北京世纪学校2020-2021学年高一数学理联考试题含解析.docx

北京世纪学校2020-2021学年高一数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆的圆心坐标和半径分别是（     ）A.   2 B.   4 C.   2 D.   4参考答案：A【分析】化为标准方程求解.【详解】圆化为标准方程为圆的圆心坐标和半径分别是 故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程与的标准方程互化，属于基础题.2. 长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为   A．20π      B．25π      C．50π              D．200π参考答案：C3. 在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，那么满足条件的△ABC（　　）A. 无解 B. 有一个解 C. 有两个解 D. 不能确定参考答案：C【分析】根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子，代入题中数据化简得c2-5c+9=0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得△ABC有两个解．【详解】∵在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得16=25+c2-10ccos30°，得c2-5c+9=0（*）∵△=（5）2-4×1×9=39＞0，且两根之和、两根之积都为正数，∴方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边c满足题中的条件，由此可得满足条件的△ABC有两个解故选：C．【点睛】本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数．着重考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题．4. 已知扇形的圆心角为，半径等于20，则扇形的弧长为（　　）A．4π B． C．2π D．参考答案：A【考点】弧长公式．【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为，半径等于20，∴扇形的弧长l=rα=20×=4π．故选A．5. 已知，则的值等于（     ）  A.      B. ―      C.         D. ―参考答案：D略6. 已知sinx=3cosx，则sinxcosx的值是（　　）A． B． C．D．参考答案：C【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】将已知等式代入sin2x+cos2x=1中，求出sin2x与cos2x的值，根据sinx与cosx同号，即可求出sinxcosx的值．【解答】解：将sinx=3cosx代入sin2x+cos2x=1中得：9cos2x+cos2x=1，即cos2x=，∴sin2x=1﹣cos2x=，∵sinx与cosx同号，∴sinxcosx＞0，则sinxcosx==．故选：C．7. 设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（   ）A．            B．[0,4]           C．        D．[0,1] 参考答案：A作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值z∈[0，]，当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，z∈[﹣，3]综上所述，z+1∈[﹣，4]．故选：A． 4. 已知则下列命题中正确的是A.函数的最小正周期为  B.函数是偶函数C.函数的最小值为D. 函数的一个单调递增区间是参考答案：D略9. 已知集合，则等于(   )A.    B.      C．    D．参考答案：B10. 如果正方体的棱长为，那么四面体的体积是：A.           B.         C.         D.  参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知 ，，则等于                   ；参考答案：12. 已知函数 且，则实数 _____． 参考答案：-1【知识点】对数与对数函数【试题解析】因为当时，，得不成立；当时，得所以，故答案为：-113. 已知集合，，则＝                 ；参考答案：；14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，          ．参考答案：15. cos（﹣420°）的值等于　　．参考答案：【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：cos（﹣420°）=cos420°=cos60．故答案为：16. 命题“”的否定是　　　　　　　　　　　__。

参考答案：17. 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的奥运宣传广告和2个不同的商业广告.若要求最后播放的必须是奥运广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放种数为              参考答案：   36  三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)（2015湖南卷）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.（I）求的方程；（II）若，求直线的斜率.参考答案：（I） ；(II) .（I）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以    ①； 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，   ②，联立①②得，故的方程为--------------------------------6分（II）如图，设 因与同向，且，所以，从而，即，于是     ③设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根，④由得，而是这个方程的两根，---------8分，          ⑤-------------------10分将④、⑤代入③，得。

即--------12分所以，解得，即直线的斜率为-------------------------14分【考点】直线与圆锥曲线的位置关系；抛物线的几何性质，椭圆的标准方程和几何性质性质.19. （本小题满分12分）求和：．参考答案：解析：∵an＝(10n－1)，∴Sn＝1＋11＋111＋…＋＝[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)]＝[(10＋102＋…＋10n)－n]＝[－n]＝.略20. 已知函数＞0，＞0，＜的图象与轴的交点为（0，1），它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（1）写出的解析式及的值；（2）若锐角满足，求的值.参考答案：（1）, ；（2）.试题分析：（1）根据图象的最值求出根据最高点与最低点坐标求出，从而求出，再由图象经过，求出，然后求的解析式，根据，求的值；（2）锐角 满足，根据平方关系以及二倍角的正弦、余弦公式求出化简，将所求的值代入，即可求得的值.试题解析：（1）由题意可得，即 ，，．又，由，, ． ，所以，，又是最小的正数， .（2），，，，   .【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质及恒等变形，属于中档题. 利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.21. 已知函数．（Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0,+ ∞)上是增函数；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[1,17]上的最大值和最小值．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）先分离常数得出，然后根据增函数的定义，设任意的，然后作差，通分，得出，只需证明即可得出在上是增函数；（Ⅱ）根据在上是增函数，即可得出在区间上的最大值为，最小值为，从而求出，即可．【详解】解：（Ⅰ）证明：；设，则：；；，，；；；在区间上是增函数；Ⅱ在上是增函数；在区间上的最小值为，最大值为．【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法．22. （16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．参考答案：【考点】分段函数的应用．【分析】（1）由题意知：x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．将x取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案．（2）在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x的值【解答】解：（1）由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．则当0≤x≤1时，y=（5x+3x）×2.6=20.8x当1＜x≤时，y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，当x＞时，y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；即得y=（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7； 令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元【点评】本题是分段函数的简单应用题，关键是列出函数解析式，找对自变量的分段区间．。