全国初中数学联赛试题及答案.doc

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，则的值为 （ B ）A．1. B．. C．. D．.2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A．5. B．6. C．7. D．8.3．方程的解的个数为 （ C ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ）A．5组. B．7组. C．9组. D．11组.5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则 （ D ）A．. B．. C．. D．.6．已知，，，则的值为 （ C ）A．1. B．. C．2. D．.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC中，已知，，则．2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 2 ．3．能使是完全平方数的正整数n的值为 11 ．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝ 24 ．第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，则 两式相减，可解得．设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。

所以 ． 又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，则又 ，两式相减，得 ． 若，则方程①无实根，所以，故．于是 ．又，解得 ． 二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心． 作于点，知为的中点，所以＝＝，从而． （2）作于点，则．又，∴ ，∴ Rt△≌Rt△，∴ ，又，所以，故，所以． 三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且．（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式．解 （1）因为，，所以，即．由，得． 又，从而有，即．（2）由，知是关于x的一元二次方程 ①的两个不相等的正整数根，从而，解得又为正整数，故或． 当时，方程①为，没有整数解．当时，方程①为，两根为．综合知：． 设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得．所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且．求证：．证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径．设为AC的中点，则为四边形ABCD的外接圆的圆心．作于点，则M为BD的中点,所以＝＝，从而． 作于点，则．又，∴ ， ∴ Rt△≌Rt△，∴，又，所以，所以，所以．三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且＋＋＝＋＋）．求图象经过三点的二次函数的解析式．解 因为，，所以 ，即．由，得． 又，从而有，即． 又，故是关于x的一元二次方程 ①的两个不相等的正整数根，从而，解得。

又为正整数，故或． 当时，方程①为，没有整数解．当时，方程①为，两根为．综合知：． 设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得．所以，图象经过三点的二次函数的解析式为． 第二试 （C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）如图，已知为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线．证明 如图1，作于点，于点，于点，于点．设，∵ ， ∴． 若，如图2，作，分别交于点，则△∽△，∴，∴ ，∴ ．若，则．若，同理可证． ∵，∴ ，∴．∵ ，∴，∴． 又，∴ ．又因为是的平分线，所以，∴ ．显然，即，∴ ，∴是的平分线． 三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.。