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word 版) 高一数学之别离参数法( 含答案 ) 1 / 61 高中重要解题方法别离变量法别离变量法是近年来开展较快的思想方法之一. 高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等根本思想方法相联系. 其中与二次函数相关的充分表达数形结合及分类思想方法的题目最为常见. 与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一局部题目都可以避开二次函数, 使用别离变量 , 使得做题的正确率大大提高. 随着别离变量的广泛使用 , 越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 别离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程) 变形到不等号(等号) 两端，使两端变量各自相同, 解决有关不等式恒成立、不等式存在有解和方程有解中参数取值范围的一种方法 . 两个变量，其中一个范围，另一个范围未知. 解决问题的关键: 别离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题. 别离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循. 以下定理均为x 的范围，求 a 的范围：定理 1 不等式f(x) g(a) 恒成立f(x)ming(a) 求解 f(x) 的最小值；不等式 f(x) g(a) 恒成立f(x)maxg(a) 求解 f(x) 的最大值 . 定理2 不等式f(x) g(a) 存在解f(x)maxg(a) 求解 f(x) 的最大值；不等式 f(x) g(a) 存在解f(x)ming(a) 即求解f(x) 的最小值 . 定理 3 方程 f(x) g(a) 有解g(a) 的范围f(x) 的值域求解f(x) 的值域 . 解决问题时需要注意：1确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；2确定是求最大值、最小值还是值域 . 再现性题组：1、当 x R时，不等式 4sinx cos2x sin2x a 5 恒成立，求实数 a 的取值范围。

2. 假设 f(x)=x23x 3 在 x 1,4 上有 f(x) x 2a 1 恒成立，求 a 的取值范围3, 、假设 f(x)=x2 3x 3 在 x 1,4 上有 f(x) x 2a25a 1 恒成立，求 a 的取值范围4、假设方程 4x2ag2x1 0 有解，请求 a 的取值范围word 版) 高一数学之别离参数法( 含答案 ) 2 / 62 答案：1、解：原不等式4sinxcos2xsin2xa当xR时，不等式a+5(4sinx+cos2x)max，设f(x)=4sinx+cos2x 那么f(x)=4sinx+cos2x2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+3a+53a0)，那么 t22at102at21t【例题】例 1. 函数 fxx2ax1,x(0,1,且|fx|3 恒成立 , 求 a 的取值范围.( 二次函数):x2ax13【分析】法一问题转化为不等式组ax1,x(0,1恒成立x23f(x)x2ax1在 x(0,1 上的最大值与最小值以对称轴与定义域端点进行比较分类, 研究单调性 . 正确率(word 版) 高一数学之别离参数法( 含答案 ) 3 / 63 较低.法二(别离变量 ): 问题转化为422x2(0,1 上恒成立 ( 除 x 时注意符号),x在xx由定理1 得4x2a2x2. 求相应函数最值 , 正确率较高 .maxmin例 2.a 是实数，函数 f(x) 2ax22x 3 a. 如果函数y f(x) 在区间 1,1 上有零点，求 a 的取值范围 . 【分析】方法一 (根的分布 ): 这个题目是一个标准的根的分布问题, 解题时需要考虑 : 开口方向, 判别式 , 对称轴 , 特殊点的函数值 . 解题时需要分为大3 类, 小 5 类. 学生能够局部得分 , 很难列出所有不等式组 . 方法二 (别离变量):问题转化为2ax22x3a0 在x1,1 上恒有解别离变量得 a32x,x1,2)U(2,2)U(2,1有解由定理得只需求2x212222函数g(x)32x在x1,2)U(2,2)U(2,1 上的值域即可 ,2单独2x2122222考虑. 此法思维两较小, 运算量较二次函数略大, 得分率略有增加 .通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较, 不难体会到 , 别离变方法的优越性: 思维量小 , 过程简捷明快 , 思维严谨性的要求有所降低. 缺乏之处 : 个别时候 , 别离后产生的函数 , 在求解其最值或值域时运算量较大. 总体来说 , 多数时候 , 应优先使用别离变量法。

word 版) 高一数学之别离参数法( 含答案 ) 4 / 64 【练习】1、函数 fxlgxa，假设对任意x2,恒有fx0，试确定a 的取2x 值范围2x,1时，不等式12aa40恒成立，求a 的取值范围xx12xag4xR，如果x(.1) 时，f(x) 恒有意义，求 a 的3、设 f(x)lg, 其中 a3取值范围4、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式f(1axx2)f(2a)对于任意 x0,1 恒成立，求实数a 的取值范围word 版) 高一数学之别离参数法( 含答案 ) 5 / 65 练习答案：1、解：根据题意得：xa21 在 x2,上恒成立，x即：ax23x在 x2,上恒成立，2设fx23x，那么fxx3924当 x2 时，fxmax2 所以 a2 2、解：令 2xt ，Qx,10,2所以原不等式可化为：a2at1要使上式在 t0,2上恒成立，只须求出ft在t0,2上的最小值即可t2t12112111Qf1tt2ttt24Q,t2tmin23a2a31344223、解：如果 x(.1) 时，f(x) 恒有意义12xa4x0，对 x(,1) 恒成立.a2x(222x)x(.1)恒成立。

令 t2x，g(t)(tt2)4x又x(.1) 那么 t(1,)ag(t)对 t(1,)恒成立，(word 版) 高一数学之别离参数法( 含答案 ) 6 / 66 2又 Qg(t)在 t1,) 上为减函数，g(t)maxg(1)3，a322444、解：Qf(x) 是增函数f(1axx2)f(2a)对于任意0,1恒成立1 ax x22 a 对于任意 x 0,1恒成立x2ax1a0 对于任意x0,1 恒成立，令g(x)x2ax1a，x0,1 ，所以原问题g(x)min0，g(0),a01a,a0又g(x)mina2a0即g(x)mina2a1,2a0g(,422,a 2,a2易求得 a1。