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抓住本质探究滚动问题抓住本质探究滚动问题张睿 （浙江省宁波市镇海区古塘中学，315200）圆的滚动问题，在新老教材中都出现过近 年更是作为竞赛题出现由于解决此问题，需要 较强的空间想象能力，因此对于所有学生，甚至 是老师都是难点笔者结合自己在教学中的反思， 发现抓准了问题的本质，找到解决问题的一般方 法，便能帮助学生灵活应对这类题目的变式 1 1、、 由简入手：圆在直线上滚动由简入手：圆在直线上滚动 探究一探究一：若半径为 r 的圆沿直线滚动一周， 圆心经过的距离是多少？OAO'B分析：分析：如图 1，圆滚动一周，在直线上经过的 路程为圆的周长 2πr，即 AB=2πr ,则圆心经过 的路程 OO` ` =2πr圆在直线上滚动一周，圆自身 转动了一圈因此可以作出一个大胆猜想：大胆猜想：圆沿 线（包括直线、曲线、折线）滚动时，圆自身转转 动动一圈，圆心经过的路程为一个圆周长；反之， 圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动转动了一 圈 对这个猜想的补充说明：要正确理解这个猜 测，必须分清两个概念，即“滚动、转动” 转动 的定义：物体的各部分都绕着同一条轴线做圆周 运动，这样的运动叫做转动转动。

那么圆自身的转动 指的就是：圆上各点绕着圆心做圆周运动，其所 研究的对象是圆自身而滚动的主体要有两个图 形，两个图形保持时刻接触 2 2、、 拓广范围：圆在多边形内、外滚动拓广范围：圆在多边形内、外滚动 探究二：探究二：如图，⊙Ｏ沿着△ＡＢＣ的外侧外侧 （圆和边相切）（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来位 置已知△ＡＢＣ的周长是⊙Ｏ周长的５倍，问 ⊙Ｏ自身转动了几圈？ 分析：分析： 而按照本文前面的猜想，只要算出圆心 经过的路程，根据：⊙Ｏ转动的圈数=，即可得到结果 圆圆的的周周长长圆圆心心经经过过的的路路程程O6O5O4O3O2O1CBA解：解：如图 2，虚线为滚动过程中圆心的轨迹， 圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长其中三条线段长：=△ＡＢＣ654321oooooo  的周长；图中三段弧所在圆的半径即为⊙Ｏ的半 径，而它们的度数和，等于以 A、B、C 为顶点的 三个周角，减去六个直角，再减去△ＡＢＣ的内角和的差，即         3601806903360 所以三段弧长和为⊙Ｏ的周长 ∴圆心经过的路程=△ＡＢＣ的周长+⊙Ｏ的周长∴⊙Ｏ转动的圈数=（圈）6115  小结：小结：圆在 n 边形外侧滚动一周，圆心经过 的路程等于 n 边形的周长加上 n 段弧长，而这些 弧所在圆的半径即为圆的半径，圆心角和为：发现           360)2(180290360nnn即是 n 边形的外角和，这样 n 段弧长和为圆周长。

∴⊙Ｏ转动的圈数= ① 圆圆的的周周长长圆圆心心经经过过的的路路程程= 圆圆的的周周长长圆圆的的周周长长多多边边形形的的周周长长  = ②1 圆圆的的周周长长多多边边形形的的周周长长在一些出版的论文中，曾看到公式②虽然， 两个公式有相似之处，但笔者认为，研究圆心经 过的路程，是这类问题的本质如在以下的探究 中，更能灵活应对 探究三：探究三：如图，已知 Rt△ＡＢＣ中∠B=60°， ∠C=30°，AB=4，⊙Ｏ的半径 r=1若⊙Ｏ沿着 Rt△ＡＢＣ的内侧作无滑动的滚动一周回到原来 位置问⊙Ｏ自身转动了几圈？图 1图 2分析：分析：如图 3，圆心经过的路程为△O1O2O3的 周长 略解：略解：如图 3，圆与三角形三边相切，切点分 别为 D、E、F、G、H、M，连结圆心和各切 点，延长 HO2交 BC 边于点 N，由已知易得34, 8, 4   ACBCAB3, 1    BFBEAMAD在 Rt△O2NG 中，可得 O2N=，，332则 HN=3323 在 Rt△HNC 中，可得 HC=233633   △O1O2O3的周长=△ABC 的周长-2AD-2BE-2HC=64323223484       ⊙Ｏ转动的圈数=6/26/2π(圈)NMHGFDE O3O2O1CBA小结：小结：抓住本质，则圆在多边形上滚动，内 外无别。

3 3、、 曲直无别，圆在另一圆的内、外滚动曲直无别，圆在另一圆的内、外滚动 探究四：探究四：⊙M 和⊙N 为等圆，半径为 r.若⊙N 沿⊙M 外侧无滑动滚动一周，则⊙N 自身转动几圈? 分析：分析：如图 4，⊙N 的圆心经过的路程为，以 点 M 为圆心，2r 为半径的圆的周长 ∴⊙N 转动的圈数=4 4πr/2 2πr=2(圈) 学生对这道题，直观上难以想象认为⊙N 滚 动一周，圆上每个点依次与⊙M 上每个点重合一次， 因此⊙N 只转动了一圈这暴露出学生对本文中提 到的转动一圈的概念不清可向学生讲清概念的 同时，利用图 4，让学生直观感受 如图 4，当⊙N 的圆心，由 N1 的位置移到 N2 的位置时，圆上点 A、B 的位置也相应转动到点 A’ 、 B'的位置，我们发现⊙N 刚滚动了四分之一周时， 自身已经转动了半圈；而当⊙N 滚动了二分之一周时，自身已经转动了一整圈B''A''A'B'BAN4N3N2N1M小结：小结：圆的滚动问题，只要找准圆心经过的 路程，不但内外无别，曲直亦无别！ 以下是两道变式题，读者可自行解决 1、⊙A 的半径为 1，⊙B 的半径为 4若⊙A 沿⊙B 内侧无滑动滚动一周，则⊙A 自身转动几圈? 略解：略解：如图 5，⊙A 的圆心在以点 B 为圆心， 半径为 3 的圆上，圆心经过的路程为 6π，则自身 转动的圈数=6π/2π=3（圈） 。

BAO'OCBA2、半径为 1 的小圆从点 O 到点 O'，沿曲线 AB 作无滑动的滚动，已知半圆 AC、半圆 BC 所在 圆的半径分别为 4、2则小圆自身转动了几圈？ 略解：略解：如图 6，小圆的圆心在以 3 为半径的圆 上，圆心经过的路程为 6π，则自身转动的圈数 =6π/2π=3（圈） 学习数学，能让学生学会透过想象，认识事 物的本质在无滑动的滚动过程中，圆只有通过 自身的转动，才能使得圆心产生位移相信通过 这样的探究，学生不只是能应对各式各样的变式 题，更能运用这种探究思维，去观察错综复杂的 世间万物 参考书目：《中小学数学》教师版 2005 年 1-2 期《“转圈几何”的探究》钱卫娣 2005 年第 9 期《“内外”确实有别》刘少伟 2007 年第 5 期《有趣的滚动》刘向平 内容摘要：内容摘要：圆的滚动问题中，圆不管是沿曲 线或直线滚动，还是沿多边形的内或外滚动，其 自身转动的圈数，都与其圆心经过的路程有关 即：图 3图 4图 5图 6⊙Ｏ转动的圈数= 圆圆的的周周长长圆圆心心经经过过的的路路程程。