多分辨率分析的引入多分辩率分析的定义空间.ppt

10.1 多分辨率分析的引入 10.2 多分辩率分析的定义 10.3 空间 、 中信号的分解 10.4 二尺度差分方程 10.5 二尺度差分方程与共轭正交滤波器组 10.6 Mallat算法 10.7 Mallat算法的实现 10.8 小波变换小结第10章 离散小波变换的多分辨率分析10.1 多分辨率分析的引入 10.1.1信号的分解近似 现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念给定一个连续信号，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似如图10.1.1(a)所示，令 显然， 的整数位移相互之间是正交的，即 (10.1.1) (10.1.2 ) 这样，由 的整数位移 就构成了一组正交基设空间由这一组正交基所构成，这样， 在空间 中的投影（记作 ）可表为： 式中 , 是基 的权函数 如图 10.1.1(b)所示，它可以看作是 在 中的近似 是离 散序列，如图10.1.1(c)所示 令 (10.1.3) (10.1.4 ) 图10.1.1 时信号 的概貌近似是由 作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对 图10.1.1(a)的 ， 和 是正交的。

这一结论可 证明如下： 令 ，则 , ,再由（10.1.2）式，有 (10.1.5) 于是结论得证 将 作二倍的扩展后得 ，如图10.1.1(g)所示由 作 整数倍位移所产生的函数组 当然也是两两正交的（对整数 ），它们也构成了一组正交基 我们称由这一组基形成的空间为 ，记信号 在 中的投影为，则 式中 为加权系数 如图10.1.1(h)所示 仍为离 散序列，如图10.1.1(i)所示 若如此继续下去，在给定图10.1.1(a)的 的基础上，我 们可得到在不同尺度 下通过作整数位移所得到一组组的正交 基，它们所构成的空间是 用这样的正交基对 作近 似，就可得到 在 中的投影 (10.1.6) 由图10.1.1(a)和图10.1.1(g)，我们不难发现： (10.1.7) 图10.1.2 时信号 的概貌近似所以，用 对 作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似， 越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。

当 时， 中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有 再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对 的近似要优于图(h) 对 的近似，也即分辨率高 (10.1.8) 另一方面，若 ，那么 中的每一个函数都变成无穷 的宽，因此， 时对 的近似误差最大按此思路及（ 10.1.7）式，我们可以想象，低分辨率的基函数 完全 可以由高一级分辨率的基函数 所决定从空间上来讲 ，低分辨率的空间 应包含在高分辨率的空间 中，即 (10.1.9)但是，毕竟 不等于 ，也即 比 对 近似的好，但 二者之间肯定有误差这一误差是由 和 的宽度不 同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记 之为 这样，有 (10.1.10) 该式的含义是： 在高分辨率基函数所形成的空间中的近似 等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节现在我们来 寻找 的表示方法 设有一基本函数 ，如图10.1.1(d)所示，即 (10.1.11) 图10.1.3 时信号 的细节近似很明显， 的整数位移也是正交的，即 (10.1.12) 进一步， 在不同尺度下的位移，即 ，也是正 交的，即 (10.1.13) 如图（j）所示。

同时， 和 的整数位移之间也是 正交的，即 (10.1.14) 观察图(a)，(d)和(g)，不难发现， 和 之间有如下关系 ： 记 张成的空间为 ， 所张成的空间为 ， 依次类推， 张成的空间为 ，记 在空间 中的投 影为 ，在 中的投影为 ，它们均可表为相应基函数 的线性组合，即 (10.1.15a) (10.1.15b) (10.1.16 ) (10.1.17) 图10.1.4 时信号 的细节近似式中 , 是 , 尺度下的加权系数，它们均是 离散序列 , 分别如图10.1.1(e)和(f)所示， , 分别如图(k)和(l)所示 由图10.1.1不难发现，若将图(h)的 和图(k)的 相 加，即得图(b)的 ，由空间表示，即是 式中 表示直和这说明， 是 的正交外空间，并有， 我们把上述概念加以推广，显然有 (10.1.18) （10.1.19） （10.1.20） 在以上的分析中，我们同时使用了两个函数，即 和 ， 并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。

由后 面的讨论可知，对 作概貌近似的函数 称为“尺度函 数”，而对 作细节近似的函数 称为小波函数读者不 难发现，图10.1.1(d)中的 即是我们在上一章提到的 Haar小波图(a)中的 即是Haar小波在 时的尺度函 数 这样，给定不同的分辨率水平 ，我们可得到 在该分辨 率水平上的近似 和 ，由于 是低通信号，因 此 反映了 的低通成份，我们称其为 的“概貌” 由于 是由 边缘得到的离散序列，所以 也应 是 在尺度 下的概貌，或称离散近似同理，由于 是 带通信号，因此 反映的是 的高频成份，或称为 的“细节”，而 是 的离散细节 10.1.2树结构理想滤波器组 我们在第七、八两章详细讨论了滤波器组的原理一 个离散时间信号 经过一个两通道滤波器组后， 的输 出为其低频部分，频带在 ； 的输出为其高频部分 ，频带为 由于 、 输出后的信号频带均比 的频带降低了一倍，因此，在 和 的输出后都各带 一个二抽取环节，如图10.1.5所示。

如果我们把 的总频带 定义为空间 ，经第一次 分解后， 被分成两个子空间，一个是低频段的 ，其频率范 围为 ；另一个是高频段的 ，其频带在 之间 显然， ，并且 和 是正交的，即二者的交集为空 间 （此亦是直和的定义）按此思路，我们可在 的输出 后再接一个两通道分析滤波器组，这样就将空间 进一步剖分 ，一个是高频段的空间 ，另一个是低频段的空 间 ,如图10.1.5(a)和(b)所示 由上面的分解不难发现 (10.1.21b) 图10.1.5对信号分解的特点(10.1.21a) (10.1.21c) 1 各带通空间 和各低通空间 的恒Q性 2 各级滤波器的一致性 10.2 多分辨率分析的定义 Mallat给出了多分辩率分析的定义：设 是 空间中的一系列闭合子空间，如果它们满 足如下六个性质，则说 ， 是一个多分辨率近似这六个 性质是： 1． ，若 则 (10.2.1) 2． ， ，即 (10.2.2) 3． ，若 ，则 (10.2.3) 4． (10.2.4) 5． (10.2.5) 6．存在一个基本函数 ，使得 ， 是 中的Riesz基 若 （1） 之间是线性无关的，且（2）存在常数 ,使得(10.2.10)则 是 中的Riesz基。

设 是一Hilbert空间(注：能量有限的空间 即是 Hilbert空间)， 是 中的一组向量，其个数 与 的维数一致自然， 中的任一元素 都可表为 的线性 组合，即 (10.2.9) 下述定理给出了在 中存在Riesz基的充要条件 定理10.1 是 中的Riesz基的充要条件是存在 常数 使得(10.2.11)式中 是 的傅里叶变换 定理10.2 令 是一多分辨分析， 是一尺度函数 ，若其傅里叶变换可由下式给出：(10.2.17)并令 (10.2.18) 则 是 中的正交归一基，对所有的 式中 是产生Riesz基的基本函数 的傅里叶变换 在实际工作中，找到一个正交归一的基函数 并不太容易，但找到一组Riesz基 却比较容易具体步骤是：1．由 作FT得 ；2．由（10.2.17）式求 ；3．由 作逆傅里叶变换得 ，则 即是一组正交基。

10.3 空间 、 中信号的分解 由上两节关于频率轴剖分的思想， 应是 中的低通函数， 应是 中的带通函数将 归一化，有(10.3.1)定理10.2已指出， 是 中的正交归一基，是 中的正交归一基这样，可将按此基函数逐级进行分解 1 子空间令 是在 中的投影，则(10.3.2) 式中 是加权系数，它应是一个离散序列由 的正交性质，我们有由图10.1.1(b)， 和 作内积实质上是 和 作内积，即 (10.3.3) (10.3.4)由多分辨分析的定义，若 ，则 ，由定理10.2，是 中的正交归一基仿照(10.3.2)-(10.3.4)式，我们有(10.3.5)(10.3.6)(10.3.7) 2 子空间 若我们在子空间 中能找到一个带通函数 ，使 是 中的正交归一基，类似尺度函数 ，因 则 ， 也可构成 中的正交归 一基，即(10.3.8)(10.3.9)3 子空间 依次类推， 将是 中的正交归一基。

我们称 为小波函 数，满足上述正交归一性质的正交小波的构造问题将在下一章 详细讨论这样，我们可依次将 在 中作类似在 各空间 中的分解 令(10.3.1。