等差数列经典题.docx

精选优质文档-----倾情为你奉上2.3　等差数列经典题型一、选择题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)A．n B．n2C．2n＋1 D．2n－1答案　D2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)A．－2 B．－1 C．0 D．1答案　B解析　等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5S8，则下列结论错误的是(　　)A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值答案　C解析　由S50.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0.由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0即S90，由　得所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.答案　10解析　由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.由Sn＝＝＝155，得n＝10.10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．答案　10或11解析　方法一　由S9＝S12，得d＝－a1，由，得，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二　由S9＝S12，得d＝－a1，由Sn＝na1＋d＝n2＋n，得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1 (a1<0)，由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．解　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得可解得所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解　由S2＝16，S4＝24，得即　解得所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝能力提升13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是(　　)A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1 答案　C 解析：　方法一　由an＝，解得an＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，∴nan＝5n－4n2，∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.∴na1>Sn>nan.方法二　∵an＝5－4n，∴当n＝2时，Sn＝－2，na1＝2，nan＝－6，∴na1>Sn>nan。

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解　(1)根据题意，有：　整理得：解之得：－0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．专心---专注---专业。