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§ 8平面束与平面把平面束：1 定义：空间中过一定直线lo的所有平面的集合称为有轴平面束， lo称为这平面束的轴；空间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束有轴、平行平面束统称为平面束2 方程：定理1 :对任一对确定的不全为 0的实数入，卩，方程入(A! x+B°+G z+)+卩(A2x+ B2y+ C2 z+ D2) =0 (1)表示过二相交平面7 : Aj x+ Bi y+ Ci z+ Di =0 , i=1 , 2的交线lo的一个平面；反之，对过 lo的任一平面n，必存在不全为 0的实数 入，□，使n的方程为(1)证明：先证(1)表示过l0的平面1)即为(入 A1 + ^ A?) x+ (入 B1 + ^ B?) y+ (入 G + 卩 C2) z+ 入 D1 + ^ D2 =0我们断言：上式中x, y,z的系数不全为0,其实若不然，则有- :入=A : A2 = B1 : B2 =C1 : C2这与二1与二2相交矛盾 二(1)表示一平面n ,又显然n过二1与二2的交线I次证：对-过l1的平面n，必存在不全为0的入，1 ,使n的方程为(1)首先，若n三二r，取入=1, 1 =0,若n三二2，取入=0, 口 =1,一般地，若 n 工二 j , j=1 , 2 取 n 上一点 A ( a , 3 , Y ) ，I。

于是，(A1 a +B1 3 +C1 Y + D1 ) ( A2 a + B2 3 + C2 Y + D? ) =0即 入：1 =- ( A2 a +B2 3 + C2 Y + D2 ) : ( A1 a +B1 3 +C1 y +D1 ) 不妨取 入=-(A2 a + B2 3 + C2 y + D 2 ) , 1 = A1 a +B1 3 + C1 y +D1则(〔)便表示过10的平面，又显示该平面过 A,.••这平面就是n例：求过二平面4x-y+3z-1=0与x+5y-z+2=0的交线，且过原点的平面的方程解：略定理2：设在方程(1)中，7：1 //二2，则对任意一对满足-卩：入工A, : A2的不全为0的实数入，卩，(1)表示平行于二i的一个平面n ;反之，对任意平行于 二i的平面n ,必存在满足-:入工A1 : A2的不全为0的实数入，□，使n的方程为(1) 证明：先证，对任意一对满足-:入工A1 : A2的不全为0的实数入，卩(1)表示平行于7： i的平面n由于-卩：入工A1 : A2, •••入A1+ A2丰0,从而(1)表示一平面n，又A1: A2= B1 : B2 =C1 : C2=k则(入 A + 卩 A2): A2 =(入 B1 + ^ B?): B?=(入 C1+ C2) : C2 =入 k+• n/ 二 2 / ,再证：对任意平行于 7 i的平面n，必存在不全为 0的且满足- 1 :入工A1 : A2的入，1,使n的方程为(1)首先，若n =二1，取入=1, 1 =0;若n三二2，取入=0, 1 =1显然此时- 1 :入工A1 : A2 ( A1, A2要么同时为0，要么同时非0)一般地，若n工二j , i=1 , 2 取n上一点A ( a , 3 , Y )' n，同定理1的证明类似。

取入，1满足入：1 =- ( A2 a + B2 3 + C2 y + D2 )： ( A a +B1 3 + C1 y + D1 )今验证-1 :入工A1: A2其实，若不然，则(A1 a + B1 3 +C1 y + D1 ) ( A2 a + B2 3 + C2 Y + D? ) = A1 : A?即卩 A] ( A2 a + B2 3 + C2 Y + D2 ) - A2 ( A1 a + B1 3 + C1 y + D1 ) =0(A B? - A2 B1) 3 + ( A C2 - A2 C1) y + A D? - A2 D1 =0而 A1 : A2 = B1 : B2 = C1: C2 •• A1: A2= D1: D2 三点 2又显然A ( a , 3 , y )在该平面上， 二这平面正是n定理3:设平面n : Ax+By+Cz+D=0贝U n '// n 〈—〉 n '的方程可表为Ax+By+Cz+D 入=0事实上，“〈一”显然“一〉”若 n '// n，且设 n A x+B' y+C' z+D' =0贝 U A ' : A=B' : B=C : C=k/• n ': kAx+kBy+kCz+D' =0D'即 n ' : Ax+By+Cz+ =0k例：求与平面3x+y-z+4=0平行，且在z轴的截距等于-2的平面的方程。

解：略平面地(平面汇)1、 定义：空间中过一定点 M °的所有平面的集合称为平面把， M ° ――把心2、 方程：定理1 :对于任意不全为 0的A, B, C,方程A (x-X) +B (y- y 0 ) +C( z-Z) =0 (2)表示过M0 ( X0 , y0 , Z0 )的一个平面n ,反之，对过 M0的任一平面n必存在不全为0的A, B, C,使其方程为 (2)更一般地，我们有定理2 :对任意不全为0的入，卩，v ,方程入(A1x+ B1y+C1z+ D1) + ^ ( A2 x+ B2 y+ C2 z+ D2) + v ( A3x+ B3y+C3z+ D3)=0 (3)表示过三平面 r: i : A, x+ Bi y+ Ci z+ Di =0, i=1 , 2, 3(唯一)交点 M y0 , Z0 )的一个平面n ;反之，对任意过 M的平面n，必存在不全为0的入，, v ,使n的方程为(3)。