常微分方程积分因子法的求解.doc

用积分因子法解常微分方程摘 要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程 恰当微分方程 积分因子 通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1 恰当微分方程1.1 常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程 （1.1） （1.2）就是常微分方程的例子，这里是未知数，是自变量.1.2 恰当微分方程考虑一阶方程 （1.3）这里假设，在某矩形区域内是，的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数的全微分，即 （1.4）则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是 （1.5）这里是任意常数. 定理1[2] 设函数和在一个矩形区域中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是 （1.6）1.3 恰当微分方程的解法方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式方法2 不定积分法：利用关系式：由此，函数应适合方程组对关于积分得 两端关于求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得通过对方程 关于积分，解出，从而可得的表达式，令即得方程的通解.如果对关于积分，同理可得方程的通解为其中可类似于求解的方法得到. 方法3 公式法：方程的通解为 或 其中是任意常数[3].例1 求的通解解 这里,在平面上有连续偏导数，这时因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法） 现在求，使它同时满足如下两个方程： ， （1） . （2）由（1）对积分，得到 ， （3）将（3）对求导数，并使它满足（2），即得，于是积分后得将代入（3），得到因此，方程的通解为这里是任意常数. 方法2 （公式法） 取因此因此，方程的通解为这里是任意常数.方法3（凑微分法） 将方程重新“分项组合”，得到 即或者写成因此，方程的通解为这里是任意常数.2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。

如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便2.1 积分因子的基本概念如果存在连续可微的函数，使得 （2.1）为一恰当微分方程，即存在函数，使 ， （2.2）则称为方程（2.1）的积分因子.因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子，从而将非恰当微分方程转化为恰当微分方程的求解问题.性质1 只要方程（1.3）有解，则必有积分因子，而且不是唯一的，对于不同的积分因子，通解可能具有不同的形式.性质2 方程（1.3）的任意两个积分因子和之间必有函数关系.性质3 若方程（1.3）的有两个积分因子和，且常数，则该方程的通积分为 .注意：方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解，注意检查.2.2 积分因子的存在的充要条件根据微分方程为全微分方程的充要条件是即令，，.整理上式即 . (2.3)故为方程（1.3）的积分因子的充要条件是为方程（2.3）的解[4].2.3 积分因子法解常微分方程积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件的形式各异.函数为方程（1.3）的积分因子的充要条件是（1） 有关的积分因子充要条件是此时，积分因子为.例2 求的积分因子及通解.解 这里,在平面上有连续偏导数，这时 (不是恰当微分方程)因为 所以 与有关，积分因子为， 将积分因子同时乘以方程两边得即因此，方程的通解为这里为任意常数.（2） 有关的积分因子充要条件是此时，积分因子为.例3 求的积分因子及通解解 这里,在平面上有连续偏导数，这时 (不是恰当微分方程)因为 所以 与有关，积分因子为， 将积分因子同时乘以方程两边得即因此，方程的通解为这里为任意常数.（3） 有关的积分因子充要条件是此时，积分因子为.例4 求方程的积分因子及通解解 这里,在平面上有连续偏导数，这时 (不是恰当微分方程)因为 所以 与有关，积分因子为， 将积分因子同时乘以方程两边得此时是恰当微分方程.即因此，方程的通解为这里为任意常数.（4） 有关的积分因子充要条件是此时，积分因子为.例5 求方程的积分因子及通解.解 这里,在平面上有连续偏导数，这时 (不是恰当微分方程)因为 所以 与有关，积分因子为， 将积分因子同时乘以方程两边得此时是恰当微分方程.所以 又，那么则，故，因此，方程的通解为这里为任意常数.(5) 形式的积分因子[5]充要条件为此时，积分因子为.例6 求方程 的积分因子及通解.解 这里， ，在平面上有连续偏导数，、均为、的多项式，这时 (不是恰当微分方程)因为 所以 与有关，积分因子为将积分因子同时乘以方程两边得此时是恰当微分方程.凑微分将方程为因此，方程的通解为这里为任意常数.（6） （、为待定常数）有关的积分因子的充要条件是且积分因子为（、为待定常数）.此结论适用于、均为、的多项式.例7 求方程的积分因子及通解.解 这里,在平面上有连续偏导数，、均为、的多项式，这时 (不是恰当微分方程)因为 所以 解得积分因子为，将积分因子同时乘以方程两边得此时是恰当微分方程.凑微分将方程为因此，方程的通解为这里为任意常数.（7）分组组合法[6].分组组合方法的原理：若方程（2.1）可进行下列分组组合并且 寻找适当的可微函数和使得，则原方程的积分因子为. 例8 求方程的积分因子及通解解 将方程重新组合为 ， （1）前一组有积分因子和通积分，后一组有积分因子和通积分，可为函数和使，取，，从而得到方程的积分因子 ，将积分因子同时乘以（1）两边，得到即因此，方程的通解为这里为任意常数.3 常见一阶微分方程的积分因子解法根据微分方程为分方程的积分因子的充要条件是.积分因子的形式各异，用形式简单、易行的方法解出常见的一阶微分方程，相比传统的解法更快捷、省时.下面给出常见的几种一阶微分方程的积分因子存在形式.3.1 一阶线性方程的积分因子解法形如 （3.1） 的方程为一阶线性微分方程.将方程改为对称式为令，那么是关于的函数,此时，积分因子为.例9 求方程的积分因子及通解解 这里,在平面上有连续偏导数，这时积分因子将积分因子同时乘以方程两边得凑微分得两边积分得因此，方程的通解为这里为任意常数.3.2 伯努力微分方程的积分因子解法形如 。