二次根式及其运算-教师讲义.docx

中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 初二 课 时 数：3 学员姓名： 科目： 数学 学科教师：王梦珠课程主题 二次根式及其运算法则授课日期时段年 月 日 A段（8：00--10：00）教学内容 （一）二次根式的性质　要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质1.≥0，（≥0）；2. （≥0）； 3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即（≥0，>0）.（1）二次根式(a≥0)的值是非负数一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.（2）与要注意区别与联系：①的取值范围不同，中≥0，中为任意值②≥0时，==；<0时，无意义，=.要点三、最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.（二）二次根式的乘法 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式.②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.（三）二次根式的加减要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；　 　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤：　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；　3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.（一）二次根式的性质1.当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有__3__ 个.【解析】 这三个式子满足无论取何值，被开方数都大于零.【变式】下列式子中二次根式的个数有（ B ）.（1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）（）A．2 B.3 C.4 D.52. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）； （2）y=－； 【答案与解析】 （1）≥0，所以x≥1. （2）≥0,≥0,所以≤x≤；【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（B ）. A. B. C. D. 3. 计算下列各式：(1) (2)【答案与解析】(1) . (2) .4. 已知，那么可化简为（ C ）. A. B. C. D.【解析】.【变式】若整数满足条件则的值是_=0或=-1.类型三、最简二次根式5. 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【变式】化简：（1）； （2）【答案】(1) 原式==;（2）原式=（2） 二次根式的加减乘除运算1.下列根式中，能够与合并的是( B )A. 　　B. 　　　C. 　　　D.【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是( D )A.=2，=1 　B.=1，=2 C. =1，=-1 　D. =1，=1根据题意，得解之，得，故选D.2.（1） （2） (3)+ 　　 (4) （1）原式= =(2)原式= (3)+= 计算: 3.计算:(1) (+)； (2) (1)(+)=+=+=;(2)=.4、计算： 已知，则=_______,=________.【答案】1；10.【变式】已知求的值。

答案与解析】 所以原式=5.计算(1)(-)(m＞0，n＞0)； (2)-3() (a＞0).(1)原式=-=-==-；(2)原式=-2=-2=-a.6. 把下列各式分母有理化： （1）（2）（3） 一．选择题1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）.A. B．x≥1 C.x<1 D.全体实数2. 若,化简 ( ).A. B. C. D.3.下列说法正确的是（ ）A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x≥1C．8的立方根是 D.若点关于x轴对称，则的值为5.4. 若a不等于0，a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).　　A.与 　　　B.与　　　 C.与 　　　D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ）.A．　　　　 B．　　　　 C． 　　　　D．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 二. 填空题7.当x______时，式子在实数范围有意义；当x_______时，式子在实数范围有意义.8.=____________. 若，则____________. 9．（1）=_____________. （2） （a>0）=__________________________.10.若=0，则=_________. 11.当x≤0时，化简=___________.三 综合题12. 当为何值时，下列式子有意义？ （1） (2) （3）； （4）；13.若，求的值.一、选择题1．【答案】B.2．【答案】D .【解析】因为 原式=.3．【答案】 D.【解析】 =2是有理数；的x的取值范围是x>1;8的立方根是2；因为关于x轴对称，所以，及,所以选D.4． 【答案】 C.5． 【答案】 B. 根据最简二次根式的性质，A,D选项都含有能开方的项，C选项含有分母，所以选B.6．【答案】 D 【解析】 因为，是被开方数，所以y<0,x<0, 所以原式===.二、填空题7.【答案】 x≤0；x=0. 8 【答案】. 9.【答案】(1) 45; (2) -3.10.【答案】 -1.【解析】因为=0，所以2-x≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=.11.【答案】 1.【解析】 原式=.三、 解答题12.【解析】 （1）≥0，即为任意实数； （2）≥0，即≤0，即=0. （3） （4）.13.【解析】 因为，所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=，y=. 则=.一.选择题　1.下列根式中，与是同类二次根式的为（ ）　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．　2.下面说法正确的是（ ）　　A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式　B. 与是同类二次根式　　C. 与不是同类二次根式 　D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3.下列计算中，正确的是（　　）A．　　 B．　C．　 　 D． 4. 若，则的值等于（ ）　　A. 4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D. 5.计算等于（ ）A．7 B. C.1 D. 6.下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 二. 填空题 7．化简基础训练：　　__________；__________；__________；__________；　　__________；__________；__________；__________；8.若最简二次根式与是同类二次根式，则.9. 当_________时，最简二次根式可以合并。

10. 一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm. 11. 计算 =_________________. 12. =________________.三 综合题13.计算：（1） （2）14.化简求值：，其中.15.已知，求的值一.选择题1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B【解析】 4．【答案】C【解析】先化简再解方程原式=，即， 5.【答案】B【解析】原式= 6．【答案】D二.填空题7.【。