全国通用版中考数学勾股定理与最值(一)—详解版17094.pdf

例 1】 在平面直角坐标系中，有 A（1，1）、B（3，2）两点，点 P 是 x 轴上一动点，则 PA+PB最小值为 【【【【∵A（1，1），∴点 A 关于 x称点 A′（1，-1），接 A′B 交 x于 P，此，PA+PB=A′B 的最小，A′作 A′C⊥BC，∴A′B=，∴PA+PB 最小，1313【例 2】 如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少?【【【【如②③所示．因两点之段最短，所以最短的爬行路程就是段 AB 的度．在②中，由勾股定理，得222311130AB ．在③中，由勾股定理，得22268100AB ．因130＞100，所以③中的 AB 的度最短，10cm，即需要爬行的最短路10cm．【【 1.如图，两个村庄 A、B 在河 CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为 AC＝1 千米，BD＝3 千米，CD＝3 千米．现要在河边 CD 上建造一水厂，向 A、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米 20000 元，请你在 CD 上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 W． 【【【【延AC 到点 M，使 CM=AC；接 BM 交 CD 于点 P，点 P 就是所的位置；在 Rt△BMN 中，BN=3+1=4，MN=3∴MB=5（千米），∴最短路AP+BP=MB=5 千米，最省的管道的用W=5×20000=100000（元），当水厂在 C 点，水管度=AC+AB=1+，13∴最省的管道的用W=（1+）×20000≈92200（元），3∵92200＜100000，答：最省的管道的用是 92200 元． 【【 2.如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π 取 3) 【【【【把柱面展开，展开如所示，点 A，B 的最短距离段 AB 的，BC=20，AC底面半弧，AC=5π≈15，所以 AB=25．爬的最短路25，【【 3.如图，长方体的底面边长分别为 1cm和 3cm，高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_____cm,如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕n圈到达点 B，那么所用细线最短需要_____cm.【【【【10；22 9 16n【【 4.如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE＝3，EB＝1，在 AC 上有一点 P，使EP＋BP 最短．求 EP＋BP 的最小值．【【【【根据正方形的称性可知：BP＝DP，接 DE，交 AC 于 P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距离 EP＋BP 也就是 ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，222223425EDAEAD ．∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离 EP＋BP＝5．【【 5.数形结合是重要的数学方法，我们利用数形结合可以巧妙的解决很多数学问题（1）如图，长方形 ABCD 的长 BC=8，宽 AB=6，①点 P 是长方形内一点，则 PA+PC 的最小值为 ；②点 P 是边 AD 上一点则 PB+PC 的最小值为 。

2）①已知 a+b=6,m+n=8,且，则 s 的最小值为 2222nbmas②已知 x 为正数，且，求 p 的最小值3281622xxxp（3）已知（a、b 为正数）,求 M 的最小值2222204404Mbabbaa【【【【（1）①10；② （2）①10；② （3）1013454【例 3】 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上．顶点 B 的坐标为（3，），点 C 的坐标为（ ，0），点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为 312．ACPOBxy【【【【作 A 关于 OB 的称点 D，接 CD 交 OB 于 P，接 AP，D 作 DN⊥OA 于 N，此PA+PC 的最小，∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，333由三角形面公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，121232∴AD=2×=3，∵∠NDA=30°，∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=，321232332∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在 Rt△DNC 中，DC=，121232223311322【例 4】 如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是_________ 【【【【作 M 关于 OB 的称点 M′，作 N 关于 OA 的称点 N′，接 M′N′，即MP+PQ+QN 的最小．根据称的定可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′等三角形，△OMM′等三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在 Rt△M′ON′中，M′N′=． 101.在锐角△ABC 中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，点 M，N 分别是 BD和 BC 边上的动点，则 MN+MC 的最小值是 。

3【【【【答案． 32.如图，在直角坐标系中有线段 AB，AB=50cm，A、B 到 x 轴的距离分别为 10cm 和 40cm，B 点到 y 轴的距离为 30cm，现在在 x 轴、y 轴上分别有动点 P、Q，当四边形 PABQ 的周长最短时，则这个值为（　D　）A．50 B．50 C．50-50 D．50+50 555 【【【【B 点作 BM⊥y交 y于 E 点，截取 EM=BE，A 点作 AN⊥x交 x于 F 点，截取NF=AF，接 MN 交 x，y分P，Q 点，M 点作 MK⊥x，N 点作 NK⊥y，两交于 K 点．MK=40+10=50，作 BL⊥x交 KN 于 L 点，A 点作 AS⊥BP 交 BP 于 S 点．∵LN=AS=40．∴KN=60+40=100．∴MN=50．5∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50，∴四形 PABQ 的周=50+50．553.如图：点 P 是∠AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为 6 。

4.如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ABC=120°，点 P 是底边 AC 上一个动点，M，N 分别是 AB，BC 的中点，若 PM+PN 的最小值为 2，则△ABC 的周长是 ． 324 5.如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且 OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 54336 【【【【解：分作点 P 关于 OA、OB 的称点 C、D，接 CD，分交 OA、OB 于点 M、N，接OC、OD、PC、PD．∵点 P 关于 OA 的称点C，关于 OB 的称点D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点 P 关于 OB 的称点D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD 是等三角形，∴CD=OC=OD=6．∵∠POC=∠POD，∴OP⊥CD，∴OQ=6×=3，233∴PQ=6-3，MQ=x，PM=CM=3-x，∴（3-x）2-x2=（6-3）2，解得 x=6-9，333∴MN=2MQ=12-18，∵S△PMN= MN×PQ，S△MON= MN×OQ，32121∴S 四形 PMON=S△MON+S△PMN=MN×PQ+MN×OQ=MN×OP=×（12-18）212121213×6=36-54．3。