第五节方向导数和梯度.doc

第五节方向导数和梯度一、方向导数前面我们学习的偏导数是函数在坐标轴方向上的变化率, 方向的变化率F面我们讨论函数沿任一射线以三元函数u =f(x, y, z)为例我们给出如下定义:定义5.4 设三元函数u = f(x,y,z)在点Po(Xo,yo,Zo)的一个邻域U(P°) R3中有定义，任意方向向量 丨的同向单位向量为 e,记e = ｛cos.±,cosL:,,cos ｝，实数k是使得两点 Po(xo, yo, Zo)和 Pk(xo kco^ yo k cos :, Zo kcos )的连线段包含在邻域 U(P0)内的任意正数如果极限lim f (冷 +kcos^ +kcosP,Zo +kcos?) - f(x°, y%jo ■存在，则称此极限为函数 u二f (x, y,z)在点Po(xo,yo,zo)沿方向丨或e的方向导数，记为丄(Xo,yo,Zo)或 -(xo, yo,Zo) .:l ：:e特别地，沿 x轴、y轴和z轴的正向的方向分别为 0 =(1,0,0)、e^ (0,1,0)和e3 =(0,0,1)，我们容易得到函数 f (x, y, z)在点P0(xo,yo, Zg)关于x ( y或z )可求偏导的充分必要条件是 f(x,y,z)沿方向e和-e ( e2和-e2或e3和-e3 )的方向导数都存在f且为相反数，并且这时成立：—(x0,y0,z0)—(xo,yo,Zo) .xf f f f(「(xo, yo,zo)^—(xo,yo,zo)或「(x°,yo,zo) = 一(xo, yo,zo))。

=2 :y :€3 ； z方向导数与偏导数有如下关系:定理5.15如果u二f(x,y,z)在点P0(xg,yo,zg)可微，那么f (x,y,z)在点Po(Xg,yo,Zg)沿任意方向e二｛cos〉，cos ：, cos ｝的方向导数存在，且f f 汀 ：汗(xo, yo,Zo) (xo, yo,Zo)cos (xo, yo,Zo)cos --e :x :y : z(xo, yo,zo)cos证 因为f(x,y,z)在点Po(x0,y0,Zo)可微，我们有色(Xo , 丫卫)=f(x—0+kCOSPkZ0+kcM-f(X0,yO，Z0).:e k 0 kFf ff(xo, yo, Zo)kcos (xo, yo,Zo)kcos (x°, y°, z°)kcos 0(k)-lim Xk)0 'cy czk汗 jf f(Xo,yo,Zo)cos (xo, yo,Zo)cos (xo, yo,Zo)cos.x ；y ；z类似地，我们可以对一般 n元函数给出方向导数的定义并且相应有上面定理梯度以三元函数u = f (x, y, z)为例我们给出如下定义:定义 5.5 设三元函数u = f (x, y, z)点Po(xo, yo, zo)可偏导，则称向量f (x, y, z)在点Po的梯度，记为汗 ：讦 :f 、，{ (xo, yo,zo), (xo, yo,zo), (xo,yo,zo)}为函数:x : y :zgrad f (xo, y°,Zo)或' f (Xo,y°,Zo).于是f jf f f(Xo,y°,Zo) (xo,yo, Zo)cos (x°, y°,z°)cos (x°,yo,Zo)cos:e : x : y :z；:f={ (Xo, yo,Zo),:X(Xo, yo, Zo),：y.:f:z(Xo, yo,Zo)} {cos ,cos :,cos }因此，方向导数的几何意义是函数沿某个方向的增长率. 当方向与梯度的方向一致时， 函数在该点取得最大增长率.类似地，我们可以对一般 n元函数给出梯度的定义gradf (X1,X2, , xn)；:f={ (X1,X2, , Xn),：X1f (X1,X2, ■Xn),；：f(X1,X2 / ,Xn)}Xn例5.34已知函数u = x2 2y2 3z2，求函数在点(1,1,1 )的梯度；求从点(1,1,1)到点(2,3,2)的直线方向的方向导数;求增长率最大和最小的方向.(1,2,3) ={2,4,6}-解 gradf ={2x,4y,6z}，故 gradf为|二{2 -1,3-1,4 -1} -{1,2,1}，与它同方向的单位向量为= {2,4,6}(1,2,3)-'6 6166.1 246 \;6,，所以当方向取为与I的方向一致时， —取最大值，此时cl~a二{2,4,6}(1,2,3)= 2.14f当方向为与与I的方向相反时， 一取最小值.cl.:l-{2,4,6} {(1,2,3)=—2 14习题5.51. 求函数u二xyz在点(1,1,1)处从点(1,1,1)到(2,2,2)的方向导数。

2. 求函数u =x 求在什么方向上方向导数 —— 有最大、小值、等于零？凸(1,1) • y2 -z2在点M (1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角3. 设 f (x, y) = x2 y2 -xy■— n n cf(1) 若方向l与9,色的夹角为一，一求方向导数 一3 6 剖(1,1)。