经典概率论与数理统计第1章随机事件与概率.ppt

第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算第二节第二节 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法第三节第三节 概率的性质概率的性质第四节第四节 乘法公式与全概率公式乘法公式与全概率公式第五节第五节 事件的事件的独立性独立性确定性现象：结果确定Ø不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象——确定——不确定——不确定自然界与社会生活中的两类现象例： 向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算1、随机试验与样本空间、随机试验与样本空间相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称之为随相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称之为随机现象或偶然现象，这种规律性称为统计规律性机现象或偶然现象，这种规律性称为统计规律性 在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验，在概率论中，把满足以下条件的试验称为称为试验，在概率论中，把满足以下条件的试验称为随机试验随机试验.（（1）试验在相同条件下是可重复的；）试验在相同条件下是可重复的；（（2）试验的全部可能结果不止一个，且都是事先可）试验的全部可能结果不止一个，且都是事先可以知道的；以知道的；（（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

结果，至于是哪一个结果则事前无法预知今后凡是随机试验简称试验，并记为今后凡是随机试验简称试验，并记为E，， 随机事件中有两个随机事件中有两个极端情况极端情况：：•每次试验中都必然发生的事件，称为每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件必然事件  •每次试验中都不发生的事件，称为每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件不可能事件 基本事件基本事件是样本空间的单点集是样本空间的单点集复合事件复合事件是由多个样本点组成的集合是由多个样本点组成的集合必然事件必然事件包含一切样本点，它就是样本空间包含一切样本点，它就是样本空间 不可能事件不可能事件不含任何样本点，它就是空集不含任何样本点，它就是空集 2 随机事件与样本空间随机事件与样本空间：：随机试验随机试验E的全体基本事件组成的集合记为的全体基本事件组成的集合记为 上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.1.1 掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子基本事件：基本事件：{出现出现k点点}, k=1，，2，，……，，6复杂事件：复杂事件：A={出现偶数点出现偶数点}，， B={出现奇数点出现奇数点}，，……必然事件：必然事件：Ω={出现小于出现小于7的点的点}不可能事件：不可能事件：φ={出现大于出现大于6的点的点}例例1.1.2 观察某天到某商场购物的顾客数。

观察某天到某商场购物的顾客数令令={来到来到k个顾客个顾客}，，k=0，，1，，2……则则Ω={：：k≥0}例例1.1.3 在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命命.Ω={t｜｜t≥0}；； 表示事件表示事件A包含于事件包含于事件B或称事件或称事件B包含事件包含事件A,指指事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生.3、事件的关系及其运算、事件的关系及其运算事件事件A1，，A2，，…An 的和记为的和记为 ,或或A1 ∪∪ A2 ∪∪ … ∪∪ An 表示事件表示事件A与事件与事件B中至少有一个事件发生中至少有一个事件发生,称此称此事件为事件事件为事件A与事件与事件B的和（并）事件的和（并）事件,或记为或记为A+B.上一页上一页下一页下一页返返 回回表示事件表示事件A与事件与事件B同时发生同时发生, 称为事件称为事件A与事件与事件B的的积（交）事件，记为积（交）事件，记为AB积事件积事件AB是由是由A与与B的公共的公共样本点所构成的集合样本点所构成的集合可列个事件可列个事件A1 , A2 , … , An 的积记为的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An 或或A1A2 … An ，也可，也可简记为简记为 。

在可列无穷的场合，用在可列无穷的场合，用 表示事件表示事件“A1、、A2 、、 …诸诸事件同时发生事件同时发生上一页上一页下一页下一页返返 回回事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生,称为事件称为事件A与事件与事件B的的差事件显然有：显然有：则称则称A和和B是互不相容的或互斥的是互不相容的或互斥的,指事件指事件A与与B不不可能同时发生可能同时发生基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的上一页上一页下一页下一页返返 回回则称则称A和和B互为对立事件，或称互为对立事件，或称A与与B互为逆事件互为逆事件事件事件A的逆事件记为的逆事件记为 , 表示表示“A不发生不发生”这一事件这一事件对于任意的事件对于任意的事件A，，B只有如下分解：只有如下分解：上一页上一页下一页下一页返返 回回ABBAA BBAAB BAA上一页上一页下一页下一页返返 回回事件的运算律事件的运算律（（1）交换律：）交换律：A∪∪B=A∪∪B，，AB=BA（（2）结合律）结合律（（A∪∪B））∪∪C=A∪∪（（B∪∪C））（（3）分配律：）分配律：A ∩ （（B∪∪C））= （（A∩B））∪∪（（ A ∩ C ））（（A∩B））∩C=A∩（（B∩C））A∪∪（（B ∩ C））=（（A∪∪B））∩（（A∪∪C））（（4）德）德·摩根律（摩根律（De Morgan）：）：上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.1.4 利用事件的关系和运算律证明利用事件的关系和运算律证明（（ⅰⅰ）） ，（，（ⅱⅱ）） 。

证： （ⅰ）A－B={A发生且B不发生}故A－B= A发生，（ⅱ） 又故原式成立例例2: 设设A，，B，，C为三个事件，试用为三个事件，试用A，，B，，C表表示下列事件：示下列事件：（（1））A发生且发生且B与与C至少有一个发生；至少有一个发生；（（2））A与与B都发生而都发生而C不发生；不发生；（（3））A，，B，，C恰有一个发生；恰有一个发生；（（4））A，，B，，C中不多于一个发生；中不多于一个发生；（（5））A，，B，，C不都发生；不都发生；（（6））A，，B，，C中至少有两个发生中至少有两个发生上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回第二节第二节 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法1、频率、频率定义定义1: 在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在在这这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值次，则比值 称为事件称为事件A在在n次实次实验中发生的频率，记为验中发生的频率，记为频率具有下列频率具有下列性质性质：：(1)对于任一事件对于任一事件A，，有有 (2)上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回2、古典概型、古典概型设随机试验设随机试验E满足如下满足如下条件条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2) 每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。

古典概型古典概型 中事件中事件A的概率计算公式为的概率计算公式为上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.2.1 袋中装有外形完全相同的袋中装有外形完全相同的2只白球和只白球和2只黑球，只黑球，依次从中摸出两球记依次从中摸出两球记A={第一次摸得白球第一次摸得白球}，，B={第第二次摸得白球二次摸得白球}，，C={两次均摸得白球两次均摸得白球}求求A、、B、、C的概率 Ω={(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)}共有共有12个样本点个样本点解：解：A={(1,2)(1,3)(1,4) (3,1)(3,2)(3,4)}B={(1,3) (2,1)(2,3)(3,1)(4,1)(4,3)}C={(1,3) (3,1)}P(A)=1/2，，P(B)=1/2，，P(C)=1/6 故故例例1.2.2 有有10个电阻个电阻,其电阻分别为其电阻分别为1Ω,2Ω,……，，10Ω，从中任取出三个，以，从中任取出三个，以A表示表示“取出的三个电阻恰取出的三个电阻恰好一个小于好一个小于5Ω，一个等于，一个等于5Ω，一个大于，一个大于5Ω”这一事件，这一事件，求求P(A).P(A)=解解例例1.2.3 某城有某城有N部卡车，车牌号从部卡车，车牌号从1到到N，一人到该，一人到该城去把城去把N部卡车的牌号抄下，求部卡车的牌号抄下，求A =“抄到最大牌号正抄到最大牌号正好是好是K” 的概率（的概率（1≤K ≤N）。

解解例例1.2.4 袋中有袋中有a只黑球，只黑球，b只白球，它们除颜色不同只白球，它们除颜色不同外，其余无差异，现随机地把球一只一只地摸出，求外，其余无差异，现随机地把球一只一只地摸出，求A=“第第k次摸出的一只球为黑球次摸出的一只球为黑球”的概率1≤k≤a＋＋b）） 解解例例1.2.5 一批产品共有一批产品共有N件，其中有件，其中有M件次品件次品（（M﹤N），采用有放回和不放回两种抽样方式从），采用有放回和不放回两种抽样方式从中抽中抽n件产品，问正好抽到件产品，问正好抽到K件次品的概率是多少？件次品的概率是多少？ 有回放抽样 不放回抽样 （1）非负性：对任意A F，有P（A）≥0例1.2.6 从古典概型的讨论，可得古典概率有如下基本性质：(2)(2)规范性：范性： (3) 有限可性：是F中两两互斥事件，则推推论：： 例例1.2.7 一袋中装有一袋中装有N－－1个黑球及个黑球及1只白球，每次从只白球，每次从袋中摸出一球，并换入一只黑球，如此延续下去，问袋中摸出一球，并换入一只黑球，如此延续下去，问第第k次摸球摸到黑球的概率是多大？次摸球摸到黑球的概率是多大？解：令解：令A={第第k次摸球摸到黑球次摸球摸到黑球}。

则则 ={第第k次摸到白球次摸到白球}3、几何概型、几何概型若试验具有如下特征若试验具有如下特征:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例5 (约会问题约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间甲、乙两人相约在某一段时间T内在预内在预定地点会面先到者等候另一人，经过时间定地点会面先到者等候另一人，经过时间t(t

解：（解：（1）记）记Ai={第第i封信配对封信配对},i=1,2,…进一步，可算得进一步，可算得P(Ai)=1/n于是，由加法定理，得于是，由加法定理，得若若 充分大，则充分大，则上抛一对骰子上抛一对骰子2525次，次， A＝＝“ “ 至少出现一次双六至少出现一次双六”” B＝＝““完全不出现又六完全不出现又六”” 上抛上抛 一次一对骰子有一次一对骰子有3636种可能的结果种可能的结果 (1,1),(1,2),……(1,6);(2,1),……(6,6)(1,1),(1,2),……(1,6);(2,1),……(6,6)把依次上抛把依次上抛2525次骰子结果的排列看成基本事件次骰子结果的排列看成基本事件 总数：总数：36362525 则则B B的有利场合：的有利场合：35352525 P(B)=35 P(B)=352525/36/362525＝＝0.49550.4955 P(A)=1-P(B)=0.5045 P(A)=1-P(B)=0.5045 下赌注问题：下赌注问题：17世纪未，法国的世纪未，法国的 Chevalies Demere在赌博中在赌博中感觉到，如果上抛一对骰子感觉到，如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到次，则把赌注押到“ 至少出现一次至少出现一次双六双六”比把赌注押到比把赌注押到“完全不出现双六完全不出现双六”更有利，但他本人找不更有利，但他本人找不出原因，请计算该两事件的概率。

出原因，请计算该两事件的概率1.4 1.4 乘法公式与全概率公式乘法公式与全概率公式1、条件概率的定义、条件概率的定义上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.4.1 已知某家三胞胎小孩中有女孩，求至少有一个已知某家三胞胎小孩中有女孩，求至少有一个男孩的概率（假定每个小孩是男是女是等可能的）男孩的概率（假定每个小孩是男是女是等可能的）解：三胞胎小孩的所有可能结果不难一一列出，即解：三胞胎小孩的所有可能结果不难一一列出，即Ω={（女，女，女），（女，女，男）（女，男，女），（男，（女，女，女），（女，女，男）（女，男，女），（男，女，女），（女，男，男），（男，女，男），（男，男，女）女，女），（女，男，男），（男，女，男），（男，男，女），（男，男，男），（男，男，男）}共含共含8个样本点个样本点 记记A={三胞胎中至少一个是男孩三胞胎中至少一个是男孩}，，B={三胞胎中有女孩三胞胎中有女孩}由由Ω看出看出故 设设P(A)>0,则有则有 P(AB)=P(A)P(B│A)同样同样,当当P(B)>0时时,有：有： P(AB)=P(B)P(A│B) 2、乘法公式、乘法公式乘法定理可推广至任意有限个事件的情形乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.4.2 罐中有三个白球两个黑球罐中有三个白球两个黑球,从中依次取出三从中依次取出三个个,试求取出的三个球都是白球的概率。

试求取出的三个球都是白球的概率解：记解：记Ai={第第i次取球得白球次取球得白球}易得 故 3、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.4.3 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的产量分别占总产量的15%,20%,30%, 35%, 又这四条流水线又这四条流水线的次品率依次为的次品率依次为0.05,0.04, 0.03, 0.02,现从出厂产品属任取一现从出厂产品属任取一件，问恰好取到次品的概率为多少？件，问恰好取到次品的概率为多少？上一页上一页下一页下一页返返 回回解：令A={任取一件出厂产品为次品}Bi={所抽产品中第所抽产品中第i条流水线生产条流水线生产}（（i=1，，2，，3，，4））则 第四节第四节 独立性独立性1、事件的独立性、事件的独立性定理定理定义定义7:定义定义8:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.4.4 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为癌症，试验反应为阴性的概率为0.95现对自然人群进行普查，现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率为阳性，该被诊断者确有癌症的概率. 由贝叶斯公式得 解解 设设A表示表示“患有癌症患有癌症”，， 表示表示“没有癌症没有癌症”，，B表示表示“试试验反应为阳性验反应为阳性”，则由条件得，则由条件得P（（A））=0.005, P( )=0.995，，P(B｜｜A)=0.95,P( ｜｜ ））=0.95由此由此 P（（B｜｜ ））=1-0.95=0.05 1.5 事件的独立性事件的独立性 定义定义 对事件对事件 A 与与 B ，若，若P(AB)=P(A)P(B) 则则称事件称事件 A 与事件与事件 B 相互独立（相互独立（independence））。

 命题命题1 若事件若事件 A , B 相互独立，且相互独立，且 P(A) > 0,则则 P(B︱︱A) =P ( B ) 证证 明明 由条件概率及独立性定义知由条件概率及独立性定义知 定理定理 2 若事件若事件 A ，， B 相互独立，则相互独立，则 由此可推知由此可推知,若若P(A)>0, P(B)>0,则则A、、B 相互独立与相互独立与A，，证证 明明B 互不相容不能同时成立互不相容不能同时成立即即 注注 在应用中我们往往根据事件的实际意义来在应用中我们往往根据事件的实际意义来判断事件的独立性判断事件的独立性 定义定义:上一页上一页下一页下一页返返 回回特别，当特别，当n=3时时定义定义 设设 A 、、 B 、、C 是三事件，如果下面等式成立：是三事件，如果下面等式成立：则称则称A、、B、、C三事件三事件两两相互独立两两相互独立 当三事件两两相互独立时，下面等式当三事件两两相互独立时，下面等式不一定不一定成立：成立：推广到更一般情形推广到更一般情形 定义定义 设设 A 、、 B 、、C 三事件两两相互独立，且三事件两两相互独立，且相互独立。

相互独立满足满足 P(ABC) = P(A) P(B) P(C), 则称则称A、、B、、C三事件三事件例例1.5.2 设高射炮每次击中飞机的概率为设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到的概率达到95%以上以上.解解 设需要设需要n门高射炮，门高射炮，A表示飞机被击中，表示飞机被击中，Ai表示第表示第i门高射门高射炮击中飞机（炮击中飞机（i=1,2,…,n).则则 例：例： 假设我们掷两次骰子假设我们掷两次骰子,并定义事件并定义事件A={第一次掷得第一次掷得偶数偶数},B={第二次掷得奇数第二次掷得奇数},C={两次都掷得奇数或偶数两次都掷得奇数或偶数},证明证明A,B,C两两独立两两独立,但但A,B,C不相互独立不相互独立.证明证明：： 容易算出容易算出上一页上一页下一页下一页返返 回回2、、 贝努里试验模型贝努里试验模型定义定义10:上一页上一页下一页下一页返返 回回定理定理1:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.5.5 对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病的对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病的治愈率治愈率p=0.8,有有10个患此病的病人同时服用这种药，求其中至个患此病的病人同时服用这种药，求其中至少少6个病人治愈的概率个病人治愈的概率P.上一页上一页下一页下一页返返 回回解：任一病人服用该药只有两种结果：治愈（解：任一病人服用该药只有两种结果：治愈（A发生）或没有发生）或没有治愈（治愈（ 发生），且发生），且 因每个病人服药后是否治愈是彼此独立的，问题可归为因每个病人服药后是否治愈是彼此独立的，问题可归为10重贝努里概型。

由概率的有限可加性重贝努里概型由概率的有限可加性。