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苏教版必修一苏教版必修一苏教版必修一苏教版必修一 3.4.1 函数与方程函数与方程执教老师：周丽娜执教老师：周丽娜执教老师：周丽娜执教老师：周丽娜 班级：高一（班级：高一（班级：高一（班级：高一（8 8））））江苏省梁丰高级中学江苏省梁丰高级中学江苏省梁丰高级中学江苏省梁丰高级中学下列方程有实数根吗？下列方程有实数根吗？下列方程有实数根吗？下列方程有实数根吗？问题问题1(1) (1) x2-2x-3=0(3)(3)(2) (2) 8x5+2x-3=0lgx+x-3=0历史上数学家对解方程的研究历史上数学家对解方程的研究历史上数学家对解方程的研究历史上数学家对解方程的研究 中国古代世界数学名著中国古代世界数学名著中国古代世界数学名著中国古代世界数学名著: : 东汉初年（公元东汉初年（公元50年～年～100年）年） 《《《《九章算术九章算术九章算术九章算术》》》》 祖冲之（公元祖冲之（公元429～公元～公元500）） 对对对对《《《《九章算术九章算术九章算术九章算术》》》》作了注释，又编写一本作了注释，又编写一本作了注释，又编写一本作了注释，又编写一本《《《《缀术缀术缀术缀术》》》》 秦九韶秦九韶（（1208年－年－1261年）年） 《《《《数书九章数书九章数书九章数书九章》》》》 杨辉杨辉1261年所著的年所著的 《《《《详解九章算法详解九章算法详解九章算法详解九章算法》》》》、、、、《《《《杨辉算法杨辉算法杨辉算法杨辉算法》》》》 朱世杰朱世杰(元代杰出数学家元代杰出数学家) 《《《《四元玉鉴四元玉鉴四元玉鉴四元玉鉴》》》》等等等等 这些著作中研究了高次方程的各种解法，是当时世界这些著作中研究了高次方程的各种解法，是当时世界这些著作中研究了高次方程的各种解法，是当时世界这些著作中研究了高次方程的各种解法，是当时世界 数学的高峰，远远领先西方同样的发现．数学的高峰，远远领先西方同样的发现．数学的高峰，远远领先西方同样的发现．数学的高峰，远远领先西方同样的发现．　　　　数学家研究出了二次、三次、四次方程的数学家研究出了二次、三次、四次方程的求根公式，但对于五次及以上的高次方程求根求根公式，但对于五次及以上的高次方程求根公式经过长期努力，都无果而终，事实上这是公式经过长期努力，都无果而终，事实上这是不可能的，不可能的，1824年，年，22岁的挪威天才数学家岁的挪威天才数学家 阿贝尔阿贝尔（（N.H.Abel，，1802-1829）成功地证明）成功地证明了五次及以上的高次方程没有公式解．了五次及以上的高次方程没有公式解．实际上实际上大多数方程都没有求根公式大多数方程都没有求根公式 ．． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a>0)+bx+c=0(a>0)的的根与二次函数根与二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a>0)+bx+c(a>0)的图象的图象上的点有什么关系？上的点有什么关系？问题２：问题２： 函数的图象函数的图象与与x x轴交点轴交点方程方程函数函数函数的图象函数的图象函数的图象函数的图象方程的实数根方程的实数根方程的实数根方程的实数根x1=－－1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(－－1,0)、、(3,0)(1,0)无交点无交点xy0－－132112－－1－－2－－3－－4..........xy0－－132112543.....yx0－－12112x x2 2－－－－2x+1=02x+1=0x x2 2－－－－2x+3=02x+3=0y= xy= x2 2－－－－2x2x－－－－3 3y= xy= x2 2－－－－2x+12x+1x x2 2－－－－2x2x－－－－3=03=0y= xy= x2 2－－－－2x+32x+3一、知识探究一、知识探究 1. 1.方程的根与函数图象上的点方程的根与函数图象上的点方程的根与函数图象上的点方程的根与函数图象上的点方程方程方程方程axax2 2 +bx+c=0+bx+c=0(a>0)(a>0)的根的根的根的根函数函数函数函数y= axy= ax2 2 +bx+bx+c(a>0)+c(a>0)的图象的图象的图象的图象判别式判别式判别式判别式△△△△ = =b b2 2－－－－4ac4ac△△＞＞0△△=0△△＜＜0函数的图象函数的图象函数的图象函数的图象与与与与 x x 轴的交点轴的交点轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、、x2方程的根方程的根 对应函数图像与对应函数图像与x轴交点的横坐标。

轴交点的横坐标等于等于等于等于结论：结论：方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点的横坐标轴有交点的横坐标函数函数函数函数的的的的零点定义：零点定义：零点定义：零点定义：对于函数对于函数对于函数对于函数y=f(x),y=f(x), 使使使使f(x)=f(x)=0 0的实数的实数的实数的实数x x叫做函数叫做函数叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点函数函数函数函数y=f(x)y=f(x)函数值等于函数值等于函数值等于函数值等于0 0的相应的相应的相应的相应x x注意：注意： 函数的零点是函数的零点是函数的零点是函数的零点是数！数！ 结论：结论：结论：结论：方程方程方程方程f(x)=f(x)=0 0有实数根有实数根有实数根有实数根函数函数函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点轴有交点轴有交点函数函数函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与的图象与的图象与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标方程方程方程方程f(x)=f(x)=0 0的实数根的实数根的实数根的实数根 函数的图象函数的图象与与x x轴交点轴交点函数函数函数函数函数的图象函数的图象函数的图象函数的图象(－－1,0)、、(3,0)(1,0)无交点无交点xy0－－132112－－1－－2－－3－－4..........xy0－－132112543.....yx0－－12112y= x2－－2x－－3y= x2－－2x+1 y= x2－－2x+3 问题问题3 从二次函数图像直观地看：图像只要穿从二次函数图像直观地看：图像只要穿过过X轴函数就有零点（不穿过也不一定没有零点）轴函数就有零点（不穿过也不一定没有零点），这是从图形上来看，那么如何从数学上更准确，这是从图形上来看，那么如何从数学上更准确地描述穿过地描述穿过X轴？轴？知识探究知识探究 2 教室内一天中每个时刻的室温，室温教室内一天中每个时刻的室温，室温教室内一天中每个时刻的室温，室温教室内一天中每个时刻的室温，室温y y是时间是时间是时间是时间t t的函数，若某天早晨的函数，若某天早晨的函数，若某天早晨的函数，若某天早晨7 7时的室温为零下时的室温为零下时的室温为零下时的室温为零下4 4度，同学们度，同学们度，同学们度，同学们开了空调，中午开了空调，中午开了空调，中午开了空调，中午1212点室温为点室温为点室温为点室温为8 8度．（大课间、体育度．（大课间、体育度．（大课间、体育度．（大课间、体育课、中饭会关空调）课、中饭会关空调）课、中饭会关空调）课、中饭会关空调）　　若同学们用室温记录仪记录了　　若同学们用室温记录仪记录了　　若同学们用室温记录仪记录了　　若同学们用室温记录仪记录了7 7时到下午时到下午时到下午时到下午1717时时时时室温每个时刻的室温，请画出函数的图像．室温每个时刻的室温，请画出函数的图像．室温每个时刻的室温，请画出函数的图像．室温每个时刻的室温，请画出函数的图像．　　　　问题问题问题问题4 4 从图像看函数在从图像看函数在从图像看函数在从图像看函数在 有零点吗？在有零点吗？在有零点吗？在有零点吗？在 有零点吗？为什么？有零点吗？为什么？有零点吗？为什么？有零点吗？为什么？问题问题问题问题5 5 任取一个区间任取一个区间任取一个区间任取一个区间 , , 请观察当函数的值有请观察当函数的值有请观察当函数的值有请观察当函数的值有什么特点时，函数图象就穿过什么特点时，函数图象就穿过什么特点时，函数图象就穿过什么特点时，函数图象就穿过X X轴，从而函数有零点？轴，从而函数有零点？轴，从而函数有零点？轴，从而函数有零点？问题问题问题问题6 6 的值满足什么条件时，函数在的值满足什么条件时，函数在的值满足什么条件时，函数在的值满足什么条件时，函数在区间（区间（区间（区间（a,ba,b）上有零点？）上有零点？）上有零点？）上有零点？如果函数如果函数如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间[ [a a，，，，b b] ]上上上上有有有有f(a)f(b)f(a)f(b)﹤﹤0 0，那么函，那么函，那么函，那么函 数数数数y=f(x)y=f(x)在在在在( (a,ba,b) )内有零点。

内有零点内有零点内有零点问题问题问题问题7 7 若若若若f(a)f(b)f(a)f(b)﹤﹤0 0，，，，则则则则y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间( (a,ba,b) )上一定有零点吗？上一定有零点吗？上一定有零点吗？上一定有零点吗？Ox的图象是一条不间断的曲线，并且的图象是一条不间断的曲线，并且的图象是一条不间断的曲线，并且的图象是一条不间断的曲线，并且猜想：猜想：函数零点存在性定理函数零点存在性定理y二、发现定理二、发现定理三、再论定理三、再论定理　　　　如果函数如果函数如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间[ [ [ [a a a a，，，，b b b b] ] ] ]上的图像是一条上的图像是一条上的图像是一条上的图像是一条不间断的曲线，且不间断的曲线，且不间断的曲线，且不间断的曲线，且f(a)f(b)f(a)f(b)﹤0﹤0，，那么函那么函那么函那么函 数数数数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在在在在( ( ( (a,ba,ba,ba,b) ) ) )内内内内有零有零点点．．函数零点存在性定理函数零点存在性定理辨析辨析辨析辨析1 1 如果函数如果函数如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间[ [a a，，，，b b] ]上的图像是一条不间断的曲线，上的图像是一条不间断的曲线，上的图像是一条不间断的曲线，上的图像是一条不间断的曲线，且且且且f(a)f(b)f(a)f(b)﹤﹤0 0，那么函，那么函，那么函，那么函 数数数数y=f(x)y=f(x)在在在在( (a,ba,b) )上是否有唯一零点？上是否有唯一零点？上是否有唯一零点？上是否有唯一零点？辨析辨析辨析辨析2 2 如果函数如果函数如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间[ [a a，，，，b b] ]上的图像是一条不间断的曲线，上的图像是一条不间断的曲线，上的图像是一条不间断的曲线，上的图像是一条不间断的曲线，函数函数函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间( (a a，，，，b b) )有零点有零点有零点有零点, ,那么那么那么那么f(a)f(b)f(a)f(b)﹤﹤0 0 ？？？？ xyOxyO四、学以致用四、学以致用函数零点存在性定理函数零点存在性定理函数零点存在性定理函数零点存在性定理如果函数如果函数如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间[ [a a，，，，b b] ]上上上上有有有有f(a)f(b)f(a)f(b)﹤﹤0 0，那么函，那么函，那么函，那么函 数数数数y=f(x)y=f(x)在在在在( (a,ba,b) )内有零点。

内有零点内有零点内有零点的图象是一条不间断的曲线，并且的图象是一条不间断的曲线，并且的图象是一条不间断的曲线，并且的图象是一条不间断的曲线，并且（（1））一个定义：一个定义： 函数的零点函数的零点函数的零点函数的零点 一个定理：一个定理：零点存在定理零点存在定理零点存在定理零点存在定理五、小结提高五、小结提高（（3））渗透了渗透了函数与方程、数形结合的思想函数与方程、数形结合的思想函数与方程、数形结合的思想函数与方程、数形结合的思想（（2））判断函数零点是否存在可以考虑用：判断函数零点是否存在可以考虑用：函数图象、零点存在定理等函数图象、零点存在定理等函数图象、零点存在定理等函数图象、零点存在定理等华罗庚：华罗庚：““数缺形时少直观，形少数时难入微；数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休数形结合百般好，隔离分家万事休””．．我们已经知道，函数我们已经知道，函数f(x)=lgx+x-3的唯的唯一零点在（一零点在（1，，3）内，那么该如何进一）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？步求此零点的值呢？课后探究:六、留有余味六、留有余味。