2011修订版概率论与数理统计课后答案(6).pdf

1 习题六1.设总体 XN（60，152） ，从总体 X 中抽取一个容量为100 的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3 的概率 . 【解】 =60,2=152,n=100 (0,1)/XZNn即60(0,1)15/10XZN(|60|3)(| 30/15)1(| 2)PXP ZP Z21(2)2(1 0.9772)0.0456.2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？【解】4(0,1)5/XZNn2.24.26.24.2(2.26.2)()55PXPnZn2(0.4)10.95,n则 (0.4n)=0.975，故 0.4n1.96, 即 n24.01，所以 n 至少应取 253.设某厂生产的灯泡的使用寿命XN（1000，2） （单位：小时） ，随机抽取一容量为9 的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求 P（X1062）. 【解】 =1000,n=9， S2=10021000 (8)100/3/XXttSn10621000(1062)()(1.86)0.05100/ 3P XP tP t4.从一正态总体中抽取容量为10 的样本， 假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4 以上，求总体的标准差. 【解】(0,1)/XZNn，由 P(|X- |4)=0.02 得2 P|Z|4( /n)=0.02, 故4 102 10.02,即4 100.99.查表得4 102.33,所以4 105.43.2.335.设总体 XN（ ，16） ，X1，X2，X10是来自总体X 的一个容量为10 的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2a）=0.1，求 a 之值 . 【解】2222299(9),()0.1.1616SaP SaP查表得914.684,16a所以14.6841626.105.9a6.设总体 X 服从标准正态分布，X1，X2， ，Xn是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y=niiiiXXn62512) 15(，n 5 服从何种分布？【解】2522222211(5),(5)iniiiiXXXn且12与22相互独立 . 所以2122/5(5,5)/5XYFnXn7.求总体XN（20，3）的容量分别为10，15 的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3 的概率 . 【解】 令X的容量为10 的样本均值，Y为容量为15 的样本均值,则XN(20,310),YN(20,315)，且X与Y相互独立 . 则330,(0,0.5),1015XYNN3 那么(0,1),0.5XYZN所以0.3(| 0.3)|21(0.424)0.5PXYPZ2(10.6628)0.6744.8.设总体 XN（0，2）,X1, , X10, , X15为总体的一个样本.则 Y=21521221121022212XXXXXX服从分布 ,参数为. 【解】(0,1),iXNi=1,2, ,15. 那么122210152222111(10),(5)iiiiXX且12与22相互独立 , 所以222110122211152/10(10,5)2()/5XXXYFXXX所以 YF 分布，参数为（10,5）. 9. 2)()(21121221nnYYXXEnjjnii= . 【解】 令1222212111211() ,(),11nniiijSXXSYYnn则122222112211()(1),()(1),nnijijXXnSyynS又2222221122112222(1)(1)(1),(1),nSnSnn那么4 1222112222121212()()1()22nnijijXXYYEEnnnn2221212221212()()2(1)(1)2EEnnnnnn10.设总体 XN（ ,2） ，X1，X2，X2n（n2 ）是总体 X 的一个样本，niiXnX2121，令Y=niiniXXX12)2(，求 EY. 【解】 令 Zi=Xi+Xn+i, i=1,2, ,n.则ZiN(2 ,22)(1 i n),且 Z1,Z2, , Zn相互独立 . 令2211, () /1,nniiiiZZSZZnn则21111,222nniiiiXXZZnn故2ZX那么22211(2)()(1),nnin iiiiYXXXZZnS所以22( )(1)2(1).E YnESn11.解：由题意，得1e ,0,2( )1e,0,2xxxf xx于是22222220()()()()1()( )ded021()( )dede d2,2xxxE SD XE XEXE Xxf xxxxE Xx f xxxxxx5 所以2()2E S. 。