高中数学圆锥曲线系统讲解第19讲《韦达定理之设而不求》练习及答案.pdf

1 第第 19 讲讲 韦达定理之设而不求韦达定理之设而不求 知识与方法知识与方法 在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去 y（或 x）整理得出关于 x（或 y）的一元二次方程是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()11,A x y、()22,B xy，很多时候我们都不去求这两个交点的坐标，而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于 x（或 y）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用到的量，这种处理方法叫做设而不求.一般地，若联立后得到的关键方程用20axbxc+=()0a 来表示，其判别式24bac=，则：（1）12bxxa+=；（2）12cx xa=；（3）()22212121222444bcbacxxxxx xaaaa=+=；（4）()2222121212222bacxxxxx xa+=+=；（5）12121211xxbxxx xc+=.借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于1x和2x的具有对称结构的代数式.典型例题典型例题 1.（）设 A、B 为曲线2:4xC y=上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且AMBM，求直线 AB的方程.【解析】（1）设()11,A x y，()22,B xy，则124xx+=，且21122244xyxy=，两式作差得：()()()1212124xxxxyy+=，所以12121214yyxxxx+=，故直线 AB 的斜率为 1.（2）解法 1：设200,4xMx，2xy=，由（1）可得，012x=，故02x=，所以()2,1M，设直线 AB 的方程为yxt=+，联立24yxtxy=+消去 y 整理得：2440 xxt=，判别式16 160t=+，故1t，由韦达定理，124xx+=，124x xt=，1212242yyxxtt+=+=+，2212124x xy yt=2 ()112,1MAxy=，()222,1MBxy=，因为AMBM，所以0MA MB=，即()()()()()()212121 2121212221125484250 xxyyx xxxy yyyttt+=+=+=解得：7t=或1（舍去），所以直线 AB 的方程为7yx=+.解法 2：设200,4xMx，2xy=，由（1）可得，012x=，故02x=，所以()2,1M，设直线 AB 的方程为yxt=+，联立24yxtxy=+消去 y 整理得：2440 xxt=，判别式16 160t=+，故1t，由韦达定理，124xx+=，1212242yyxxtt+=+=+，所以 AB 中点为()2,2Nt+，故211MNtt=+=+而()2121 1216164 2 1ABxxtt=+=+=+，因为AMBM，所以2ABMN=，故()()4 2 121tt+=+，解得7t=或1（舍去），所以直线 AB 的方程为7yx=+.2.（）已知抛物线2:2C ypx=过点()1,1P，过点10,2作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M、N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A、B，其中 O 为原点.（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段 BM 的中点.【解析】（1）将点()1,1代入22ypx=解得：12p=，故抛物线 C 的方程为2yx=，其焦点坐标为1,04，准线方程为14x=.（2）设直线 l 的方程为12ykx=+，设()11,M x y，()22,N xy 将2yx=代入12ykx=+消去 x 整理得：22210kyy+=()0k 3 判别式()224 20k=，所以12k 且0k，由韦达定理，121yyk+=，1212y yk=，直线 AB 的方程为1xx=，直线 OP 的方程为yx=，直线 ON 的方程为22yyxx=联立1xxyx=，解得：1yx=，所以1Ayx=，联立122xxyyxx=，解得：122x yyx=，所以122Bx yyx=故()122212212121221221122112112222222222MBAx yyy yyyy yyyxx yx yy yy yx xyxxxxx+=2211122202k kkx=所以2MBAyyy+=，故 A 为线段 BM 的中点.3.（2021北京20）已知椭圆()2222:10 xyEabab+=过点()0,2A，以 4 个顶点围成的四边形面积为4 5.（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过点()0,3P的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B、C，直线 AB 交3y=于点 M，直线 AC 交3y=于点 N，若15PMPN+，求 k 的取值范围.【解析】（1）由题意，2b=，四个顶点围成的四边形面积1224 52Sab=，所以5a=，即椭圆 E 的标准方程为22154xy+=（2）设()11,B x y，()22,C xy，直线 l 的方程为3ykx=，直线 AB 的斜率为112yx+，其方程为1122yyxx+=，联立11223yyxxy+=，解得：112xxy=+，所以112xPMy=+，同理，222xPNy=+，所以121222xxPMPNyy+=+，联立223154ykxxy=+=消去 y 整理得：()224530250kxkx+=，判别式()22900100 450kk=+.4 解得：1k 或1k，由韦达定理，1223045kxxk+=+，1222545x xk=+，显然120 x x，故1x、2x同号，而120y+，220y+，所以112xy+与222xy+同号，故()()12121212122121212121222222111kx xxxxxxxxxPMPNyyyykxkxk x xk xx+=+=+=+=+222222503045455253014545kkkkkkkkk+=+，由题意，15PMPN+，所以515k，故33k，综上所述，k 的取值范围为)(3,11,3.强化训练强化训练 4.（）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为22，长轴长为4 2.（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线:l ykxm=+()0k 与椭圆 C 交于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线过点()1,0P，求 k 的取值范围.【解析】（1）由题意，椭圆 C 的离心率2222abea=，长轴长24 2a=，所以2 2a=，2b=，故椭圆 C 的方程为22184xy+=.（2）设()11,A x y，()22,B xy，联立22184ykxmxy=+=消去 y 整理得：()222214280kxkmxm+=，判别式()()2222164 21 280k mkm=+，化简得：()224 210km+，由韦达定理，122421kmxxk+=+，()121222221myyk xxmk+=+=+，所以 AB 中点为222,21 21mmGkk+，因为 AB 的中垂线过点()1,0P，所以PGAB，从而222112121mkkkmk+=+，化简得：221kmk+=，代入得：()222214 210kkk+解得：22k 或22k，故 k 的取值范围为22,22+.5 5.（）已知椭圆()2222:10yxCabab+=的离心率为22，且过点32,22.（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点1,03D且不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，点()1,0A，证明：APAQ.【解析】（1）由题意，22222213124abaab=+=，解得：21ab=，所以椭圆 C 的方程为2212yx+=.（2）由题意，可设直线 1 的方程为13xmy=，代入2212yx+=消去 x 整理得：()2241621039mymy+=，易得判别式0，设()11,P x y，()22,Q xy，则()12243 21myym+=+，()122169 21my ym=+所以()()121222233 21xxm yym+=+=+，()()22121212211 18399 21mmx xm y yyym=+=+()111,APxy=，()221,AQxy=，故()()()12121 21212111AP AQxxy yx xxxy y=+=+()()()()()22222221 1869 21161 18216109 213 219 219 21mmmmmmm+=+=+所以APAQ.。