1985年全国高考数学试题及其解析.doc

1985年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题本试卷共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为，那么四面体A＇-ABD的体积是 （ ) （2）的 （ ）（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）（A） （B）（C） （D）(4)极坐标方程的图象是 （ ）（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ ）（A）96个 （B）78个 （C）72个 （D）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分。

只要求直接写出结果）（1）求方程解集2）设，求的值3）求曲线的焦点4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x2)的定义域三．（本题满分14分）（1）解方程（2）解不等式四．（本题满分15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，线段PM的长为，求线段PQ的长五．（本题满分15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ，（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值六．（本题满分15分）已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程要求把结果写成普通方程）七．（本题满分14分）设（1）证明不等式对所有的正整数n都成立。

2）设用定义证明八．（本题满分12分）设,b是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=n+b,n是整数}，B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在和b使得（1）A∩B≠（表示空集），（2）（,b)∈C同时成立九．（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为，那么四面体A＇-ABD的体积是 （ ) （2）的 （ ）（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要的条件（3）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合是 （ ）（A）{0，1，2，6，8} （B）{3，7，8}（C）{1，3，7，8} （D）{1，3，6，7，8}（4）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？ （ ）（A） （B）（C） （D）（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ）（A）96个 （B）78个 （C）72个 （D）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分。

只要求直接写出结果）（1）求函数2）求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率3）求函数y=-x2+4x-2在区间[0，3]上的最大值和最小值4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 ,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值5）设i是虚数单位，求(1+i)6的值三．（本题满分14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立四．（本题满分13分）证明三角恒等式五．（本题满分16分）（1）解方程（2）解不等式六．（本题满分15分）设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h求这个所棱锥底面的内切圆半径七．（本题满分15分）已知一个圆C：x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线L:3x-4y+5=0求圆C关于直线L的对称的圆的方程八．（本题满分12分）设首项为1，公比为q(q＞0)的等比数列的前n项之和为Sn又设Tn=理工农医类参考答案及解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D; (2)A; (3)B; (4)C; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）(2) π; (3) (0,0);(4) 64（或26）(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.（1）解：由原对数方程得解这个方程，得到x1=0,x2=7.检验：x=7是增根，x=0是原方程的根。

2）解：解得四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，则PN⊥BC三垂线定理）因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR在Rt△MNR中，MR=在Rt△PMR中，又已知00＜θ＜900，所以在Rt△PRQ中，故线段PQ的长为五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力.解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有于是又知△OZ1Z2的面积为定值S及，所以六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可设点A和B分别是（,)和(+1,+1)，其中为参数于是可得：直线PA的方程是直线QB的方程是1.当直线PA和QB平行，无交点。

2．当时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得将上述两式代入（1）式，得当=-2或=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式所以（*）式即为所求动点的轨迹方程注：考生没指出“=0”及“=-2或=-1”时的情形不扣分七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.（1）证一：用数学归纳法证二：由不等式对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，得到又因以及对所有的正整数n都成立2）由（1）及bn的定义知对任意指定的正数ε，要使，只要使，即只要使取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足根据极限的定义，证得八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.解：如果实数和b使得（1）成立，于是存在整数m和n使得(n,n+b)=(m,3m2+15),即由此得出，存在整数n使得n+b=3n2+15,或写成n+b-(3n2+15)=0这个等式表明点P（,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上，记从原点到直线L的距离为d，于是当且仅当时上式中等号才成立由于n是整数，因此，所以上式中等号不可能成立即因为点P在直线L上，点P到原点的距离必满足而（2）成立要求2+b2≤144，即。

由此可见使得（1）成立的和b必不能使（2）成立所以，不存在实数和b使得（1），（2）同时成立九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.解：已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y＇=3x2-12x+11在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y＇|x=x0=3x02-12x0+11点P处切线方程是y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0设这切线与y轴的截距为r，则r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值因为r＇=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)当0＜x0＜2时r＇＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小这个最小值是r最小值=-6文史类参考答案及解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D; (2)A; (3)C; (4)B; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）(2) 2 (3) 最大值是2，最小值是-2 ;(4) 64（或26）(5) －8i.三．（本题满分14分）证：因为Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1,左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1)2+k2,得12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2…+32+22+12=+(k+1)2+k2即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成。