同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数.ppt

教材:,《高等数学》(第七版),同济大学应用数学系 主编,高等教育出版社, 2014.7.,数学,数学,而且是一种思维模式;,不仅是一种知识,,而且是一种素养;,不仅是一种科学,,而且是一种文化;,不仅是一种工具,,数学,何谓数学素养（数学素质）？,通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后， 剩下的东西微积分的创立背景,2、求空间立体的体积,,3、变速运动物体的瞬时速度,4、炮弹的最大射程,5、光滑曲线的切线和法线,什么是高等数学 ?,初等数学,— 研究对象为常量,,以静止观点研究问题.,高等数学,— 研究对象为变量,,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,,有了变数， 辩证法进入了数学 ,,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,高等数学的主要内容,多元微积分,如何学好微积分 ?,华罗庚,1、深刻理解基本概念2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业3、快乐学习，在学习中提升自己、 认识自己,第一章,分析基础,函数,极限,连续,— 研究对象,— 研究方法,— 研究桥梁,,函数与极限,第一节 函数,一、基本概念二、函数及其几种基本特性三、反函数四、复合函数 初等函数,,,1.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,,称为闭区间,,,,,,,,,,一、基本概念,,,称为半开区间,,称为半开区间,,,,,,,,,,,,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,,,,2.邻域:,,,,,3.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,4.绝对值:,运算性质:,,,绝对值不等式:,二、函数,,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,练习：求下列函数的定义域,例1 求下列函数的定义域,函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： 定义域 D f ： 自变量的变化范围。

对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则 函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即 R f ={ y y = f( x )，x  D f }= f( D f ). 结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的例如：y = f( x )= sin x，x  R =( -  ,+  )； y = f( x )= sin x，x  D =( -  ,  )表示不同的函数，因为它们的定义域不同 y = f( x )= lg x 2，x  D =( -  , 0 )∪( 0 ,+  ) ； y = g( x )= 2lg x，x  E =( 0 ,+  ) ；表示不同的函数，因为它们的定义域不同 y = f( x )= sin x，x  R =( -  ,+  ) ； y = f( t )= sin t，t  R =( -  ,+  ) ； u = f( t )= sin t，t  R =( -  ,+  ) ；均表示同一个函数，因为它们的定义域和对应法则都相同。

练习： P16 第2题,,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．,分段函数,(1) 绝对值函数,,,,,x,y,0,,y,,,y,,,,y,,,,,y,0,,,,,y,(2) 符号函数,(3) 取整函数 y=[x][x]表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(4) 狄利克雷函数,例,解：,(5) 取最值函数,例. 已知函数,解:,f (x) 的定义域,值域,,,,,例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不超过3km 时，一律收起步费 10 元；当行驶里程超过 3km 时,除起步费外，对超过 3km 但不超过 10 km 的部分，按每千米 2 元计费，对超过 10 km 的部分按每千米 3 元计费,试写出车费 C 与行驶里程 s 之间的函数关系以 C = C( s )表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C的单位是元按问题的规定： 当 0 3 时，C = 10 + 2( 10 – 3 )+ 3( s – 10 )= 3s – 6 . 上述车费 C 与行驶里程 s 间的函数关系可写为：,解：,函数的几种基本特性,有界,无界,1．函数的有界性:,注：（1）一个函数在某个区间上有界，正数M 的取法不是唯一的；（2）有界性是函数的局部性质，与选定 的区间有关。

例：sinx，cosx函数在整个定义域内都有界 y=1/x在（0，1）内无界， 而在（1，2）上有界2．函数的奇偶性:,偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2,奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx,奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件下保持相应的奇、偶性 例如：奇＋奇 = 奇，偶＋偶 = 偶； 奇×奇 = 偶，偶×偶 = 偶3．函数的单调性:,4．函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,,,在每个区间长度为L的区间上，图形的形状都相同,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,思考： 的周期分别是多少？,反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域,三、 反函数,,,,,,,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,则所求反函数为,练习：求 y＝log3(2x－3) 的反函数解： 从方程 y＝log3(2x－3) 中解出x为,例如： y＝ex 的反函数为x=lny;,y=3x2的反函数?,定理1 在定义域上单调增加（减少）的函数存在反函数，并且此反函数也是单调增加（减少）的。

注：即使在整个定义域上不单调的函数，也可以截取一个单调区间来定义它的反函数实际上，并不是任何函数都有反函数的那么，什么样的函数存在反函数呢？,反三角函数,,x [ - 1 ,1], y [ - /2,  /2 ].,,x [ - 1 ,1], y [ 0,  ].,,x ( -  ,+  ), y ( - /2,  /2 ).,,x ( -  ,+  ), y ( 0,  ).,思考： 求下列函数的定义域,五、复合函数 初等函数,1.幂函数,,,,,,,,,,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,,正割函数,余割函数,它们均为周期函数，sinx和cosx有界其余三角函数无界sinx，tanx，cscx为奇函数cosx,cotx,secx为偶函数5.复合函数,,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,设函数,x 换为 f (x),,,例：,解:,,作业 P16 1. (3)(7)(8); 9. (2)(4)(5); 11. (1)(4)预习第二、三节 数列的极限、 函数的极限,。