非线性方程的Newton解法文献综述.doc
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文献综述非线性方程的Newton解法一、前言部分在实际情况中，经常会遇到求解高次代数方程或含有三角函数、指数函数、对数函数等 超越函数的超越方程问题,我们把这些方程统称为非线性方程"七在非线性方程中，除了二 次、三次、四次代数方程外，求解其他的方程不但没有一般的公式」而且若只依据方程木身来 判别是否有根及根的个数是很困难的因此，研究非线性方程的数值解法非常必要非线性 方程的求根通常分为两个少骤：一是对根的搜索，分析方程存在多少个根，找出每个根所在 区间；二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值科学研究和工程计算中常常遇到求解 非线性方程(组)的问题数值分析中牛顿迭代法是求解非线性方程的基木方法此外，它 还有二分法，简单迭代法，割线法、插值法等在求方程近似根的方法中最直观、最简单的方法是二分法⑵二分法以连续函数的介值 定理为基础考虑方程/(x) = 0o设函数f(x)eC[a,b]且/()/(/?)< 0，则方程在 [a,b]内至少存在一个根二分法的基本思想是：用对分区间的方法根据分点处函数/(x)的 符号逐步将有根区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且仅有一根迭代法2是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵 求特征值等方面。
迭代法的基木思想是一种逐次逼近的方法首先取一个粗糙的近似值，然 后用同1个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给出的精度要求为止割线法3的基本思想是任取两个互异点，做出通过这两个点的割线，用割线的X截距作 为函数零点的新近似并放弃最早的那个点，此时我们并不清楚当前的这两个点是否构成有根 区间，因而在迭代过程中，割线法即可以是反线性插值(有根区间时)，也可以是外推(非 有根区间)木文综述非线性方程的Newton格式，包括相应的收敛性分析和误差分析伴随着牛顿 法理论的发展与实际应用,如何改进牛顿算法，来减少计算景以提高运算效率「是目前的争 论焦点二、主题部分2.1牛顿法的起源和发展【5]有关特殊的非线性方程求根问题的迭代法最早出现在古希腊、巳比伦和印第安人的著作 E这些方法比微积分的发明还要早，它们都基于代数和几何推理牛顿法的历史令人关注, 这种方法只有一部分归功于牛顿木人虽然早在1665年牛顿就使用了与割线法等价的方法, 但直到1669年牛顿才第一次提出了与现在的牛顿法基本等价的方法令人惊讶的是，牛顿 提出的方法本身并没有使用导数(他是在文章中的另一处介绍的)，而是基于二项展开式， 因此开始只适用于多项式。
牛顿法在很大程度上是受到了另一个与之紧密相关的方法的影 响，这种方法是在1600年由Vieta所提出的1690年，拉弗森(Raphson)对牛顿法作了 简化和改进，称为牛顿-拉弗森方法，至今仍被经常使用在牛顿法中使用导数是由辛普森 (Simpson)在1740年首次提出的，这才是我们现在所称的牛顿法，辛普森还将这种方法从 一维空间扩展到多维空间1798年，拉格朗廿提出了牛顿法简单而精巧的表达式，并在1831 年由傅立叶作了推广，此时Vieta和辛普森的页献似乎被遗忘，只留下了与该方法有关的牛 顿的名字(有时也有拉弗森的名字)辛普森在牛顿法中的贡献可能要比在辛普森法中的贡 献还要大2.2牛顿法的格式I用迭代法求方程/(x) = 0 (2-2-1)的根时，首先要把它写成等价形式x = (x) (2-2-2)迭代函数但(力构造得好坏，不仅影响收敛速度，而且迭代格式有可能发散怎样选择一个 迭代函数能够保证迭代序列一定收敛呢？构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根因此如果能将非线性 方程(2-2-1)用线性方程来代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便o Newton 法就是把非线性方程线性化的一种方法。
设迎是式(2-2-1)的一个近似根，把J(x)在叫，处作1阶Taylor展开，即F是我们得到如下近似方程/3)+rK)(xf )=0(2—2—3)设f（林）壬0,则方程（2-2-3）的解为/代)取工作为原方程（2-2-1）的新的近似根A,+I,即令f（M）广（与）(*=0,1,2，…) (2-2-4)称式（2-2-4）为Newton迭代格式用Newton迭代格式（2-2-4）求方程（2-2-1）根 的方法称为Newton迭代法，简称Newton法2.3牛顿法的收敛性和误差分析1、收敛性s-牛顿法的迭代公式类似于不动点迭代法:/(%) ( \一亦pm)如果？3） 2、误差分析*⑹对于误差，我们指的是量（不考虑舍入误差.）假定连续并且尸是/的单零点，因此/（r） = 0^/f（r）o从牛顿迭代的定义，我们有(2-3-4)用泰勒定理，我们有/•(尸)=/•(L - ■) = / 3〃)-弓 J"(L)+s 打(&)这里玲介于与尸之间的一个数重新组织此式，得将其代入（2-3-4）式得(2-3-5)_ 1 广G) 2 1 广⑺ 2_r 2i —2广3广〜2广(,广一 %假设Cal且与nl（r\则由（2-3-5）式，我们有e„+110-8且《心a 10*这使我们感觉只要再额外的迭代…点就能使计算精度超过机器精度!这个等式告诉我们弓+大约为《乘以一个常数这种令人满意的状态称为二次收敛它说明在许多应用中，随着牛顿法的每次迭代，精度明显倍增2.4牛顿法的变形I的1. 简化牛顿法在牛顿迭代（2-24）中需要计算广（尤）如果计算广（X）存在实际困难，可以采用简化牛 顿法，即_ 小）M+1 =xk Cf （%）这里C是一个常数此时对应的Picard迭代中的伊（尤）=工一 一C、 广 3）（P（X）= x C由迭代收敛条件|胡=1 -』=日 < 乙< 1得简化牛顿法收敛条件f（x\0 当然要 取c = f（x）是困难的，但是当C是f（x）较好的近似时收敛速度还是很快的2. 牛顿下山法定理l设/•（的在有限区间［可上二阶导数存在且广⑴油,r（x）不变号,在区间 端点满足条件：|/（6/）//"（6/）| <2-4-2)代替而且此时由(2-2-4)产生的序列区J是单调收敛于/(%) = 0的唯一解这就是说 此时只要初始近似值吒满足条件(2-4-2)则迭代(2-2-4)是收敛的但是在有些问题中, 条件(2-4-1)或(2-4-2)是很难保证的，尽管我们知道只要气充分靠近F即可可以用所谓的牛顿下山法来扩大初始近似M的选取范围，即叫+】二五一人今只 k=o,l,・・・i (l)这里人称为下山因了，此值在迭代过程中可以逐步改进设根的误差限为幺.，残量误差限为勺，人的下界为3 选取初始近似吒和4 = 15为一个小的量，用于玉十的摄动牛顿下山法的计算过程如下:(1)由M 计算xk+i -Xk-A 。 2)比较，(改+1)和』(玉)*若XM - xk 伴随着牛顿法理论的 发展与实际应用，人们围绕牛顿法提出了各种改进的牛顿算法，来减少计算量以提高运算效 率其中有简化牛顿法，它以固定的广（％）代替广（玉）；有拟牛顿法，它的基本思想是用 差商代替导数，其中以Broyden提出的算法为代表，文［13］给出了Broyden法的半局部收敛性 定理，这些定理在理论上都是很有意义的；还有牛顿型法，等等七2.7实际应用[14]在雷达、对抗领域，常常利用未知位置的辐射源的辐射信号，确定出该辐射源及其空间 或地理位置；对测向定位而言，贝懦利用已知地理位置的辐射源，来确定航行中物体的空 间或地理位置中长波的无线电信号，可以沿地球表面传播较远的距离，远距离定位时，测向方式要 考虑地球曲率的影响为了解算出航行中物体的地理坐标，首先假定一个辅助的球形地球, 将椭球地球的各种参数投影到辅助球面上，采用平面近似方法，解算出舰船概位，再反算 到地球椭球上，经过概位修正，得到舰船位置对概位进行修正的算法有很多，主要有闭合形式解，选代及最小二乘解，最优估值解 （如卡尔曼滤波、神经网络、小波变换）等牛顿迭代法因简单有效，而被经常采用在双信号台测向定位中利用牛顿迭代法进行概位修正的方法，分析了牛顿迭代法对概位 误差的消除过程。 通过仿真表明：在满足舰船导航精度要求下，牛顿迭代法的迭代次数少, 且误差很小，达到了概位修正的要求在无线电测向定位的解算中，利用辅助的球形地球, 将椭球地球的各神参数投影到辅助球面上，采用平面近似方法，解算出舰船概位，都可以利 用牛顿迭代法进行概位修正三、总结部分牛顿迭代法就是一种常用的方法，其收敛性好，具有二阶收敛速度，但是，它每次要计算 导数，计算复杂，计算量较大，特别当/（尤）本身比较复杂，或者其导数无法计算，或者计算导 数需要很多计算量的时候就不适合使用了 。
