探究函数与图象的交点个数问题资料.doc

探究函数y = /与y = log兀图象的交点个数问题函数y = ax与y = logu x (a >0,且a H 1)互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的 交点个数取决于a的取值.在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探 究它们图象的交点个数问题.探究由、yiogn①②(其中 x>0,y>0)(1)当°>1时①+②，得 y + aY =ax + x. 令 f(x) = ax+x. x>0.则/(刃=/(兀)，即 f(ax) = f(x).T a >1, :. /(x)为增函数，ax •两边取自然对数，得Ina' =lnx,即xln6i-lnx = 0.令g(x) = xlnd-lnx, x >0.求导，得g'(x) = Ina—丄.令 g'(_r) = 0,得无=^―.x In(7当X变化吋，/(x),g(x)的变化情况如下表:X(0,亠) ma1\na( ,+GC )mag'⑴—0+gCO极小值7由上表可知，当x = —时,g(x)极小値=1-ln」一= l + ln(lna) \na In 6?T g(兀)只有一个极值,gOOmin =l + ln(lna).(i )当l + ln(lnt?)>0 ,即a>厂吋，方程g(x)= 0无解，此时函数y = ax与y = bg“ x 的图象没有交点；(ii) 当 1 + ln(lna)=(),即 a = ee 时，方程 g(x) = 0 有一*解，此II寸函数 y = ax 与 y = \oga x 的图象有一个交点；(iii) 当l + ln(lna)<0,即\+oo；当兀T+oo时，g(x) -> +oo ,二方程g(x) = 0有两解，此时函数y /与 y = log“ x的图象有两个交点.(2)当 Ovavl 时由①、②，消去y,得=x ③X由于/>0,且Ovavl,故vl,即0vxv 1・对③式两边取自然对数，得dTz = ln兀，即.\na两边取自然对数，得xln6/ = ln—・In a令方⑴=In 也込一兀 Ina, xe(0,1). 求导，得h\x) = — Ina.In a % In x由 h\x) = 0 ,得 xlnjc = -^—• 令 0(x) = xlnA：— , xg (0,1).则 0(兀)= lnx + l.Inf/ \na由0(x) = O,得兀=一. 当xw(0,—)吋，00) <0；当xw(-,l)吋，0(x)>0・ e e e・••当兀=1 吋，0(兀)min =0(1) = _1_ J- •e e e \x\ a(i )当--———>0 , tl|J tz > —时，(p{x) n0恒成立・.I xInx> —!— , *.* 0<6Z < 1, 00 ,且卩(兀)在(0,1)内 e \x\a ec x->o+ 入一>厂 In a连续，・••存在m g(0,-), n g (-,1),使得(p(m) =(p(n) = 0 , /. h\m) = hf(n) = 0.e e当X变化时，//(兀)/(兀)的变化情况如下表：F而证明，/2(^)<0, /?(-)>0.2”丄、,\naeh(ae) = In \na-ae \na =-l-ae \na , 00.ee ec ec ei 1 i•・・OVd V —, ・\0<6Ze < - <1, 又・・・当兀—0+11寸,力(兀)T+OO; 当无寸,ec e1 1 I/?(x) -» -00 ,且/?(x)在(0,1)内连续，结合加朗的单调性,・•・h(Q在区间(0,/),(/,-), e(丄,1)内各有一•个解•・••此时函数y = /与y = 1。

艮x的图象有三个交点.€综丄所述，函数y = ax与y = logrt x (a> 0,且g H 1)图象的交点有如卜•情况：当d>旷时,没有交点；当a = &吋，有一个交点；当lvavb时，有两个交点；当丄"V1时,有一个交点；£当0vd<2时，有三个交点.精品资料，你值得拥有!。