力学量用算符表达PPT课件.ppt
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第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第四章第四章 力学量用算符表达力学量用算符表达教学内容第1页§1力学量的平均力学量的平均值§2 算符的运算算符的运算规则§3 动量算符和角量算符和角动量算符量算符§4 厄米算符的本征厄米算符的本征值与本征函数与本征函数§5 共同本征函数共同本征函数 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun §1 力学量的平均值力学量的平均值微微观粒子的运粒子的运动状状态用用波函数波函数描述一旦描述一旦给出了出了波函数波函数Ψ，就确定，就确定了微了微观粒子的运粒子的运动状状态但但Ψ不是可不是可观测得量，何得量，何谓确定了微确定了微观粒子的运粒子的运动状状态？？在微在微观粒子的某一个运粒子的某一个运动状状态下，它的力学量如下，它的力学量如坐坐标、、动量，角量，角动量、能量量、能量等不同等不同时具有确定的具有确定的值，具有一系列可能的，具有一系列可能的值，每一，每一可能的可能的值以一定的以一定的概率概率出出现。
给定运定运动状状态的波函数的波函数Ψ后，力学量出后，力学量出现的各种可能的各种可能值的相的相应概率概率就完全确定，利用就完全确定，利用统计平均的方法，可以算出平均的方法，可以算出该力学量的平均力学量的平均值，，进而与而与实验观测值比比较第2页原原则上，一切力学量的平均上，一切力学量的平均值就是在所描写的状就是在所描写的状态下的相下的相应的力的力学量的学量的观测结果，在果，在这种意种意义下一般下一般认为，波函数描写了粒子的，波函数描写了粒子的运运动状状态 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 1. 统计平均值的意义统计平均值的意义如果通如果通过一系列的一系列的实验测定系定系统的一个状的一个状态的参量的参量ξ，得到相，得到相应的的值为A1,A2,…,As，，在在总的的实验次数次数N中，中，则得到得到这些些值的次数分的次数分别是是N1,N2,…, Ns，，则ξ的（算的（算术）平均）平均值为第3页当当总的的实验次数次数N→∞时，量，量ξ的平均的平均值的极限是的极限是ξ的的统计平均平均值式中式中Pi为量量ξ出出现值Ai的几率。
如果的几率如果变量是量是连续分布的，分布的，则上述上述统计平均平均值可以表示成可以表示成ρ(x)为量量ξ出出现值Ai的几率密度的几率密度 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2. 2. 再论（归一化的）再论（归一化的）|Ψ|2和和|C|2的物理意义的物理意义与波函数相与波函数相联系的粒子，一般不具有精确的位置，又不具有系的粒子，一般不具有精确的位置，又不具有精确的精确的动量一般地，量一般地，对于于Ψ 表示的表示的单个粒子系个粒子系统，要，要对该粒子粒子的的动力学力学变量中的量中的这个或者那个做个或者那个做测量，我量，我们不能不能对测量量结果做果做确定的确定的预言但是但是对于于N个大量数目，彼此独立的等价系个大量数目，彼此独立的等价系统（每个系（每个系统都由都由同一波函数描述），若我同一波函数描述），若我们对他他们中的每个做位置中的每个做位置测量，量，则|Ψ|2 给出的就是成出的就是成员数数N趋于无于无穷大的极限下，大的极限下，N次次测量量结果的分布果的分布类似地，如果似地，如果测量的是量的是动量，量，则|C|2 给出出动量的几率分布。
量的几率分布第4页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun (1) 坐坐标表象的力学量平均表象的力学量平均值对以波函数以波函数ψ(r, t)描写的状描写的状态，按照波函数的，按照波函数的统计解解释，，|ψ(r, t)|2 dr表示在表示在t时刻在刻在r→r+dr中找到粒子的几率，因此坐中找到粒子的几率，因此坐标r的的平均平均值显然是然是第5页坐坐标 r 的函数的函数 f(r) 的平均的平均值是是其物理意其物理意义和我和我们对 |Ψ(r,t)|2所做的解所做的解释一一样：它是：它是对N个大个大量数目的，等价的，彼此独立的且由同一波函数表示的体系做量数目的，等价的，彼此独立的且由同一波函数表示的体系做f(r) 测量的量的结果的平均果的平均值 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （（2））动量的平均量的平均值p 的平均的平均值不能不能简单地写地写为第6页在在 t 时刻，在刻，在p→p+dp 找到粒子的概率找到粒子的概率为|C(p, t)|2 dp，，动量的平量的平均均值可以表示可以表示为用波函数用波函数Ψ直接直接计算算动量平均量平均值的公式的公式 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 记动量算符量算符为：：第7页动量平均量平均值为利用数学利用数学归纳法不法不难证明，明，对于正整数于正整数 n，，有有 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 如果如果是是动量量的解析函数，且可以展成的解析函数，且可以展成幂级数：数：则有有上面的上面的结果立即可以推广到三果立即可以推广到三维情形：情形：第8页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （（3））动能和角能和角动量的平均量的平均值动能的平均能的平均值：：第9页角角动量的平均量的平均值：：动能算符：能算符：角角动量算符：量算符： 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （（4）任一力学量的平均）任一力学量的平均值一般地，微一般地，微观粒子的任何一个力学量粒子的任何一个力学量A的平均的平均值总能表示能表示为第10页其中其中是力学量是力学量 A 相相应的算符。
如果的算符如果该力学量力学量 A 在在经典力学中典力学中有相有相对应的力学量，的力学量，则表示表示该力学量的算符力学量的算符由由经典表达式典表达式 A(r, p)中将中将 p 换成算符成算符而得出，即而得出，即综上所述，我上所述，我们可以得出，在求平均可以得出，在求平均值的意的意义下，力学量可以用算下，力学量可以用算符来代替当我符来代替当我们用坐用坐标表象中的波函数来表象中的波函数来计算算动量平均量平均值，需要，需要引引进动量算符，除此之外，能量算符和角量算符，除此之外，能量算符和角动量算符也可依此引量算符也可依此引进 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun §2 算符的运算算符的运算规则算符算符: : 代表代表对波函数的某种运算或波函数的某种运算或变换第11页Â把函数把函数u变为v注意注意: : 算符只是一种符号，算符只是一种符号，单独存在是没有意独存在是没有意义的仅当其作用于当其作用于波函数上，波函数上，对波函数做相波函数做相应的运算，才有意的运算，才有意义。
约定约定：：算符只算符只对右右边的波函数作用的波函数作用定定义单位算符位算符（I）和零算符和零算符(0)算符例子：算符例子： 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 算符的一般特性算符的一般特性1.线性算符满足如下运算关系的算符Â称为线性算符Â(c1ψ1 + c2ψ2 )= c1 Âψ1 + c2 Âψ2其中c1 , c2为任意复常数, ψ1 , ψ2任意两个波函数第12页例如单位算符Î动量算符均为线性算符开方算符，取复共轭算符均不是线性算符注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例子例子粒子状态满足薛定谔方程第13页若ψ1, ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解事实上仅当是当是线性算符性算符时才有才有 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2.算符的运算规则算符的运算规则算符之和算符之和 算符算符 A A与与B B之和记为之和记为A+BA+B, ,定义为定义为Ψ是任意波函数。
是任意波函数 第14页例如体系的哈密顿算符例如体系的哈密顿算符，算符求和满足交换律和结合律算符求和满足交换律和结合律线形算符之和仍为线形算符之和仍为线形算符线形算符 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 称称A与与B不不对易易算符算符与与之之积，定，定义为 设算符算符和和对体系的任何波函数体系的任何波函数Ψ 的运算所得的运算所得结果都相同果都相同算符相等算符相等则称两个算符相等，称两个算符相等，记做做算符之积算符之积且且满足足但一般不但一般不满足交足交换率率这是算符与通常代数运算是算符与通常代数运算规则的唯一不同之的唯一不同之处第15页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 若若，，则称称 与与 不不对易若若，，则称称与与对易第16页对易关系对易关系例如，算符例如，算符 ，不对易，不对易。
证明：证明：显然二者不相等，所以显然二者不相等，所以ψ是任意波函数是任意波函数同理同理坐标算符和对应的动量坐标算符和对应的动量分量算符不对易分量算符不对易 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系写出通式：写出通式：但是坐但是坐标算符与其非共算符与其非共轭动量量对易，各易，各动量之量之间相互相互对易第17页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 注意：注意：B与与A对易，易，A与与C对易，不能推知易，不能推知B与与C对易易第18页对易括号易括号为了表述了表述简洁，运算便利和研究量子力学与，运算便利和研究量子力学与经典力学的典力学的关系，人关系，人们定定义了了对易括号易括号：：采用对易括号，基采用对易括号，基本对易关系写为本对易关系写为思考思考：： 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 不难证明，对易式满足如下关系不难证明，对易式满足如下关系最后一式称为最后一式称为Jacobi恒等式。
恒等式例题证明：证明：第19页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 逆算符逆算符第20页算符的乘幂算符的乘幂显然然设能能够唯一地解出唯一地解出ψ，则可定可定义算符之逆算符之逆性性质1：若：若 的逆存在，的逆存在，则有有性性质2：若：若 的逆存在，的逆存在，则有有证明：若明：若 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 算符函数算符函数设给定一函数定一函数F(x),其各其各阶导数均存在若有一个算符数均存在若有一个算符，，则可定可定义算符算符的函数的函数第21页例：例： ex 的各的各阶导数都存在，数都存在，则有有 于是有于是有令令，，则可定可定义，，由此可得到由此可得到 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两个（或者多个）算符的函数两个（或者多个）算符的函数其中其中第22页复共轭算符复共轭算符算符算符的复共的复共轭算符算符就是把就是把的表达式中所有量的表达式中所有量换成复共成复共轭，，例如：例如：在坐在坐标表象中，表象中，一般，一般，转置算符转置算符☆标积标积的概念量子力学中任意两个波函数的标量子力学中任意两个波函数的标积定义为积定义为它具有下列它具有下列性质性质 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 转置算符转置算符算符算符的的转置算符置算符定定义为第23页式中式中Ψ和和φ是任意两个波函数是任意两个波函数。
可以可以证明：明：?例题：例题：证明明由此可由此可证 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 厄米共厄米共轭算符算符算符算符的厄米共的厄米共轭算符算符定定义为，，第24页由此可得由此可得厄米共厄米共轭算符可写算符可写为可以证明可以证明 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 厄米算符厄米算符满足下列关系的算符称足下列关系的算符称为厄米厄米算符算符第25页或者例如例如动量算符是厄米算符量算符是厄米算符性性质I: 两个厄米算符之和仍是厄米算符即若两个厄米算符之和仍是厄米算符即若A+ = A, B+ = B，，则(A+B)+ = A+ + B+ = (A+B) 性性质II: 两个厄米算符之两个厄米算符之积一般不是厄米算符一般不是厄米算符, 除除 非二算符非二算符对易 因因为 (AB)+ = B+ A+ = BA ≠ AB仅当当[A, B] = 0 成立成立时, (A B)+ = A B 才成立。
才成立 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 按假定，在任意状按假定，在任意状态Ψ下，即下，即性性质III:体系的任何状体系的任何状体系的任何状体系的任何状态态下，其厄米算符的平均下，其厄米算符的平均下，其厄米算符的平均下，其厄米算符的平均值值必必必必为实为实数性性质IV:在任何情况下，平均在任何情况下，平均值均均为实数的算符必数的算符必为厄米算符厄米算符证明：明：取取取取ΨΨ＝＝＝＝ΨΨ1 1＋＋＋＋λ λΨΨ2 2，，，，ΨΨ1 1和和和和ΨΨ2 2也是任意的，也是任意的，也是任意的，也是任意的，λ λ是任意常数代入上式，是任意常数代入上式，是任意常数代入上式，是任意常数代入上式，由于在任意状由于在任意状态下下都都为实，所以，所以 (Ψ1,AΨ1)=(AΨ1,Ψ1),有有第26页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 分分分分别别令令令令λ λ＝＝＝＝1 1和和和和λ λ＝＝＝＝i i可得：可得：可得：可得：以上两式相减，得以上两式相减，得两式相加，得两式相加，得两式相加，得两式相加，得此即厄米算符定此即厄米算符定此即厄米算符定此即厄米算符定义义的要求，故得的要求，故得的要求，故得的要求，故得证证明。
明由于由于实验上的可上的可观测量，必然在任何量，必然在任何态下的平均下的平均值都是都是实数，数，故相故相应的算符必的算符必须是厄米算符是厄米算符此外，此外，设A为厄米算符，厄米算符，则在任意在任意态下，有下，有第27页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学中力学量的平均量子力学中力学量的平均值就是就是该态下力学量的下力学量的观测值，，而力学量的而力学量的观测值总为实数，故数，故 力学量算符是厄米算符，且是力学量算符是厄米算符，且是线性厄米算符（性厄米算符（态叠加原叠加原理之要求理之要求）第28页例例题：：证明（明（1）无）无论厄米算符厄米算符A与与B是否是否对易，算符易，算符，，与与 必是厄米算符必是厄米算符2）任何一个算符）任何一个算符F总可以分解可以分解为，其中，其中 ，，与与均均为厄米算符厄米算符 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 算符：算符：代表代表对波函数的某一种运算。
波函数的某一种运算线性算符性算符 算符之和算符之和 算符之算符之积 逆算符逆算符 算符函数算符函数第29页转置算符置算符复共复共轭算符算符 算符表达式中所有的量算符表达式中所有的量换成复共成复共轭 厄米共厄米共轭算符算符厄米算符厄米算符1.体系任何状体系任何状态下厄米算符的平均下厄米算符的平均值为实数数2.任何状任何状态下平均下平均值为实的算符都是厄米算符的算符都是厄米算符 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例例题：：(a)已知粒子的坐已知粒子的坐标r,动量量p均均为厄米算符，判断厄米算符，判断l=r ×p,r·p是否是否为厄米算符厄米算符b)证明：明：(c)证明：明：第30页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun (d) 设A,B为矢量算符，F为标量算符，证明第31页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun §3 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 ( (一一) ) 动量算符量算符 （1）动量算符的本征方程和本征函数（2）动量本征函数的“归一化” ( (二二) ) 角角动量算符量算符 （1）角动量算符的形式（2）角动量本征方程和本征函数 （3）角动量算符的对易关系第32页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun ( (一一) ) 动量算符量算符（（1））动量算符的本征方程和本征函数动量算符的本征方程和本征函数 动量算符的本征量算符的本征值方程（坐方程（坐标表象）表象）第33页动量本征函数动量本征值在直角坐在直角坐标下的分量形式下的分量形式采用分离采用分离变量法量法这正是自由粒子的正是自由粒子的 de Broglie波的空波的空 间部分波函数。
部分波函数 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 自由粒子的波函数自由粒子的波函数就是就是动量本征函数量本征函数，相，相应的的动量本征量本征值为p.动量可以在量可以在（（-∞，，+∞））连续取取值，所以，所以动量本征量本征谱为连续谱此外，自由粒子波函数也是自由粒子波函数也是能量本征函数能量本征函数，，对应本征本征值E，也是，也是连续谱第34页连续谱本征函数不能本征函数不能归一化，一化，如何如何““归一化一化””？？ 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （（2 2））动量本征函数的动量本征函数的““归一化归一化””A. 归一化一化为δδ函数函数动量本征函数量本征函数第35页利用利用若取若取““归一化一化””的的动量本量本征函数征函数为坐坐标本征函数如何求？本征函数如何求？ 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun B. 箱归一化具有具有连续谱的本征函数如的本征函数如:动量的本征函数是不能量的本征函数是不能归一化一化为一的，一的，而只能而只能归一化一化为δ-函数。
函数但是，如果我但是，如果我们加上适当的加上适当的边界条件，界条件，则可以用以前的可以用以前的归一化方一化方法来法来归一，一，这种方法称种方法称为箱箱归一化第36页周期性周期性边界条件界条件箱子箱子边界上界上对应点点处，波函数，波函数相等（相等（动量算符厄米性之要求量算符厄米性之要求）xyzo 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第37页本征值本征值 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第38页这表明动量只能取分立值换言之，加上周期性边界条这表明动量只能取分立值换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱件后，连续谱变成了分立谱由归一化条件由归一化条件归一化归一化本征函数本征函数 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun (1)可以看出，只有在分立可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能情况下，波函数才能归一化一化为一；一；连续谱情况，情况，归一化一化为 函数。
函数2)由由可以看出，相可以看出，相邻两本征两本征值的的间隔隔，与，与L成反比当成反比当L足足够大大时，本征，本征值间隔可以任意小，隔可以任意小，当当时，，，，离散谱离散谱→连续谱第39页讨论讨论 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun ( (二二) ) 角角动量算符量算符角角动量算符的形式量算符的形式第40页 xz球球 坐坐 标标r y 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 利用直角坐利用直角坐标与球坐与球坐标之之间的的变换关系关系, ,求得偏求得偏导数数第41页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 由上面由上面结果得果得第42页则球坐球坐标下角下角动量算符的表达式量算符的表达式为 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 直角坐标直角坐标第43页球坐标球坐标vs角角动量算符量算符 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 定定义角角动量平方算符量平方算符第44页本征方程本征方程Lz的本征方程的本征方程本征方程本征方程 在球坐标系中在球坐标系中 由于由于为的的单值函数，函数，应有周期有周期条件条件: 即即 本征值本征值: 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第45页 称为磁量子数称为磁量子数可可见，微，微观系系统的角的角动量在量在z方向的分量只能取分离方向的分量只能取分离值（零或（零或的整数倍）。
由于的整数倍）由于z方向是任意取定的，所以方向是任意取定的，所以角角动量在空量在空间任意方向的投影是量子化的任意方向的投影是量子化的本征函数本征函数由由归一化条件一化条件归一化本征函数一化本征函数正交性：正交性：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件： 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 这正是周期正是周期性性边界条件界条件讨论：：设Ψ和和Φ为粒子的二任意粒子的二任意态，，第46页按按Lz的厄米性要求：的厄米性要求： 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 角动量算符的对易关系角动量算符的对易关系第47页任何两个指任何两个指标对换，改，改变正正负号号任何两个指任何两个指标相同，相同，为0.类似，可似，可证明明矢量形式矢量形式 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （（4）角）角动量升降量升降阶算符算符(I) 定义定义显 然然 有有 如如 下下 性性 质所以，所以，这两个算符两个算符 不是厄米算符。
不是厄米算符II) 对易关系易关系不不 难 证 明明第48页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 证明：明：第49页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun §4.4.4 厄米算符的本征厄米算符的本征值和本征函数和本征函数第50页假假设在一在一态Ψ测量量力学量力学量A时，一般可出，一般可出现各种各种不同的不同的结果果，各有，各有一定的几率一定的几率对状状态的大量完全相同的体系，如的大量完全相同的体系，如进行多次行多次测量，所量，所得得结果的平均将果的平均将趋于一个于一个确定的确定的值而每次测量的量的结果果则围绕平均平均值有一个有一个涨落，它由下式定落，它由下式定义：：因因因因为为A A为为厄米算符，厄米算符，厄米算符，厄米算符， 必必必必为实为实数，因而数，因而数，因而数，因而 A-A-仍仍仍仍为为厄米算符，厄米算符，厄米算符，厄米算符，由上式有由上式有由上式有由上式有 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第51页如果体系如果体系处于于测量量A所得所得结果是唯一确定的果是唯一确定的态，即，即涨落落<ΔA2>=0，，则称称为力学量力学量A的本征的本征态，，满足足为为方便，通常将此常数方便，通常将此常数方便，通常将此常数方便，通常将此常数记为记为A An n，并将，并将，并将，并将该该特殊状特殊状特殊状特殊状态记为态记为ΨΨn n。
故故A An n 称称称称为为A A的一个本征的一个本征的一个本征的一个本征值值，，，，ΨΨn n 为为相相相相应应的本征的本征的本征的本征态态2.本征本征态和本征方程和本征方程本征方程本征方程 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第52页量子力学的一个基本假定是量子力学的一个基本假定是量子力学的一个基本假定是量子力学的一个基本假定是：：：：测测量力学量量力学量量力学量量力学量A A时时所有可能出所有可能出所有可能出所有可能出现现的的的的值值，都，都，都，都是相是相是相是相应应的的的的线线形厄米算符的本征形厄米算符的本征形厄米算符的本征形厄米算符的本征值值当体系处处于本征于本征于本征于本征态态ΨΨn n ，，，，则则每次每次每次每次测测量量量量得到的得到的得到的得到的结结果都是果都是果都是果都是A An n . .量子力学中的力学量算符都是量子力学中的力学量算符都是量子力学中的力学量算符都是量子力学中的力学量算符都是线线形厄米算符，可以得到其本征形厄米算符，可以得到其本征形厄米算符，可以得到其本征形厄米算符，可以得到其本征值值与本与本与本与本征函数具有下述性征函数具有下述性征函数具有下述性征函数具有下述性质质。
1）厄米算符的本征）厄米算符的本征值一定是一定是实数3.本征本征态和本征函数的性和本征函数的性质 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （（2）厄米算符属于不同本征）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交的本征函数相互正交证明明: 设53则有有由算符厄米性由算符厄米性 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 若若ψi(i=1,2,3…)是是归一化的一化的本征函数本征函数，，则综综合正交合正交合正交合正交归归一性一性一性一性对分立分立谱:对连续谱:第54页 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态 当体系处于力学量算符A的本征态时，力学量A具有确定值 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符的本征态及本征值但必须随时注意：力学量算符的本征态可能不止一个 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （（3）厄米算符所有的本征函数）厄米算符所有的本征函数组成的函数成的函数系构成完系构成完备系系统第55页若算符若算符A的正交的正交归一本征函数系一本征函数系则任意函数可由展开任意函数可由展开为且展开式唯一，其中且展开式唯一，其中Cn与与r无关，无关，称本征函数系称本征函数系﹛﹛φn﹜﹜构成构成完完备函数系，或本征函数系具有完函数系，或本征函数系具有完备性。
性 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun II连续谱：：求展开函数求展开函数Cn：：I. 分离分离谱：：第56页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 设任一任一态为分立分立谱而而归一化一化条件可表示条件可表示为4.任一任一态中力学量的平均中力学量的平均值则力学量的力学量的平均平均值可表示可表示为57 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 若若A的本征函数既有分立的本征函数既有分立谱又有又有连续谱时，完，完备系系为﹛﹛φn，，φλ﹜﹜，，则有有因此，量子力学中的力学量以因此，量子力学中的力学量以线形厄米算符来表示，力学量取确形厄米算符来表示，力学量取确定的定的态就是力学量算符的本征就是力学量算符的本征态，力学量的取，力学量的取值就是算符的本征就是算符的本征值力学量算符的本征函数系是正交力学量算符的本征函数系是正交归一完一完备的，它的，它们是力学量是力学量所有可能取的数所有可能取的数值及其相及其相应态。
第58页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 大致可分大致可分为三三类：： （（1 1））连续谱— —本征本征值可取任何可取任何实数数值如自由粒子的坐如自由粒子的坐标和和动量的本量的本征征值谱；； （（2 2））带谱— —本征本征值被限定在某些区域，被限定在某些区域，例如固体中的能例如固体中的能带；； （（3 3））分立分立谱— —本征本征值只能取一系列孤立只能取一系列孤立实数，如粒子在束数，如粒子在束缚态下的能下的能谱重点重点讨论连续谱和分立和分立谱通常连续谱记为或或分立分立谱记为对应的本征函数分的本征函数分别记为及及力学量算符的本征量算符的本征态及本征及本征值可能不是一一可能不是一一对应，而出，而出现若干个（如若干个（如 f 个）本征个）本征态对应一个本征一个本征值，称，称这种情况种情况为 f 度度简并力学量算符的本征值被称为力学量算符的本征值被称为力学量谱力学量谱或或本征值谱本征值谱第59页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 下列函数哪些是算符下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？的本征函数，其本征值是什么？①①，， ②② ，， ③③， ， ④④， ， ⑤⑤ 解：解：①①不是不是的本征函数。
的本征函数②② 是是的本征函数，其对应的本征值为的本征函数，其对应的本征值为1③③④④⑤⑤l 第60页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第61页简并情况简并情况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这这些本征函数属于不同本征值，即些本征函数属于不同本征值，即非简并情况非简并情况如果如果 F F 的本征的本征值F Fn n是是f f度度简并的，并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：φφn1n1 ,φ,φn2 n2 , ..., φ, ..., φnfnf 满足本征方程：足本征方程：一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交并不一定正交可以可以证明由明由这 f 个函数可以个函数可以线性性组合成合成 f 个独立的新函数，它个独立的新函数，它们仍属于本征仍属于本征值 Fn 且且满足正交足正交归一化条件一化条件 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第62页证证明明: :由由这 f 个个φn i 线性性组合成合成 f 个新函数个新函数 ψn j可以可以满足正交足正交归一化条件：一化条件：证明分如下两步明分如下两步进行行1. Ψ1. Ψnj nj 是本征是本征值 F Fn n 的本征函数。
的本征函数2. 满足正交足正交归一条件的一条件的 f 个新函数个新函数ψn j可以可以组成 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第63页1. 1. ψnjnj是本征是本征值F Fn n的本征函数的本征函数2. 满足正交足正交归一条件的一条件的f个新函数个新函数ψnj可以可以组成为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Aji ji 的的个个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件正交归一条件方程方程 个数即可个数即可正交正交归一条件一条件方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2 f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2 f(f+1)/2 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第64页因为因为 f f2 2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，， 所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Ajiji 的个数，因而，我们的个数，因而，我们有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。
个系数使上式成立f f 个新函个新函数数ΨΨnjnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 F Fn n 的正交归一化的的正交归一化的本征函数本征函数综合上述合上述讨论可得如下可得如下结论：： 既然厄密算符本征函数既然厄密算符本征函数总可以取可以取为正交正交归一化的，所以以后凡是一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数提到厄密算符的本征函数时，都是正交，都是正交归一化的，即一化的，即组成正交成正交归一系 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学基本假设量子力学基本假设1.波函数公波函数公设 ψ(r, t) 描述量子态 |ψ(r, t)|2 几率密度 量子态叠加2. 算符公算符公设 可可观测量量——线性厄米算符性厄米算符 Aψ = φ3. 测量公量公设（平均（平均值公公设））4. 微微观体系体系动力学演化公力学演化公设第65页5. 全同性原理公全同性原理公设 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 测量公设（平均值公设）测量公设（平均值公设）的平均的平均值多次多次测量的平均量的平均结果果2. 可可观测力学量力学量A的本征函数构成一完的本征函数构成一完备集，集，第66页单次次测量，量，Ai每次每次测量之后，波函数受到量之后，波函数受到严重干重干扰，，发生突生突变（（波函数坍波函数坍缩））随机，不可随机，不可预计，不可逆。
不可逆 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学中的测量量子力学中的测量经典理典理论中，中，测量量对系系统无影响（影响甚微）无影响（影响甚微）量子理量子理论中，中，测量量对系系统影响很大影响很大在微在微观原子系原子系统中，中，测量将量将极大地极大地扰乱系乱系统例：例：测量量氢原子中原子中电子的位置子的位置用用电磁波（光子）照射磁波（光子）照射电子电磁波磁波频率要足率要足够高电子子轨道半径道半径10-10m，需要，需要电磁波的波磁波的波长小于此数小于此数值，，氢原子原子电离能离能13.6eV.测量将完全摧量将完全摧毁系系统第67页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两个力学量的观测两个力学量的观测测量会极大地影响量子系量会极大地影响量子系统对两个力学量（两个力学量（A,B）的）的测量次序量次序不一不一样得到的得到的结果一般也会不同果一般也会不同如果如果Ａ，ＢＡ，Ｂ不不对易，易，ＡＢＡＢ不能同不能同时观测，，观测次序将影响次序将影响观测结果。
果假假设系系统处于于A的某一本征的某一本征态ψi下，下，测A，得，得ai，，测量量B，得，得bj,此此时体系将体系将变为φj,再再测量量A，会得到什么，会得到什么值呢？呢？如果Ａ，Ｂ如果Ａ，Ｂ对易，易，观测会得到什么会得到什么结果，它果，它们能能同同时观测吗？？第68页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun §4.4.5 共同本征函数共同本征函数设有两个任意的力学量有两个任意的力学量A和和B.考考虑下列下列积分不等式分不等式Ψ为体系的任一波函数体系的任一波函数, ,ξ为任意任意实参数参数,,A与与B均均为厄米算符厄米算符. .上述不等式可化上述不等式可化为引引进厄米算符厄米算符C=[A,B]/i,则第69页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 注意注意
果第70页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件体系体系处于任意状于任意状态 （（x x））时，力学量，力学量 F F 一般没有确定一般没有确定值如果力学量如果力学量 F F 有确定有确定值，， （（x x）必）必为 F F 的本征的本征态，即，即如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定中也有确定值，， 则 必也必也是是G G 的一个本征的一个本征态，即，即结论：：当在当在 态中中测量力学量量力学量 F F 和和 G G 时，如果同，如果同时具有确定具有确定值，，那么那么 必是必是 二力学量共同本征函数二力学量共同本征函数第71页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两算符对易的物理含义所以所以是特定函数，是特定函数， 非任非任意函数也！意函数也！例如：例如：ll l = 0 = 0 的态，的态，Y Y m m = Y= Y0000 L Lx x L Lz z 同时有确定值。
同时有确定值但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易且构成完备系，此时二力学量算符必可对易考察前面二式：考察前面二式：第72页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 定理：若两个力学量算符有一定理：若两个力学量算符有一组共同完共同完备的本征函数系，的本征函数系，则二算符二算符对易证：证：由于由于 n n 组成完备系，所以组成完备系，所以任意态函数任意态函数 (x) (x) 可以按其可以按其展开：展开：则则因为因为 (x) (x) 是是任意函数任意函数第73页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 逆定理：如果两个力学量算符逆定理：如果两个力学量算符对易，易，则此二算符有此二算符有组成成完完备系的共同的本征函数系的共同的本征函数证：证： n 也是也是 G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F 的所有本征函数的所有本征函数 n （（ n = 1，，2，，… )也都是也都是 G 的本征函数的本征函数,因此二算符具有共同完因此二算符具有共同完备的本征函数系的本征函数系.仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：与与 n n 只差只差一常数一常数 G Gn n第74页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 定理：定理：一一组力学量算符具有共同完力学量算符具有共同完备本征函数系的充要本征函数系的充要条件是条件是这组算符两两算符两两对易。
易例例 1 1：：例例 2 2：：第75页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 的共同本征态的共同本征态,球谐函数球谐函数由于角由于角动量的三个分量不量的三个分量不对易易,一般无共同本征一般无共同本征态,但由于但由于 因此可以找出因此可以找出与与 任何一个分量的共同本征任何一个分量的共同本征态.采用球坐采用球坐标:第76页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 由于由于的本征函数可以同的本征函数可以同时也取也取为的本征的本征态此此时的本征函数已分离的本征函数已分离变量量,即令即令带入本征方程入本征方程是是的本征的本征值, 无量无量纲, 待定待定第77页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 令令 ,则连带Legendre方程方程其解其解: 当当有一个多有一个多项式解式解本征方程：本征方程：利用正交利用正交归一性公式，可以定一性公式，可以定义一个一个归一化的一化的θ部分的波函数（部分的波函数（实））：：第78页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 这样, 的正交的正交归一的共同本征函数表示一的共同本征函数表示为:称称为球球谐函数函数,它它们满足足:对应一个一个 值，，m 取取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共共 (2 +1)个个值。
因此当因此当 确确定后，尚有定后，尚有(2 +1)个磁量子状个磁量子状态不确定换言之，言之，对应一个一个 值有有(2 +1)个量子状个量子状态，，这种种现象称象称为简并，并， 的的简并度是并度是 (2 +1) 度由于量子数由于量子数 表征了角动量的大小，表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；所以称为角量子数；m m 称为磁量子数称为磁量子数的本征值为：的本征值为：的本征值为：的本征值为：第79页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 由角动量对易关系：由角动量对易关系：代入平均值公式：代入平均值公式：同理：同理：例：证明在例：证明在 L LZ Z 本征态本征态 Y Ylm lm 下，下，
号设给定定k之后即之后即给定定这组本征本征值就能就能够确定体系的一个可能状确定体系的一个可能状态，，则称称这组力学量力学量( (Â1,Â2, ...)构成体系的构成体系的对易力学量完全集易力学量完全集第82页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例例 1 1：：三三维空空间中自由粒子，完全确定其中自由粒子，完全确定其状状态需要三个两两需要三个两两对易的力学量：易的力学量：例例 2 2：：氢原子，完全确定其状原子，完全确定其状态也需也需要三个两两要三个两两对易的力学量：易的力学量：例例 3 3：：一一维谐振子，只需要一个力学振子，只需要一个力学量就可完全确定其状量就可完全确定其状态：：力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同由力学量完全集所确定的本征函数系，构成由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系体系态空空间的一的一组完完备的本征函数，即体系的任何状的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开均可用它展开第83页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 小小结：两个力学量同：两个力学量同时有确定有确定值的条件体系恰好的条件体系恰好处在其共同本征在其共同本征态上。
上例例 ：：动量算符：量算符：两两两两对易，易，共同完共同完备本征函数系：本征函数系：本征本征态下有确定下有确定值：：第84页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第85页例：一例：一维谐振子，振子，Hamilton量就构成一量就构成一组力学量完全力学量完全集能量本征集能量本征值相相应的本征函数的本征函数φn,构成正交构成正交归一的完一的完备系测量量谐振子能量振子能量为En的概率的概率为|Cn|2. 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例：已知空例：已知空间转子子处于如下状于如下状态试问：： （（1））ΨΨ是否是是否是 L2 的本征的本征态？？ （（2））ΨΨ是否是是否是 Lz 的本征的本征态？？ （（3）求）求 L2 的平均的平均值；； （（4）在）在 Ψ 态中分中分别测量量 L2 和和 Lz 时得到的可能得到的可能值及其相及其相应的几率。
的几率解：解：Ψ 没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故 Ψ 不是不是 L L2 2 的本征态的本征态第86页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun ΨΨ是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I验证归一化：验证归一化：第87页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 归一化波函数方法II（（4 4））第88页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第89页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第90页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第91页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第92页 第4章 力学量用算符表示@ Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第93页 。
