圆的方程错解分析2.pdf

中 学 生 数 理 化高 二 版圆的方程错解辨析□河南 张爱平 圆是同学们比较熟悉的图形, 关于直线与圆, 圆与圆的位置关系及其 性质, 大家在初中就比较系统地学习过. 至于圆的方程此前接触不多, 它 是建立在直角坐标系的基础上, 通过方程, 可以使问题更直观、更简单地 得到解决. 在处理具体问题时, 我们既要善于将几何关系转化为代数式 子, 又要细致、周密、全面地思考问题, 不因忽视题设的隐含信息而出错.没有人比我更聪明, 只有人比我更勤奋.— — —854798071@. com例 1 求过点 A( 2, 4) 向圆 x2+y2=4 所引的切线方程. 错解: 设过点 A 的切线斜率为 k , 则切线方程可表示为 y -4 = k( x-2 ) .圆心到切线的距离为半径 r =2, 则 4-2k k2+1=2, 解得 k =34.切线方程为 3x-4y +10=0. 辨析: 错解只注意了斜率存在时的情况, 而忽略了另一种情况.图 1正解: 过点 A 的切线斜率存在时, 解题过程同上. 当过 点 A 的切线斜率不存在时, 由于圆心到直线 x =2 的距离 为 2, 所以 x =2 也是圆的切线. 因此, 所求的切线方程为 3x-4y +10=0 或 x=2, 如图 1 所示. 例 2 从定点 M( 6, 8 ) 向圆 x2+y2=16 任意引一条 割线交圆于 A、B 两点, 求弦 AB 的中点P 的轨迹方程. 错解: 设中点 P 的坐标为(x, y) , 据圆的性质, 有 OP⊥AB, kOP·kAB=-1, 即y x·y -8 x-6=-1 化简得 x2+y2-6x-8y =0, 这就是所求的轨迹方程. 辨析: 上述解法中, 对点 P 运动的限制条件注意不够, 导致产生增 解.14求实篇解题障碍分析 2008年第 9 期中 学 生 数 理 化高 二 版图 2正解: 如图 2, ∠APO=90 ° , 所以 P 的轨迹是以OP 为直径的圆在圆 x2+y2=16 内的一段弧长. OP 为直径 的圆方程为: x( x -6) +y( y -8) =0, 即 x2+y2-6x - 8y =0. x2+y2-6x -8y =0 与 x2+y2=16 联立求出交点横坐标为 x =24±1621 25, 它是定义域的临界值.所以 所 求 轨迹 方 程 为 x2+ y2- 6x -8y =024-1621 250 得, 1+4+k +4+k2>0, 即 k2+k +9>0, 则 k∈R. 故 k 的取值范围是k ∈ R. 辨析: 所求 k 的取值范围应同时满足两个条件: ①方程 x2+y2+kx +2y +k2=0 表示圆; ②点 A( 1, 2 ) 在圆外. 错解中, 忽视了条件①.一天省下一两粮, 十年要用仓来装.— — —wyqwangyuqing @126. com正解: 将圆的方程配方得 x+k22+ ( y+1)2=4-3k2 4.圆心坐标 -k2, -1, 半径为4-3k2 4.过点 A 所作圆的切线有两条, 需满足k2+k+9>0, 4-3k2>0.故 k 的取值范围是-23 3