4.2-4实变函数与泛函分析可测函数.ppt

第二节 叶果洛夫定理 可测函数的一致收敛性第四章 可测函数1-例：函数列fn(x)=xn , n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn一致收敛是函数列很重要的性质, 能保证极限过程和一些运算的可交换性但一般而言，收敛的函数列不一定一致收敛,然而是基本上(a.e.)一致收敛的（叶果洛夫定理） 几乎处处收敛与一致收敛（叶果洛夫定理）Th:设mE+，fn在E上可测，f几乎处处有限，则fn在E上a.e.一致收敛于f.凡是满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”(a.e.)一致收敛的. 于是在许多场合它提供了处理极限交换问题的有力工具.另外显然 f fn n(x)(x) 在 上点点收敛于f(x)f(x)所以 f fn n(x)(x) 在E上a.e.收敛于f(x)f(x)证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 f fn n(x)(x) 在 En上一致收敛于f(x)f(x) ，当然f fn n(x)(x) 在En 上点点收敛于f(x)f(x) 叶果洛夫定理的逆定理叶果洛夫定理的逆定理叶果洛夫定理叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理 子列子列RieszRiesz定理定理 子列第三节 可测函数的构造第四章 可测函数鲁津定理Th.设f(x)为E上a.e.有限的可测函数,则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。

去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数.我们知道可测集上的连续函数一定是可测函数，但反之不一定，然而是“基本上”连续的.鲁津定理是我们对可测函数的结果有了进一步的了解，揭露了可测函数与连续函数的关系.在应用上可通过它把有关的可测函数问题归结为连续函数问题，从而得以简化.实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）（2）任一可测函数差不多就是连续函数（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数. ( (作业作业P94.8)P94.8)鲁津定理的逆定理鲁津定理的逆定理从而 f(x)在 上可测，进一步 f(x)在 上可测 证明：由条件知， ， 存在闭集使 且 f(x)在En 连续，当然 f(x)在 En上可测，第四节 可测函数的收敛性 依测度收敛第四章 可测函数叶果洛夫定理叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理 子列子列RieszRiesz定理定理 子列函数列的几种收敛一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛: 记作几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛(4)(4)几乎一致收敛几乎一致收敛: :去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛(5)依测度收敛: 记作注：从定义可看出，n几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）n依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零不依测度收敛(5)(5)依测度收敛依测度收敛几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1（1 1）处处收敛但不依测度收敛）处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外f fn n 不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于1 1（2）依测度收敛但不处处收敛f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f83.几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）TH1.设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，叶果洛夫定理叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理 子列子列RieszRiesz定理定理 Riesz定理若 于E,则必有fn的子列 fnk ，使得子列例3. 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E.从而 令 ，即得我们所要的结果。

证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在gn(x) 的子列 gni(x)使gni(x)f(x) a.e.于E，。