4.2平面向量的坐标运算.ppt

§§4.2 4.2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理1 1. .两个向量的夹角两个向量的夹角 （（1 1）定义）定义 已知两个已知两个 向量向量a a和和b b, ,作作OA=OA=a a，，OB=OB=b b，则，则 ∠ ∠AOB=AOB=θ 叫做向量叫做向量a a与与b b的夹角的夹角. . (2) (2)范围范围 向量夹角向量夹角θ的范围是的范围是 , ,a a与与b b同向同向 时，夹角时，夹角θ= = ; ;a a与与b b反向时，夹角反向时，夹角θ= = . . 非零非零0 0°°≤≤θθ≤180≤180°°0 0°°180180°° (3)(3)向量垂直向量垂直 如果向量如果向量a a与与b b的夹角是的夹角是 ，则，则a a与与b b垂直，记垂直，记 作作 . .2 2. .平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 （（1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理 定理：如果定理：如果e e1 1, ,e e2 2是同一平面内两个是同一平面内两个 的向的向 量，那么对于这一平面内的任一向量量，那么对于这一平面内的任一向量a a, , 一对实数一对实数λ1 1, ,λ2 2, ,使使a a= = . . 其中，不共线的向量其中，不共线的向量e e1 1, ,e e2 2叫做表示这一平面内叫做表示这一平面内 所有向量的一组所有向量的一组 . . 9090°°a a⊥⊥b b不共线不共线有且只有有且只有λ1 1e e1 1+ +λ2 2e e2 2基底基底(2)(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底e e1 1, ,e e2 2表示成表示成a a= =λ1 1e e1 1+ +λ2 2 e e2 2的形式，我们称它为向量的形式，我们称它为向量a a的分解的分解. . 当当e e1 1, ,e e2 2所在直所在直 线线 时，就称为向量时，就称为向量a a的正交分解的正交分解. .(3)(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示①①在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向轴方向 相同的两个单位向量相同的两个单位向量i,ji,j作为基底，对于平面上的作为基底，对于平面上的 向量向量a a, ,有且只有一对有序实数有且只有一对有序实数x,yx,y, ,使使a a= =xi+yjxi+yj, , 把有把有 序数对序数对 称为向量称为向量a a的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a a= = ，其中，其中 叫叫a a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标， 叫叫a a在在y y轴上轴上 的坐标的坐标. . 互相垂直互相垂直( (x x, ,y y) )( (x x, ,y y) )y yx x ②②设设OA=OA=xi+yjxi+yj，则向量，则向量OAOA的坐标（的坐标（x,yx,y) )就是终就是终 点点A A的坐标，即若的坐标，即若OA=OA= ，则，则A A点坐标为点坐标为 , ,反之亦成立反之亦成立. .（（O O是坐标原点）是坐标原点）3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 （（1 1）加法、减法、数乘运算）加法、减法、数乘运算 （（2 2）向量坐标的求法）向量坐标的求法 已知已知A A（（x x1 1，，y y1 1），），B B（（x x2 2，，y y2 2），则），则AB=AB=( (x x2 2-x-x1 1, , y y2 2-y-y1 1) ), ,即一个向量的坐标等于该向量即一个向量的坐标等于该向量 的坐的坐 标减去标减去 的坐标的坐标. . (3) (3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a a= =( (x x1 1,y ,y1 1) ), , b b= =( (x x2 2, y, y2 2) ), , 其中其中b b≠≠0 0, ,则则a a与与b b共线共线 a a= =  . .( (x x, ,y y) )( (x x, ,y y) )终点终点始点始点λλb bx x1 1y y2 2- -x x2 2y y1 1 =0=0基础自测基础自测1.1.（（20102010··镇江调研）镇江调研）若向量若向量a a= =(1,1)(1,1)，， b b= =(1,-1)(1,-1), ,c c= =(-2,1)(-2,1), ,则则c c= = （用（用a a, ,b b表表 示）示）. . 解析解析 设设c c= =x xa a+y+yb b, ,则则 （（-2-2，，1 1））=x=x（（1 1，，1 1））+y+y（（1,-11,-1））= =( (x+y,x-yx+y,x-y) ), , ∴ ∴c c= .= .2 2. .（（20082008··安徽理）安徽理）在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，ACAC为为 一条对角线，若一条对角线，若AB=AB=（（2 2，，4 4））,AC=,AC=（（1 1，，3 3））, ,则则 BD=BD= . . 解析解析 如图所示，如图所示，AD=BC=AC-AB=AD=BC=AC-AB=(-1,-1)(-1,-1)，， 所以所以BD=AD-AB=BD=AD-AB=（（-3-3，，-5-5））. .（（-3-3，，-5-5））3 3. .设设a a= = b b= = 且且a a∥∥b b，则锐角，则锐角x x 为为 . . 解析解析 ∵∵a a= = b b= = 且且a a∥∥b b, , ∴ ∴ sinsin x xcoscos x- x- ×× = =0 0, ,即即 sinsin 2 2x- =x- =0 0, , ∴ ∴sinsin 2 2x=x=1 1. .又又∵∵x x为锐角，为锐角，∴∴2 2x= ,x= .x= ,x= .4 4. .（（20092009··湖北改编）若向量湖北改编）若向量a a= =(1,1)(1,1), ,b b= =(-1,1)(-1,1), , c c= = （（4 4，，2 2），则），则c c= = . . 解析解析 设设c c= =λa a+ +μb b= =（（λ-,-,λ+ +μ））= =(4,2)(4,2) λ- -μ= =4 4, , λ= =3 3 λ+ +μ= =2 2, , μ= =-1-1 ∴ ∴c c= =3 3a a- -b b. .3 3a a- -b b∴∴∴∴典型例题典型例题 深度剖析深度剖析【【例例1 1】】如图，如图，P P是是△△ABCABC内一点，且满内一点，且满 足条件足条件AP+AP+2 2BP+BP+3 3CP=CP=0 0，设，设Q Q为为CPCP 的延长线与的延长线与ABAB的交点，令的交点，令CP=CP=p p，试，试 用用p p表示表示CQ.CQ. 选取选取BQBQ，，QPQP两不共线向量作基底，运两不共线向量作基底，运 用化归思想，最终变成用化归思想，最终变成x xe e1 1+y+ye e2 2= =0 0的形式求解，的形式求解， 其中把题中向量用基底表示是关键其中把题中向量用基底表示是关键. . 解解 ∵∵AP=AQ+QPAP=AQ+QP，，BP=BQ+QPBP=BQ+QP，， ∴ ∴（（AQ+QPAQ+QP））+ +2 2（（BQ+QPBQ+QP））+ +3 3CP=CP=0 0，， ∴ ∴AQ+AQ+3 3QP+QP+2 2BQ+BQ+3 3CP=CP=0 0，，分析分析又又∵∵A A，，B B，，Q Q三点共线，三点共线，C C，，P P，，Q Q三点共线，三点共线，∴∴AQ=AQ=λBQBQ，，CP=CP=μQPQP，，∴∴λBQ+BQ+3 3QP+QP+2 2BQ+BQ+3 3μQP=QP=0 0，，∴∴（（λ+ +2 2））BQ+(BQ+(3 3+ +3 3μ)QP=)QP=0 0. .而而BQBQ，，QPQP为不共线向量，为不共线向量， λ+ +2 2= =0 0, , 3 3+ +3 3μ= =0 0, ,∴∴λ=-=-2 2, ,μ=-=-1 1. .∴CP=-QP=PQ.∴CP=-QP=PQ.故故CQ=CP+PQ=CQ=CP+PQ=2 2CP=CP=2 2p p. .∴∴跟踪练习跟踪练习1 1 设两个非零向量设两个非零向量e e1 1和和e e2 2不共线不共线. . 如果如果AB=AB=e e1 1- -e e2 2，，BC=BC=3 3e e1 1+ +2 2e e2 2，，CD=-CD=-8 8e e1 1- -2 2e e2 2，， 求证：求证：A A、、C C、、D D三点共线；三点共线； 证明证明 ∵∵AB=AB=e e1 1- -e e2 2，，BC=BC=3 3e e1 1+ +2 2e e2 2,CD=-,CD=-8 8e e1 1- -2 2e e2 2, , ∴AC=AB+BC= ∴AC=AB+BC=4 4e e1 1+ +e e2 2=- =- （（- -8 8e e1 1- -2 2e e2 2）） =- CD,=- CD, ∴AC ∴AC与与CDCD共线，共线， 又又∵∵ACAC与与CDCD有公共点有公共点C C，，∴∴A A、、C C、、D D三点共线三点共线. .【【例例2 2】】（（20092009··广东改编）广东改编）已知平面向量已知平面向量a a= = （（x, x,1 1））,b=,b=（（-x,x-x,x2 2），则向量），则向量a+ba+b平行于平行于 . . 解析解析 ∵∵a a= =( (x, x,1)1), ,b b= =( (-x,x-x,x2 2) ),∴,∴a a+ +b b= =(0(0,x ,x2 2+1)+1). . 由由1 1+x+x2 2≠≠0 0及向量的性质知及向量的性质知a a+ +b b平行于平行于y y轴轴. .y y轴轴跟踪练习跟踪练习2 2 （（20092009··宁夏海南改编）宁夏海南改编）已知已知a a= =(-3, (-3, 2) 2), ,b b= =(-1,0)(-1,0)，向量，向量λa a+ +b b与与a a- -2 2b b垂直，则实数垂直，则实数 λ的值为的值为 . . 解析解析 ∵∵a a= =(-3,2)(-3,2), ,b b= =(-1,0)(-1,0), , ∴ ∴λa a+ +b b= =(-3(-3λ-1,2-1,2λ) ), , a a- -2 2b b= =（（-3-3，，2 2））- -2 2（（- -1 1，，0 0））= =（（-1-1，，2 2））. . 由（由（λa a+ +b b））⊥⊥( (a a- -2 2b b) ), ,知知4 4λ+ +3 3λ+ +1 1= =0 0. . ∴ ∴λ=- =- 【【例例3 3】】已知向量已知向量a a= =(1,2),(1,2),b b= =( (x x,1),1), ,u u= =a a+ +2 2b b, ,v v= =2 2a a - -b b, , 且且u u∥∥v v，求实数，求实数x x的值的值. . 两个向量共线的充要条件在解题中具有两个向量共线的充要条件在解题中具有 重要的应用，一般地，如果已知两向量共线，重要的应用，一般地，如果已知两向量共线， 求某些参数的值，则利用求某些参数的值，则利用““若若a a=(x=(x1 1,y ,y1 1), ),b b=(x=(x2 2,y ,y2 2), ), 则则a a∥∥b b的充要条件是的充要条件是x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1= =0 0””比较简捷比较简捷. . 解解 因为因为a a= =(1,2)(1,2), ,b b= =( (x x,1),1), ,u u= =a a+ +2 2b b, ,v v= =2 2a a- -b b, , 所以所以u u= =(1,2)(1,2)+ +2(2(x, x,1)1)= =(2(2x+x+1,4)1,4), , v v= =2(1,2)-(2(1,2)-(x, x,1)1)= =(2-(2-x, x,3)3), , 又因为又因为u u∥∥v v，所以，所以3(23(2x+x+1)-4(21)-4(2-x)=-x)=0 0, , 即即1010x=x=5 5, ,解得解得x= .x= .分析分析跟踪练习跟踪练习3 3 平面内给定三个向量平面内给定三个向量a a= =(3,2)(3,2), ,b b= =(-1, (-1, 2) 2), ,c c= =(4,1)(4,1). .回答下列问题：回答下列问题： （（1 1）若（）若（a a+k+kc c））∥∥(2(2b b- -a a) )，求实数，求实数k; k; (2) (2)设设d d= =( (x,yx,y) )满足满足( (d d- -c c) )∥∥( (a a+ +b b) )且且| |d d- -c c| |= =1 1, ,求求d d. . 解解 （（1 1））∵∵（（a a+k+kc c））∥∥（（2 2b b- -a a），）， 又又a a+k+kc c= =(3+4(3+4k, k,2+2+k k) ), ,2 2b b- -a a= =(-5,2)(-5,2), , ∴ ∴2 2××(3+4(3+4k k)-()-(- -5)5)××(2(2+k+k) )= =0 0, , ∴k=- . ∴k=- . （（2 2））∵∵d d- -c c= =( (x x-4-4,y ,y-1)-1), ,a a+ +b b= =(2,4)(2,4), , 又又( (d d- -c c) )∥∥( (a a+ +b b) )且且| |d d- -c c| |= =1 1, ,  4( 4(x-x-4)4)- -2(2(y-y-1)1)= =0 0 ( (x-x-4)4)2 2+ +( (y-y-1)1)2 2= =1 1, ,∴ ∴【【例例4 4】】(14(14分分) )已知点已知点A A（（1 1，，0 0）、）、B B（（0 0，，2 2）、）、 C C （（-1-1，，-2-2），求以），求以A A、、B B、、C C为顶点的平行四为顶点的平行四 边形的第四个顶点边形的第四个顶点D D的坐标的坐标. . ““以以A A、、B B、、C C为顶点的平行四边形为顶点的平行四边形””可以可以 有三种情况：（有三种情况：（1 1））ABCDABCD；（；（2 2））ADBCADBC；； （（3 3））ABDCABDC. . 解题示范解题示范 解解 设设D D的坐标为（的坐标为（x,yx,y））. . (1) (1)若是若是ABCDABCD，则由，则由AB=DCAB=DC得得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-((0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,yx,y) ), , 即即(-1,2)=(-1-(-1,2)=(-1-x, x,-2--2-y y) ), , 分析分析∴∴D D点的坐标为（点的坐标为（0 0，，-4-4）（如图中的）（如图中的D D1 1））. .［［4 4分］分］（（2 2）若是）若是ADBCADBC，则由，则由AD=CBAD=CB得得（（x x，，y y））- -（（1 1，，0 0））= =（（0 0，，2 2））- -（（- -1 1，，- -2 2），），即即( (x-x-1 1,y ,y) )= =(1,4)(1,4). .解得解得x=x=2 2,y=,y=4 4. .∴D∴D点坐标为（点坐标为（2 2，，4 4）（如图中的）（如图中的D D2 2））. . ［［8 8分］分］（（3 3）若是）若是ABDCABDC，则由，则由AB=CDAB=CD得得（（0 0，，2 2））- -（（1 1，，0 0））= =（（x,yx,y））-(--(-1 1,-,-2 2), ),即即(-(-1,21,2)=)=( (x+x+1 1,y+,y+2)2). .解得解得x=-x=-2 2,y=,y=0 0. .∴∴D D点的坐标为（点的坐标为（- -2 2，，0 0）（如图中的）（如图中的D D3 3））. . ［［1212分］分］综上所述，以综上所述，以A A、、B B、、C C为顶点的平行四边形的第四为顶点的平行四边形的第四个顶点个顶点D D的坐标为（的坐标为（0 0，，-4-4）或（）或（2 2，，4 4）或）或（（- -2 2，，0 0））. . ［［1414分］分］跟踪练习跟踪练习4 4 已知点已知点A A（（- -1 1，，2 2），），B B（（2 2，，8 8）以）以 及及AC= ABAC= AB，，DA=- BADA=- BA，求点，求点C C、、D D的坐标的坐标 和向量和向量CDCD的坐标的坐标. . 解解 设点设点C C、、D D的坐标分别为（的坐标分别为（x x1 1,y ,y1 1））, ,( (x x2 2,y ,y2 2) ), , 由题意得由题意得AC=AC=（（x x1 1+ +1 1,y ,y1 1- -2 2））,AB=,AB=(3,6)(3,6), , DA= DA=( (- -1 1-x-x2 2, ,2 2-y-y2 2) ),BA=,BA=( (- -3 3,-,-6)6). . 因为因为AC= AB,DA=- BA,AC= AB,DA=- BA, 所以点所以点C C、、D D的坐标分别是（的坐标分别是（0,40,4））, ,（（- -2 2, ,0 0））, , 因此因此CD=CD=（（- -2 2，，- -4 4））. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望平面向量的坐标运算法则是运算的关键，也是历平面向量的坐标运算法则是运算的关键，也是历年高考考查的一个重点内容年高考考查的一个重点内容. .平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算可将几何问题转化为代数问题，运用它可以解决可将几何问题转化为代数问题，运用它可以解决平面几何（如解三角形）、三角函数和解析几何平面几何（如解三角形）、三角函数和解析几何中的一些问题，突出对数形结合思想的考查中的一些问题，突出对数形结合思想的考查. .方法规律总结方法规律总结1 1. .坐坐标标的的引引入入使使向向量量的的运运算算完完全全代代数数化化，，成成了了数数形形 结结合合的的载载体体，，也也加加强强了了向向量量与与解解析析几几何何的的联联系系. .2 2. .借助于向量可以方便地解决定比分点问题借助于向量可以方便地解决定比分点问题. . 在在处处理理分分点点问问题题, ,比比如如碰碰到到条条件件““若若P P是是线线段段A AB B 的的分分点点，，且且| |P PA A| |= =2 2| |P PB B| |””时时，，P P可可能能是是A AB B的的内内 分分点点，，也也可可能能是是A AB B的的外外分分点点，，即即可可能能的的结结论论有有：： AP=AP=2 2PBPB或或AP=-AP=-2 2PB.PB.3 3. .中中点点坐坐标标公公式式：：P P1 1（（x x1 1, ,y y1 1））, ,P P2 2( (x x2 2, ,y y2 2) ), ,则则P P1 1P P2 2的的 中点中点P P的坐标为的坐标为 △△A AB BC C中中, ,若若A A（（x x1 1, ,y y1 1））, ,B B（（x x2 2, ,y y2 2））, ,C C（（x x3 3, ,y y3 3））, ,则则 △ △ABCABC的重心的重心G G的坐标为的坐标为定时检测定时检测一、填空题一、填空题1.1.（（20092009··天津汉沽一中模拟）天津汉沽一中模拟）已知平面向量已知平面向量a a= = （（1 1，，1 1），），b b=(1,-1),=(1,-1),则向量则向量 a a- - b b= = . . 解析解析(-1,2)(-1,2)2.2.(2010(2010··湖南衡阳四校联考湖南衡阳四校联考) )已知向量已知向量a a=(2,3), =(2,3), b b=(-1,2)=(-1,2)，若，若m ma a+ +n nb b与与a a-2-2b b共线，则共线，则 . . 解析解析 m ma a+ +n nb b=(2=(2m m,3,3m m)+(-)+(-n n,2,2n n)=(2)=(2m m- -n n, , 3 3m m+2+2n n), ), a a-2-2b b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).=(2,3)-(-2,4)=(4,-1). 由于由于m ma a+ +n nb b与与a a-2-2b b共线，则有共线，则有 ∴ ∴n n-2-2m m=12=12m m+8+8n n，，∴∴ 3 3. .( (2 20 00 09 9··宁宁夏夏、、海海南南改改编编) )已已 知知a a= =( (- -3 3, ,2 2) ), ,b b= = ( (- -1 1, ,0 0) )，，向向量量λa a+ +b b与与a a- -2 2b b垂垂直直，，则则实实数数λ的的值值 为为 . . 解析解析 ∵∵a a=(-3,2),=(-3,2),b b=(-1,0),=(-1,0), ∴ ∴λa a+ +b b=(-3=(-3λ-1,2-1,2λ),), a a-2-2b b= =（（-3-3，，2 2））-2-2（（-1-1，，0 0））= =（（-1-1，，2 2））. . 由（由（λa a+ +b b））⊥⊥( (a a-2-2b b) ) 知知4 4λ+3+3λ+1=0.+1=0. ∴ ∴λ= = 4 4. .（（2 20 00 09 9··湖湖北北理理改改编编））已已 知知P P= ={ {a a| |a a= =( (1 1, ,0 0) )+ + m m( (0 0, ,1 1) ), ,m m∈∈R R} }，，Q Q= ={ {b b| |b b= =( (1 1, ,1 1) )+ +n n( (- -1 1, ,1 1) ), ,n n∈∈R R} } 是两个向量集合，则是两个向量集合，则P P∩∩Q Q= = . . 解析解析 ∵∵P P={={a a| |a a=(1,0)+=(1,0)+m m(0,1),(0,1),m m∈∈R R} } ={ ={a a| |a a=(1,=(1,m m)},)},Q Q={={b b| |b b=(1-=(1-n n,1+,1+n n),),n n∈∈R R},}, ∴ ∴a a= =b b=(1,1),=(1,1), ∴ ∴P P∩∩Q Q={(1,1)}.={(1,1)}.{(1,1)}{(1,1)}5.5.（（20092009··山东潍坊一模）山东潍坊一模）已知向量已知向量a a= = b b= =（（x x，，1 1））, ,其中其中x x>0,>0,若（若（a a-2-2b b））∥∥（（2 2a a+ +b b））, , 则则x x的值为的值为 . . 解析解析 a a-2-2b b=(8-2=(8-2x x, , x x-2),2-2),2a a+ +b b=(16+=(16+x x, ,x x+1),+1), 由已知（由已知（a a-2-2b b））∥∥(2(2a a+ +b b),),显然显然2 2a a+ +b b≠0≠0，， 故有（故有（8-28-2x x, , x x-2-2））= =λ(16+(16+x x, ,x x+1)+1) 8-2 8-2x x= =λ(16+(16+x x) ) x x-2=-2=λ( (x x+1)+1)，， 解得解得x x=4(=4(x x>0).>0).4 4即即6.6.（（20102010··泰州模拟）泰州模拟）已知向量已知向量a a=(2,4),=(2,4),b b=(1,1),=(1,1), 若向量若向量b b⊥(⊥(a a+ +λb b) )，则实数，则实数λ的值是的值是 . . 解析解析 a a+ +λb b=(2,4)+=(2,4)+λ(1,1)=(2+(1,1)=(2+λ,4+,4+λ).). ∵ ∵b b⊥(⊥(a a+ +λb b),∴),∴b b··( (a a+ +λb b)=0,)=0, 即即(1,1)(1,1)··（（2+2+λ,4+,4+λ））=2+=2+λ+4++4+λ=6+2=6+2λ=0,=0, ∴ ∴λ=-3.=-3.-3-37 7. .（（2 20 00 08 8··辽辽宁宁文文））已已知知四四边边形形A AB BC CD D的的顶顶点点 A A （（0 0，，2 2））、、B B（（- -1 1，，- -2 2））、、C C（（3 3，，1 1）），，且且 B B C C= = 2 2A A D D，， 则则 顶顶 点点D D 的的 坐坐 标标 为为 . . 解析解析 ∵∵A A(0,2),(0,2),B B(-1,-2),(-1,-2),C C(3,1),(3,1), ∴ ∴BCBC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设设D D（（x x，，y y),∵),∵ADAD=(=(x x, ,y y-2),-2),BCBC=2=2ADAD, , ∴(4,3)=(2 ∴(4,3)=(2x x,2,2y y-4).∴-4).∴x x=2,=2,y y= .= .8 8. .（（2 20 00 09 9··辽辽宁宁改改编编））在在平平面面直直角角坐坐标标系系x xO Oy y中中，， 四边形四边形ABCDABCD的边的边ABAB∥∥DCDC, ,ADAD∥∥BCBC. .已知已知A A（（-2,-2, 0 0））, ,B B（（6,86,8））, ,C C（（8,68,6）则）则D D点的坐标为点的坐标为 . . 解解析析 设设D D点点的的坐坐标标为为（（x x, ,y y））, ,由由题题意意知知B BC C= = ADAD, , 即即（（2 2，，-2-2））=(=(x x+2,+2,y y) )，所以，所以x x=0,=0,y y=-2, =-2, ∴ ∴D D(0,-2).(0,-2).(0,-2)(0,-2)9.9.（（20092009··浙江改编）浙江改编）已知向量已知向量a a= =（（1 1，，2 2），）， b b=(2,-3).=(2,-3).若向量若向量c c满足（满足（c c+ +a a））∥∥b b, ,c c⊥(⊥(a a+ +b b), ), 则则c c= = . . 解析解析 设设c c= =（（x x, ,y y））, ,则则c c+ +a a=(=(x x+1,+1,y y+2),+2), 又（又（c c+ +a a））∥∥b b,∴2(,∴2(y y+2)+3(+2)+3(x x+1)=0. ①+1)=0. ① 又又c c⊥⊥（（a a+ +b b））,∴(,∴(x x, ,y y) )··（（3 3，，-1-1））=3=3x x- -y y=0.②=0.② 解解①②①②得得x x= ,= ,y y= = 二、解答题二、解答题10.10.（（20092009··江苏金陵中学三模）江苏金陵中学三模）已知已知A A（（-2-2，，4 4）、）、 B B（（3,-13,-1）、）、C C（（-3,-4-3,-4）且）且CMCM=3=3CACA, ,CNCN=2=2CBCB, , 求点求点MM、、N N及及MNMN的坐标的坐标. . 解解 ∵∵A A（（-2,4-2,4）、）、B B（（3,-13,-1）、）、C C（（-3,-4-3,-4））, , ∴ ∴CACA= =（（1 1，，8 8），），CBCB= =（（6 6，，3 3），）， ∴ ∴CMCM=3=3CACA= =（（3 3，，2424），），CNCN=2=2CBCB= =（（1212，，6).6). 设设MM（（x x，，y y），则有），则有CMCM= =（（x x+3+3，，y y+4+4），）， x x+3=3 +3=3 x x=0=0 y y+4=24+4=24，， y y=20,=20, ∴ ∴MM点的坐标为（点的坐标为（0 0，，2020））. .∴∴∴∴同理可求得同理可求得N N点坐标为（点坐标为（9 9，，2 2），因此），因此MNMN= =（（9 9，，-18-18），），故所求点故所求点MM、、N N的坐标分别为（的坐标分别为（0 0，，2020）、）、（（9 9，，2 2），），MNMN的坐标为（的坐标为（9 9，，-18-18））. .11.11.（（20102010··江苏丹阳高级中学一模）江苏丹阳高级中学一模）已知已知A A （（-2-2，，4 4），），B B（（3 3，，-1-1），），C C（（-3-3，，-4-4））. . 设设 ABAB= =a a，，BCBC= =b b，，CACA= =c c，且，且CMCM=3=3c c，，CNCN=-2=-2b b，， （（1 1）求）求3 3a a+ +b b-3-3c c；； （（2 2）求满足）求满足a a= =m mb b+ +n nc c的实数的实数m m，，n n. . 解解 由已知得由已知得a a=(5,-5),=(5,-5),b b=(-6,-3),=(-6,-3),c c=(1,8).=(1,8). (1)3 (1)3a a+ +b b-3-3c c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). （（2 2））∵∵m mb b+ +n nc c= =（（-6-6m m+ +n n，，-3-3m m+8+8n n），）， -6-6m m+ +n n=5 =5 m m=-1 =-1 -3 -3m m+8+8n n=-5 =-5 n n=-1=-1，解得，解得 ∴∴ . .1 12 2. .（（2 20 01 10 0··山山东东济济宁宁模模拟拟））在在A AB BC CD D中中 ，， A A（（1 1，，1 1），），ABAB= =（（6 6，，0 0），点），点MM是线段是线段ABAB的中的中 点，线段点，线段CMCM与与BDBD交于点交于点P P. . （（1 1）若）若ADAD= =（（3 3，，5 5），求点），求点C C的坐标；的坐标； （（2 2）当）当| |ABAB|=||=|ADAD| |时，求点时，求点P P的轨迹的轨迹. . 解解 （（1 1）设点）设点C C的坐标为（的坐标为（x x0 0，，y y0 0））, , 又又ACAC= =ADAD+ +ABAB= =（（3 3，，5 5））+ +（（6 6，，0 0））= =（（9 9，，5 5））, , 即（即（x x0 0-1,-1,y y0 0-1-1））= =（（9 9，，5 5），）， ∴ ∴x x0 0=10=10，，y y0 0=6=6，即点，即点C C（（1010，，6 6））. . （（2 2）由三角形相似，不难得出）由三角形相似，不难得出PCPC=2=2MPMP 设设P P（（x x, ,y y），则），则 BPBP= =APAP- -ABAB= =（（x x-1-1，，y y-1-1））- -（（6 6，，0 0））= =（（x x-7-7，，y y-1-1））, ,ACAC= =AMAM+ +MCMC= = ABAB+3+3MPMP= = ABAB+3+3（（APAP- - ABAB））=3=3APAP- -ABAB= =（（3 3（（x x-1-1），），3 3（（y y-1-1））））- -（（6 6，，0 0））= =（（3 3x x-9-9，，3 3y y-3-3），），∵∵| |ABAB|=||=|ADAD| |，，∴∴ABCDABCD为菱形，为菱形，∴∴ACAC⊥⊥BDBD. .∴∴ACAC⊥⊥BPBP，即（，即（x x-7-7，，y y-1-1））··（（3 3x x-9-9，，3 3y y-3-3））=0.=0.即（即（x x-7-7）（）（3 3x x-9-9））+ +（（y y-1-1）（）（3 3y y-3-3））=0=0，，∴∴x x2 2+ +y y2 2-10-10x x-2-2y y+22=0+22=0（（y y≠1≠1））. .∴∴（（x x-5-5））2 2+ +（（y y-1-1））2 2=4=4（（y y≠1≠1））. .故点故点P P的轨迹是以（的轨迹是以（5 5，，1 1）为圆心，）为圆心，2 2为半径的圆为半径的圆去掉与直线去掉与直线y y=1=1的两个交点的两个交点. . 返回返回 。