新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第14讲 二次函数与幂函数（解析版）.doc

第14讲 二次函数与幂函数【基础知识全通关】知识点一 幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.知识点二 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x＝－顶点坐标奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.【考点研习一点通】考点01：二次函数的解析式1.已知二次函数，满足且方程有两个相等实根．（1）求函数的解析式；（2）当且仅当时，不等式恒成立，试求，的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由，以及二次方程有两个相等实根的条件：判别式为0，可得，的方程，解方程可得所求解析式；（2）由，解不等式可得解集，再由题意可得原不等式的解集即为，，可得，的方程组，解方程可得所求值．【详解】解：（1）由，，可得，即，则，方程有两个相等实根，即有两个相等实根，则，所以，从而；（2）不等式即为，化为，由，可得，则不等式的解集为，，又当且仅当，时，不等式恒成立，可得，，，所以且，解得，．考点02：二次函数图象的识别2.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，函数单调递减，开口向下，对称轴在y轴的左侧，排除C，D；当时，函数单调递增，开口向上，对称轴在y轴的右侧，排除B；故选：A考点03：二次函数的单调性问题3.已知函数，.（1）若函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由二次函数的单调性，根据对称轴与区间的关系求解；（2）根据对称轴与区间的关系，分类讨论求解.【详解】因为，所以函数的图象的对称轴为，且函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，（1）因为函数在区间是单调函数，所以或，所以实数的取值范围为.（2）（i）当，即时，有在区间上单调递增，所以，（ii）当，即时，有在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，综上所述，函数在区间上的最小值.考点04：二次函数的最值问题4.已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据二次函数的图像性质求出函数解析式；（2）结合二次函数的单调性，及对称轴和区间的位置关系，分类讨论求出最小值为 g(t)的解析式.【详解】（1）因为二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设，又在区间上的最大值为12，所以，．．（2），图象开口向上，对称轴为．①当即时，在上是减函数，；②当即时，；③当时，在上是增函数，．综上所述，.【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．考点05：二次函数的恒成立问题5.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围．【答案】．【解析】分类：适合，时，分离参数，求出右端的最小值即可得．【详解】由题可知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．x＝0时，有－3<0恒成立；x≠0时，a<，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当＝1，即x＝1时，不等式右边取最小值，所以a<，且a≠0．综上，实数a的取值范围是．【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．考点06：二次函数与函数零点问题6.已知函数.（1）若的值域为，求关于的方程的解；（2）当时，函数在上有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）或.（2）【解析】（1）因为的值域为，所以.因为，所以，则.因为，所以，即，解得或.（2）在上有三个零点等价于方程在上有三个不同的根.因为，所以或.因为，所以.结合在上的图象可知，要使方程在上有三个不同的根，则在上有一个实数根，在上有两个不等实数根，即，解得.故的取值范围为.【规律总结】1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．考点07：一元二次不等式恒成立问题7. 设函数．若对于，恒成立，求m的取值范围．【答案】．【解析】由题意等价于对于，恒成立，令，即恒成立，分类讨论，和三种情况进行讨论，结合函数的单调性进行求解即得.【详解】由题意对于，恒成立，．等价于对于，恒成立，令（1）当时，恒成立，符合题意；（2）当时，在上单调递增，要使恒成立，只要即可，即，解得：，故.（3）当时，在上单调递减，要使恒成立，只要即可，即，解得：，故.综上，m的取值范围是.【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．考点08：二次函数的综合应用8.已知函数(为常数，).（1）讨论函数的奇偶性；（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；（2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围．【详解】（1）∵函数的定义域为，又∵∴①当时，即时，可得即当时，函数为偶函数；②当时，即时，可得即当时，函数为奇函数.（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，即时，由题可得，令，则有∵∴，又∵，当且仅当时，等号成立根据对勾函数的性质可知，，即①此时的取值不存在；②此时，可得的取值为综上可得【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.考点09 ：幂函数的概念9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【答案】(1) m＝1.(2) m＝－1.(3) .(4)－1±.【解析】 (1)若f(x)为正比例函数，则，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则，∴m＝.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.【总结提升】形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．考点10 ：幂函数的图象10.若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.故选：B.考点11 ：幂函数的性质11.已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.【详解】由题得.函数是上的增函数.因为，，所以，所以，所以.故选：A考点12：幂函数综合问题 12.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．【解析】（）∵为幂函数，∴，∴或．当时，在上单调递减，故不符合题意．当时，在上单调递增，故，符合题意．∴．（），令．∵，∴，∴，．当时，时，有最小值，∴，．②当时，时，有最小值．∴，（舍）．③当时，时，有最小值，∴，（舍）．∴综上．（），易知在定义域上单调递减，∴，即，令，，则，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴ ．∴．【考点易错】易错01 幂函数的图象与性质1.已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0，取α＝－1.【方法技巧】幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单。