缘经线上最大变形为3．4％，角度变形等于1°56′•该投影可用于编制中、小比例尺地图的数学基础，我国有关大地测量地图投影方面的教科书和参考书中也有这个投影的介绍•我国解放前出版的“中华民国新地图”曾用过这种投影该投影也是百万分一地图投影的基础2 用于编制世界政区图的多圆锥投影用于编制世界政区图的多圆锥投影 1）等差分纬线多圆锥投影）等差分纬线多圆锥投影 等差分纬线多圆锥投影系属于任意性质的多圆锥投影，是我国制图工作者根据我国形状和位置，并指定变形分布，于1963年设计的该投影已在我国编制各种比例尺世界政区图以及其它类型世界地图中得到较广泛的使用，获得了较好的效果该投影的基本公式：中央经线上的x0的函数式式中：b=1．10，C=0．000 505 050 5xn、yn是边缘经线上(Δλ=180°)根据所设计的经、纬线草图所量取的直角坐标值 •该投影的特点： 1．纬线投影后为对称于赤道的同轴圆圆弧，圆心位于中央经线上；经线对称于中央直经线，且离中央经线愈远，其经线间隔也愈成比例地递减；极点表示为圆弧，其长度为赤道投影长度的二分之一，经纬网的图形有球形感。

　　2．我国被配置在地图中接近于中央的位置，而且图形形状比较正确，并使我国面积相对于同一条纬带上其它国家的面积不因面积变形而有所缩小　　3．图面图形完整，没有裂隙，也不出现重复，保持太平洋完整，可显示我国与邻近国家的水陆联系　　4．该投影的性质是接近等面积的任意投影，中国地区绝大部分面积变形在10％以内，少数地区约20％，面积比为1．0的等变形线自东向西横贯我国中部；位于中央经线和南北纬度约44°交点处没有角度变形，我国绝大部分地区的最大角度变形在10°以内，小部分地区不超过13°下图是等差分纬线多圆锥投影的经纬网形状略图 2）正切差分纬线多圆锥投影）正切差分纬线多圆锥投影 该投影是继等差分纬线多圆锥投影之后，我国于1976年设计的投影之一，它应用于1：1400万世界地图该投影的基本公式如下： •式中：　　φ以弧度计，R为地球球体半径； 　　μ0为比例尺分母(本例中1：1400万)， xn、yn边缘经线上，根据所设计的经纬线草图 所量取的直角坐标值；　　x0为中央经线上的纵坐标(以厘米为单位)；　　δφi是某一纬线上各经线的极角； 　　λn是边缘经线与中央经线的经差；　　λi为同一纬线上各经线与中央经线的经差。

•该投影的特点：该投影的特点：　 1．纬线投影后为对称于赤道的同轴圆的圆弧，圆心位于中央经线上；经线是对称于中央经线(直线)的曲线，且远离中央经线其经线间隔成比例递减，极点表示为圆弧经纬网的图形有球形感　　2．将我国配置于图幅中部，经纬网便会出现重复部分，赤道上经线的经度差为420°，中央经线则为东经120°，完整的南北美洲大陆则位于图幅东部　　3．保持太平洋和大西洋完整　　4．该投影变形性质为任意投影，世界主要大陆上的轮廓形状没有显著的目视变形，要求中国的形状比较正确；因此我国绝大部分地区的面积变形在10－20％，部分地区达±60％位于中央经线和南北纬度为44°交点处没有角度变形，我国大陆部分最大角度变形在6°以内　　5．1：1400万的本投影图廓尺寸为180＊264厘米本章结束。