高斯定量ppt课件.ppt

§3 高斯定理高斯定理§3 高斯定理高斯定理一一. . 线和线和 线密度线密度1. 线上任一点的切线方向表示该点处线上任一点的切线方向表示该点处 的方向；的方向；2.垂直于垂直于 的单位面积内穿过的的单位面积内穿过的 线数等于线数等于 的大小q 线规那么线规那么:【注】：【注】：实践按一定比例取整，践按一定比例取整，见图1.10-1.13图1.10图1.11图1.12图1.12§3 高斯定理高斯定理q 线性质线性质:1. 线始于始于“+q〞或〞或远处，止于，止于“-q〞或〞或远处；；2.恣意两条恣意两条 线不相交；不相交；3.静静电场中，中， 线不构成不构成闭合合线1.穿穿过面元面元ΔS的的电通量通量2.穿穿过有限大曲面有限大曲面 S 的的电通量通量 e3.闭合曲合曲线面面 S 的的电通量通量二二. . 线的通量线的通量图图1.14 电通量电通量S1)A点点, < 90 0,e 为正(出)；2)B点点, > 90 0,e 为负(入)商定】：【商定】：闭面外法面外法线为正，那么正，那么 【例如】：〔参【例如】：〔参见图1.15〕〕图图1.15 闭面的电通量闭面的电通量§3 高斯定理高斯定理线穿出闭面通量为正；线穿出闭面通量为正；线穿入闭面通量为负。

线穿入闭面通量为负电力线、通量电力线、通量v为什么要研什么要研讨通量、通量、环流？流？v对象象变导致一系列深化的致一系列深化的变化化——不不仅规律的方式，而且律的方式，而且规律的性律的性质发生生变化化研研讨范畴范畴 对象象 规律律 规律的性律的性质牛牛顿力学力学 质点、点、刚体、延体、延续体体 可逆可逆 决决议论 热学学 大量分子构成的群体大量分子构成的群体 不可逆性不可逆性 非决非决议论 引入引入熵 概率概率论n 阐明研明研讨对象象变化，化，规律性律性质发生生变化，化，n 会有相会有相应的数学手段的引入的数学手段的引入n 如牛如牛顿研研讨引力的同引力的同时提出了微提出了微积分分 场是一定空间范围内延续分布的客体场是一定空间范围内延续分布的客体v温度温度T 温度分布温度分布——温度温度场〔〔标量量场〕〕v流速流速v 流速分布流速分布——流速流速场〔矢量〔矢量场〕〕v电荷荷产生的生的场具有什么性具有什么性质？？ v知知电荷可以根据荷可以根据场强定定义和叠加原理求和叠加原理求场分布分布 v知知场分布也可求得其他分布也可求得其他带电体在其中的运体在其中的运动v物理学家不物理学家不满足于足于这些，各种各些，各种各样的的电荷荷的的场分布五花八分布五花八门，只是外表景象，其本，只是外表景象，其本质是什么？是什么？ v期望从不同的角度提示期望从不同的角度提示电场的的规律性律性v经过探求探求经过与流体与流体类比找到用矢量比找到用矢量场论来描画来描画电场高斯定理高斯定理 p22经经过过恣恣意意闭闭合合曲曲面面的电通量的电通量Gauss面面Gauss面面上上的的场场强强，，是是一切电荷产生的场一切电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关三三. . 高斯定理高斯定理P22P221.穿穿过以点以点电荷荷 q 为中中心的球面的心的球面的电通量通量如如图1.16, 设球面球面 S 的的半径半径为 r，，S 面上各面上各处首先讨论穿过闭合曲面首先讨论穿过闭合曲面 的通量。

的通量穿穿过闭面面S 的的 通量等于通量等于闭面包面包围的的电荷除以荷除以ε0处处沿沿 S 面法向，面法向，即图图1.16 穿过以穿过以q为为中心的球面的电通量中心的球面的电通量+qS2.穿穿过包包围点点电荷荷 q 恣意恣意闭面的面的电通量通量在在闭面面S 内作一以内作一以 q为中心的恣意半径的球面中心的恣意半径的球面S〞，〞，见图1.17由由1. 的的结论可知，穿可知，穿过S〞〞 的的电通量通量为 q/ε0 ，，元立体角元立体角dΩ 内的内的电通量通量为将将dΩ 锥面延伸，在面延伸，在闭面面S 上截出一面元上截出一面元dS dS’dS〞〞S〞Sq图图1.17 穿过包围穿过包围 q 的恣意闭面的电通量的恣意闭面的电通量 dS设dS与与q间隔隔r，， 与与 的的夹角角θ，那么穿，那么穿过dS 的的电通量通量而而故故那么那么穿穿过闭面面S 的的 通量等于通量等于闭面包面包围的的电荷除以荷除以ε0同同样，，同同S〞〞处3.穿穿过不包不包围点点电荷恣意荷恣意闭面的面的电通量通量q图图1.18 穿过不包围穿过不包围 q 的恣意闭面的电通量的恣意闭面的电通量由由得得那么那么穿穿过闭面面S 的的 通量等于通量等于闭面包面包围的的电荷除以荷除以ε0依然，依然，同上方法，如同上方法，如图1.18，，§3 高斯定理高斯定理综上上4.穿穿过包包围多个点多个点电荷荷闭面的面的电通量通量设闭面包围设闭面包围m 个点电荷个点电荷闭面上处处有闭面上处处有法向分量法向分量或或即即那么那么或或穿穿过闭面面S 的的 通量等于通量等于闭面包面包围的的电荷的代数和除以荷的代数和除以ε0§3 高斯定理高斯定理高斯定理：高斯定理：其中，其中，V是是闭面面S 所包所包围的空的空间。

或或—— 的散度的散度由格林公式由格林公式可得可得静静电场中穿中穿过任一任一闭面的面的 通量等于通量等于闭面内面内电荷的代数和除以真空的介荷的代数和除以真空的介电常数常数ε0【【讨论】：】：1.静静电场是有源是有源场；；(正正电荷荷 源，源， 负电荷荷 汇)2.〔有〔有势场，保守力，保守力场，无旋，无旋场〕〕3.电力力线的延的延续性；性；4.〔起始于正〔起始于正电荷，荷，终止于止于负电荷；荷；5. 不中断，不不中断，不闭合〕合〕6.两两电力力线不相交；不相交；7.〔〔电力管，密度与力管，密度与场强对应〕〕8.运用：求解运用：求解电场9.〔〔详见下一部分〕下一部分〕GaussGauss定理运用列举定理运用列举v定理反映了静定理反映了静电场的性的性质——有源有源场 v提供求提供求带电体周体周围的的电场强度的方法度的方法 vP24－－p29v球球对称的称的电场v轴对称的称的电场v无限大无限大带电平面的平面的电场S【例【例 1】：点】：点电荷荷q 的的场强 【解】：【解】：设任一点任一点P 至至电荷荷间隔隔为r ，以，以电荷荷为中心、中心、 r 为半径半径作球面作球面S，那么，那么P点在点在S上，如上，如图1.19。

所以穿所以穿过高斯面高斯面S 的的电通量通量根据高斯定理根据高斯定理比较两式得比较两式得由于静由于静电场的分布是球的分布是球对称的，称的，或或【【讨论】：】：P q图1.19 点点电荷的荷的场1.如何如何选取高斯面取高斯面S ；；§3 高斯定理高斯定理2.如何利用如何利用对称性；称性；四四. 高斯定理的运用高斯定理的运用 在矢量在矢量场中高斯定理具有重要中高斯定理具有重要实际意意义，在静，在静电场中中还具有具有实践践运用价运用价值满足一定足一定对称条件下，用高斯定理求解称条件下，用高斯定理求解电场较简便＃＃球对称的电场球对称的电场p24v例例题6 6：：求求均均匀匀带正正电球球壳壳内内外外的的场强，，设球球壳壳所所带电量量为Q Q，半径，半径为R Rn在球坐在球坐标下分析：下分析：n球球壳壳电荷荷均均匀匀分分布布，，围绕任任不不断断径径都都是是旋旋转不不变——场强分分布布也也不不变，，但但旋旋转时E和和E变——只需只需E＝＝0和和E＝＝0n只只需需径径向向分分量量Er不不为零零，，r一一样Er一一样——场呈球呈球对称分布称分布v根据根据场的的对称性做高斯面称性做高斯面v求出求出经过Gauss面的通量面的通量 n结论：球壳内：球壳内E=0；球壳外；球壳外 与点与点电荷荷场一一样 2.设球面内任一点球面内任一点Q至球心至球心r ，， 由于静由于静电场的分布是球的分布是球对称的，所称的，所以穿以穿 过高斯面高斯面S2 的的电通量通量图图1.21 球面内的场球面内的场q根据高斯定理根据高斯定理比比较两式得两式得QS2 以以 r 为半径作同心球面半径作同心球面S2，，那么那么Q点在点在S2上，如上，如图1.21。

均匀球面均匀球面电荷内外荷内外电场的分布曲的分布曲线见图1.220 (rR)综上上ROEr图图1.22 E-r 曲线曲线＃＃【例【例 7】：均匀球体】：均匀球体电荷的荷的场强分布1.设球体外任一点球体外任一点P 至球心至球心r ，以，以 r 为半径作同心球面半径作同心球面S1，那么，那么P点点在在S1上，如上，如图1.23 由于静由于静电场的分布是球的分布是球对称的，所以穿称的，所以穿过高斯高斯面面S1 的的电通量通量根据高斯定理根据高斯定理比比较两式得两式得或或【解】：【解】：设球体半径球体半径为R ，，电量量q沿球体均布沿球体均布同位于中心的点同位于中心的点电荷荷q 的的场图图1.23 球体电荷外的场球体电荷外的场qS1P2.设球体内任一点球体内任一点Q至球心至球心r ，， 由于静由于静电场的分布是球的分布是球对称的，称的，所以穿所以穿过高斯面高斯面S2 的的电通量通量图图1.24 球体内的场球体内的场q根据高斯定理根据高斯定理 以以 r 为半径作同心半径作同心球面球面S2，那么，那么Q点在点在S2上，如上，如图1.24。

均匀球体均匀球体电荷内外荷内外电场分布分布见图1.25综上上比比较两式得两式得QS2ROEr图图1.25 E-r 曲线曲线＃＃【【讨论】：】：1.高斯面的高斯面的选取；取；(对称，称，过P 点〕点〕2.对称分析；〔称分析；〔E 为常量，常量，cosθ 为常量〕常量〕3.同同类问题：多重球面、球壳、球体：多重球面、球壳、球体电荷，荷，电荷非均匀分布等；荷非均匀分布等；4.不同心球形不同心球形电荷，可用荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；叠加原理和高斯定理求解；5.特殊解法：特殊解法：补偿法〔根据法〔根据场强叠加原理〕叠加原理〕图图1.28 补偿法补偿法图图1.26 多重球形多重球形k 是常量图图1.27 非均匀球体非均匀球体【例【例 8】：均匀】：均匀长直直细棒棒电荷荷线密度密度为   , 求其求其场强分布 【解】：【解】：设任一点任一点P 至至电荷的荷的间隔隔为r ，以，以电荷荷为轴、半径、半径为r作作圆柱面柱面S，柱高，柱高 l，如，如图1.29，，由于静由于静电场的分布是的分布是轴对称的，称的，所以穿所以穿过高斯面高斯面S 的的电通量通量根据高斯定理根据高斯定理＃＃S1S2+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ + + +lPS3图图1.29 长直电荷的场长直电荷的场比较两式得比较两式得，方向沿径向。

方向沿径向§3 高斯定理高斯定理【例【例 5】：均匀】：均匀长圆柱面柱面电荷的荷的电场分布设圆柱面柱面电荷面密度荷面密度 σ 为常量，柱面半径常量，柱面半径为R解】：【解】：1.设圆柱面柱面电荷外任一点荷外任一点P 至至圆柱面柱面轴线的的间隔隔为r ，，PlS1R图图1.30 柱面外的场柱面外的场据高斯定理据高斯定理比比较得得，方向沿径向方向沿径向作半径作半径为 r 的同的同轴圆柱面柱面S1，，侧面面过P点，柱高点，柱高 l，如，如图1.30设S1 侧面面场强大小大小为E1，方向沿径向，，方向沿径向，类似例似例 1 分析可得分析可得2.设圆柱面内任一点柱面内任一点Q至至圆柱面柱面轴线的的间隔隔为r ，，作半径作半径为 r 的同的同轴圆柱面柱面S2，，侧面面过Q点，柱高点，柱高 l，如，如图1.31设S2 侧面面场强大小大小为E2，方向沿径向，，方向沿径向，类似例似例 1 分析可得分析可得据高斯定理据高斯定理所以所以§3 高斯定理高斯定理lS2RQ图图1.31 柱面内的场柱面内的场综上上ROEr图图1.32 E-r 曲线曲线长直直圆柱面柱面电荷荷电场分布可用分布可用E-r 曲曲线表示，表示，见图1.32。

＃＃§3 高斯定理高斯定理【例【例 6】：均匀】：均匀长圆柱体柱体电荷的荷的电场分布设圆柱柱电荷体密度荷体密度 ρ为常量，柱面半径常量，柱面半径为R解】：【解】：1.设圆柱体柱体电荷外任一点荷外任一点P 至至圆柱体柱体轴线的的间隔隔为r ，，作半径作半径为 r 的同的同轴圆柱面柱面S1，，侧面面过P点，柱高点，柱高 l，如，如图1.33设S1 侧面面场强大小大小为E1，方向沿径向，，方向沿径向，类似例似例 1 分析可得分析可得PlS1R图图1.33 柱体外的场柱体外的场据高斯定理据高斯定理比比较得得，方向沿径向方向沿径向§3 高斯定理高斯定理2.设圆柱体内任一点柱体内任一点Q至至圆柱体柱体轴线的的间隔隔为r ，，作半径作半径为 r 的同的同轴圆柱面柱面S2，，侧面面过Q点，柱高点，柱高 l，如，如图1.34设S2 侧面面场强大小大小为E2，方向沿径向，，方向沿径向，类似例似例 1 分析可得分析可得据高斯定理据高斯定理所以所以RQ图图1.34 柱体内的场柱体内的场综上综上ROEr图图1.35 E-r 曲线曲线长直直圆柱体柱体电荷荷电场分布可用分布可用E-r 曲曲线表示，表示，见图1.35。

lS2＃＃【【讨论】：】：1.高斯面的高斯面的选取；取；(P 点在端面行点在端面行吗？〕？〕2.对称分析；〔有限称分析；〔有限长直直电荷行荷行吗？〕？〕3.同同类问题：多重：多重圆柱面、体柱面、体电荷，荷，电荷非均匀分布等；荷非均匀分布等；4.不同不同轴长直直电荷，可用荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；叠加原理和高斯定理求解；5.特殊解法：特殊解法：补偿法〔根据法〔根据场强叠加原理〕叠加原理〕§3 高斯定理高斯定理k 是常量图1.36 多重多重圆柱形柱形图1.37 非均匀非均匀圆柱体柱体图1.38 补偿法法ES2由高斯定理由高斯定理【例【例 7】：均匀无限大平面】：均匀无限大平面电荷荷场强的分布 【解】：【解】：设电荷面密度荷面密度  为常量，任一点常量，任一点P 至至电荷的荷的间隔隔为r ，，取高斯面取高斯面为垂直并垂直并对称于称于电荷平面，横截面荷平面，横截面积 ΔS，那么端面，那么端面S1 过P 点，如点，如图1.39§3 高斯定理高斯定理由由对称分析可得称分析可得比比较得得，方向垂直向外方向垂直向外 图图1.39 无限大平面电荷的场无限大平面电荷的场无限大平面无限大平面电荷的荷的电场与到与到电荷平面的荷平面的间隔无关，是匀隔无关，是匀强电场。

ES1S3【【讨论】：】：§3 高斯定理高斯定理1.高斯面的高斯面的选取；取；(P 点在点在侧面上行面上行吗？非？非圆柱面行柱面行吗？〕？〕2.对称分析；〔平面两称分析；〔平面两侧柱高相等必要柱高相等必要吗？〕？〕3.同同类问题：多重平面、平板：多重平面、平板电荷，荷，电荷非均匀分布等；荷非均匀分布等；+ - 图图1.40 两平行两平行 平面电荷平面电荷图图1.42 非均匀非均匀 平板电荷平板电荷ρ =kxxo图图1.41 均匀均匀 平板电荷平板电荷xo图图1.43 非均匀非均匀 平板电荷对平板电荷对xo ρ=kx q静静电场对外表外表现有以下重要性有以下重要性质：：q引入引入电场的任何的任何带电体都受体都受电场作用力作用力q——电场力；力；q带电体在体在电场中挪中挪动时，，电场力力对带电体体q做功作业vp73 1-14、15、16、17、20。