2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)-理科数学.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题　共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　A.{0} B.{-1,0}C.{0,1} D.{-1,0,1}答案:B解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}.2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于(　　).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案:D解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D.3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的(　　).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵φ=π,∴y=sin(2x+π)=-sin 2x,∴曲线过坐标原点,故充分性成立;∵y=sin(2x+φ)过原点,∴sin φ=0,∴φ=kπ,k∈Z.故必要性不成立.故选A.4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为(　　).A.1 B.23 C.1321 D.610987答案:C解析:依次执行的循环为S=1,i=0;S=23,i=1;S=1321,i=2.故选C.5.(2013北京,理5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=(　　).A.ex+1 B.ex-1C.e-x+1 D.e-x-1答案:D解析:依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-x-1,故选D.6.(2013北京,理6)若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为3,则其渐近线方程为(　　).A.y=±2x B.y=±2xC.y=±12x D.y=±22x答案:B解析:由离心率为3,可知c=3a,∴b=2a.∴渐近线方程为y=±bax=±2x,故选B.7.(2013北京,理7)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于(　　).A.43 B.2 C.83 D.1623答案:C解析:由题意可知,l的方程为y=1.如图,B点坐标为(2,1),∴所求面积S=4-202 x24dx=4-2x312|02=83,故选C.8.(2013北京,理8)设关于x,y的不等式组2x-y+1>0,x+m<0,y-m>0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是(　　).A.-∞,43 B.-∞,13C.-∞,-23 D.-∞,-53答案:C解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=12x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在y=12x-1下方,也就是m<-12m-1,即m<-23.故选C.第二部分(非选择题　共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013北京,理9)在极坐标系中,点2,π6到直线ρsin θ=2的距离等于　　　　　. 答案:1解析:在极坐标系中,点2,π6对应直角坐标系中坐标为(3,1),直线ρsin θ=2对应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.10.(2013北京,理10)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=　　　　　;前n项和Sn=　　　　　. 答案:2　2n+1-2解析:由题意知q=a3+a5a2+a4=4020=2.由a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,∴a1=2.∴Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.11.(2013北京,理11)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=　　　　　,AB=　　　　　. 答案:95　4解析:设PD=9k,则DB=16k(k>0).由切割线定理可得,PA2=PD·PB,即32=9k·25k,可得k=15.∴PD=95,PB=5.在Rt△APB中,AB=PB2-PA2=4.12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是　　　　　. 答案:96解析:连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有4×C41A33=96(种).13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=　　　　　. 答案:4解析:可设a=-i+j,i,j为单位向量且i⊥j,则b=6i+2j,c=-i-3j.由c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,∴6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2,μ=-12.∴λμ=4.14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　　. 答案:255解析:过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H=25=255.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤.15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在△ABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=26,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得3sinA=26sin2A.所以2sinAcosAsinA=263.故cos A=63.(2)由(1)知,cos A=63,所以sin A=1-cos2A=33.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=13.所以sin B=1-cos2B=223.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=539.所以c=asinCsinA=5.16.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=113,且Ai∩Aj=⌀(i≠j).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=213.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=413,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=413,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=513.所以X的分布列为:X012P513413413故X的期望EX=0×513+1×413+2×413=1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5,(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(3)证明:段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求BDBC1的值.解:(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A1C1=0,即3y-4z=0,4x=0.令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B1BC1的法向量为m=(3,4,0).所以cos=n·m|n||m|=1625.由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为1625.(3)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且BD=λBC1,所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.所以AD=(4λ,3-3λ,4λ).由AD·A1B=0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,BDBC1=λ=925.18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解:(1)设f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2.所以f'(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=x2-1+lnxx2.当01时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A,B,C是椭圆W:x24+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解:(1)椭圆W:x24+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m2=1,即m=±32.所以菱形OABC的面积是12|OB|·|AC|=12×2×2|m|=3.(2)假设四边形OABC为菱形.。