B样条曲线曲面.ppt

3.1.2 B3.1.2 B样条曲线和曲面样条曲线和曲面1　在我们工程中应用的拟合曲线，一般　地说可以分为两种类型：一种是最终　生成的曲线通过所有的给定型值点，　比如抛物样条曲线和三次参数样条曲　线等，这样的曲线适用于插值放样；　另一种曲线是，它的最终结果并不一　定通过给定的型值点，而只是比较好　地接近这些点，这类曲线（或曲面）　比较适合于外形设计2　因为在外形设计中(比如汽车、船舶)，　初始给出的数据点往往并不精确；并　且有的地方在外观上考虑是主要的，　因为不是功能的要求，所以为了美观　而宁可放弃个别数据点因此不须最　终生成的曲线都通过这些数据点　另一方面，考虑到在进行外形设计时　应易于实时局部修改，反映直观，以　便于设计者交互操作第一类曲线在　这方面就不能适应3　　法国的 Bezier 为此提出了一种新的　参数曲线表示方法，因此称为Bezier　曲线后来又经过 Gordon、Forrest　和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线　 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用4　　一、一、BezierBezier曲线曲线　Bezier曲线的形状是通过一组多边折　线（特征多边形）的各顶点唯一地定　义出来的。

在这组顶点中：　(1) 只有第一个顶点和最后一个顶点　在曲线上；　(2) 其余的顶点则用于定义曲线的导　数、阶次和形状；　(3) 第一条边和最后一条边则表示了　曲线在两端点处的切线方向5　　１１.Bezier.Bezier曲线的数学表达式曲线的数学表达式　 Bezier曲线是由多项式混合函数推导　出来的，通常 n+1 个顶点定义一个 n　次多项式其数学表达式为： (0 ≤ t ≤ 1)　式中：Ｐi：为各顶点的位置向量　　　　Ｂi,n(t)：为伯恩斯坦基函数6　伯恩斯坦基函数的表达式为：　　　假如规定：０＝１，０！＝１，则　t=0:　i=0 ,Bi,n(t)=1 　　　　i0 ,Bi,n(t)=0　P(0)=P0　　　7　t=1:　i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0　P(1)=Pn 所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”即　　Bezier曲线只通过多边折线的起点　和终点8　下面我们通过对基函数求导，来分析　两端切矢的情况。

　　　　　得：　 9　讨论：　　　t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0 i2: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=0　　　　　 （均出现 0 的非 0 次幂）10　 　t=0　　同理可得，当 t=1 时　这两个式子说明：Bezier曲线在两端　点处的切矢方向与特征多边形的第一　条边和最后一条边相一致 11　　２２. .二次和三次二次和三次BezierBezier曲线曲线　　(1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条　二次(n=2) Bezier曲线：　其相应的混合函数为：　 12　所以，根据式：　　二次 Bezier 曲线的表达形式为：　P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2　　　　　（０≤t ≤ 1)13　根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨　论二次 Bezier 曲线的性质：　 P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2　 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2　P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)]　P(0)=2(P1-P0)　P(1)=2(P2-P1)　P(1/2)=P2-P0二次 Bezier 曲　线是一条抛物线14　　(2)　四个顶点 P0、P1、P2、P3 可　定义一条三次 Bezier 曲线：　***15　　二、二、B B样条曲线样条曲线　１　１. .从从 Bezier Bezier 曲线到Ｂ样条曲线曲线到Ｂ样条曲线　　(1) Bezier (1) Bezier 曲线在应用中的不足：曲线在应用中的不足： 缺乏灵活性　一旦确定了特征多　边形的顶点数(m个)，也就决定了曲　线的阶次(m-1次)，无法更改；　 控制性差　当顶点数较多时，曲　线的阶次将较高，此时，特征多边形　对曲线形状的控制将明显减弱；16　 不易修改　由曲线的混合函数可　看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为　零。

因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1)　的区间内的任何一点均要受到全部顶　点的影响，这使得对曲线进行局部修　改成为不可能　（而在外形设计中，局部修改是随时要进行的）17　为了克服 Bezier 曲线存在的问题，　Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就　外形设计的需求出发，希望新的曲线　要： 易于进行局部修改；　　　 更逼近特征多边形；　　 是低阶次曲线　于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯　恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条　曲线的新型曲线18　　2. 2.Ｂ样条曲线的数学表达式Ｂ样条曲线的数学表达式　Ｂ样条曲线的数学表达式为：　 在上式中，0 ≤ t ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m　所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定　义的如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=　0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 　次的参数曲线 19　在以上表达式中：　F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ　样条分段混合函数其表达式为：　　　式中： 0 ≤ t ≤1 k = 0, 1, 2, …, n 20　连接全部曲线段所组成的整条曲线称　为 n 次Ｂ样条曲线。

依次用线段连接　点 Pi+k (k=0,1,…,n)所组成的多边折　线称为Ｂ样条曲线在第i段的Ｂ特征多　边形 　　21　　３３. .二次Ｂ样条曲线二次Ｂ样条曲线　在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2　故其基函数形式为：　　22 有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条　曲线的分段表达式为：　　( i= 0,1,2,…,m )　m+1段23　　写成一般的矩阵形式为：写成一般的矩阵形式为：　式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形　的顶点：B0,B1,B2对于第i段曲线的　Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶　点　　（见下图）　　24n=2,二次B样条曲线m+n+1个顶点，三点一段，共m+1段i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)25　　二次Ｂ样条曲线的性质二次Ｂ样条曲线的性质　先对 P(t)求导得：　　然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)　和 P’(t)，可得：　P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)26　与以上这些式子所表达的性质相符的　曲线是何种形状：（见下图）　是什么曲线？与Bezier曲线有何差别？27　结论：分段二次B样条曲线是一条抛　物线；有n个顶点定义的二次B样条曲　线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三　点定义）的连接，并在接点处达到一　阶连续。

见下图）28　　４４. .三次Ｂ样条曲线三次Ｂ样条曲线　分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点　定义，其表达式为：　P( t )=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2　　　　　+F3,3(t)•B3　　(0 t 1)　可见，由 n 个顶点定义的完整的三次　Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接　而成的很容易证明，三次Ｂ样条曲　线在连接处达到二阶连续 ***29　Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线，　曲线的局部形状受相应顶点的控制很　直观这些顶点控制技术如果运用得　好，可以使整个Ｂ样条曲线在某些部　位满足一些特殊的技术要求如：　 可以在曲线中构造一段直线；　 使曲线与特征多边形相切；　 使曲线通过指定点；　 指定曲线的端点；　 指定曲线端点的约束条件30　　三、三、B B样条曲面样条曲面　在数学上，可以很容易将参数曲线段　拓张为参数曲面片因为无论是前面　的 Bezier 曲线还是Ｂ样条曲线，它　们都是由特征多边形控制的而曲面　是由两个方向（比如 u 和 v）的特征　多边形来决定，这两个方向的特征多　边形构成特征网格。

双二次Bezier曲面和Ｂ样条曲面31　　１１.Bezier .Bezier 曲面曲面　　给定了(m+1)(n+1)个空间点列 bi,j (i=0,　1,2,…,n; j=0,1,2,…,m)后，可以定义m　n次 Bezier 曲面如下式所示：　 　式中：(0 ≤ u,v ≤ 1)　;　Bi,n(u) 为 n 次　Bernstein 基函数；连接点列 bi,j 中相　邻两点组成特征网格 32　在实际应用中，次数 m 和 n 均不宜　超过 5，否则网格对于曲面的控制力　将会减弱，这同 Bezier曲线的情况　是相似的其中最重要的应用是 m=n =3，即双三次 Bezier曲面　双三次 Bezier曲面的表达式为：　　　33　式中：　　34　　２２. .Ｂ样条曲面Ｂ样条曲面　从Ｂ样条曲线到Ｂ样条曲面的拓展完　全类似于从Bezier曲线到Bezier曲面的　拓展　给定了(m+1)(n+1)个空间点列 bi,j (i=0,　1,2,…,n; j=0,1,2,…,m)后，可以定义m　n次 B样条曲面片如下式所示：　　35　同样，式中的 Fi,n(u)称为n次Ｂ样条　基函数族，连结 bi,j组成的空间网格　称为Ｂ特征网格。

　在实际应用中，最为重要的一种曲面　是双三次Ｂ样条曲面片，此时 m=n=3　其表达式为：　36　式中：　　　其余的[U]、[V]和[b]同Bezier曲面37　表达式中的矩阵展开，其实就可以得　到如类似于在曲线中的混合函数如　展开[U][N]可得：　　　上面介绍的 Bezier曲面与此相同38　　整个Ｂ样条曲面是由Ｂ样条曲面片连　接而成的（这正如Ｂ样条曲线），并　且在连接处达到了Ｃ²连续，这一点是　由三次Ｂ样条基函数族 Fi,j(u) 的连续　性保证的所以，双三次Ｂ样条曲面　的突出特点就在于相当轻松地解决了　曲面片之间的连接问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　***39。