2.2.1 综合法与分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.1.综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.2.分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识.探究点一 综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理.例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.证明 由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形.反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.跟踪训练1 在△ABC中，＝，证明：B＝C.证明 在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π0，b>0)是怎样证明的？答 要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立.思考2 证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.小结 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法.思考3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.例2 求证：－<－(a≥3).证明 方法一 要证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，只需证2a－3＋2<2a－3＋2，只需证<，只需证0<2，而0<2显然成立，所以－<－(a≥3).方法二 ∵＋>＋>0，∴<，∴－<－.反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法.跟踪训练2 求证：＋<2.证明 因为＋和2都是正数，所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，展开得10＋2<20，只需证<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以＋<2成立.探究点三 综合法和分析法的综合应用思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证.例3 已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θcos θ＝sin2β. ②求证：＝.证明 因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1. ③另一方面，要证＝，即证＝，即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证.反思与感悟 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).证明 由tan(α＋β)＝2tan α，得＝，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.这就是①式.所以，命题成立.1.已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )A.x<x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝，∴x<2xy<b>0时，才有a2>b2，即证：＋<＋，只需证：(＋)2<(＋)2.3.要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________.答案 分析法4.已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证＝3，只需证＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－，∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－显然成立，∴结论得证.[呈重点、现规律]1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.6。
