2023-2024学年福建省厦门重点中学高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）.docx

2023-2024学年福建省厦门重点中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在空间直角坐标系中，若点A(−1,6,8)，B(1,5,7)，则|AB|=(    )A. 2 B. 2 C. 6 D. 62.已知点A(−3,1,−4)，B(7,1,0)，则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(    )A. (−2,1,−2) B. (2,1,−2) C. (2,−1,−2) D. (2,1,2)3.下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是(    )A. OA+OB+OC=−OP B. OA+OB+OC=OPC. OA+OB+OC=2OP D. OA+OB+OC=3OP4.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CMCB=13，PN=ND，设AB=a，AD=b，AP=c，则向量MN可表示为(    )A. a+13b+12cB. −a+16b+12cC. a−13b+12cD. −a−16b+12c5.已知平面α={P|n⋅P0P=0}，其中点P0(1,2,3)，法向量n=(1,1,1)，则下列各点中不在平面α内的是(    )A. (3,2,1) B. (−3,5,4) C. (−2,5,4) D. (2,−4,8)6.已知正四面体ABCD，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为(    )A. 23 B. 36 C. 2121 D. 4 21217.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，AA1=3，则异面直线AC与BC1之间的距离是(    )A. 55 B. 77 C. 66 D. 678.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中不正确的是(    )A. 若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B. 存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC. 当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q−A1PD的体积最大D. 若D1Q= 62，那么Q点的轨迹长度为 24π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个结论正确的是(    )A. 任意向量a,b，若a⋅b=0，则a=0或b=0或〈a,b〉=π2B. 已知A(3,1,0)，B(5,2,2)，C(2,0,3)，则点C到直线AB的距离为 10C. 已知向量a=(1,1,x),b=(−2,x,4)，若x<25，则〈a,b〉为钝角D. 若a，b，c是不共面的向量，则a+b，b+c，c+a的线性组合可以表示空间中的所有向量10.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(    )A. 2B. 3C. 2D. 511.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则(    )A. AC1= 6B. AC1⊥BDC. 四边形BDD1B1的面积为 22D. 平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为 2212.如图的六面体中，CA=CB=CD=1，AB=BD=AD=AE=BE=DE= 2，则(    )A. CD⊥平面ABCB. AC与BE所成角的大小为π3C. CE= 3D. 该六面体外接球的表面积为3π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已用a=(−1,2,1)，b=(−2,−2,4)，则b在a方向上的投影向量为______ ．14.如图，二面角α−l−β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，则CD的长等于______ ．15.在空间直角坐标系中，经过P(x0,y0,z0)且法向量m=(a,b,c)的平面方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，经过P(x0,y0,z0)且方向向量n=(A,B,C)的直线方程为x−x0A=y−y0B=z−z0C.阅读上面材料，并解决下列问题：给出平面α的方程3x+y−z−5=0，经过点P(0,0,0)的直线l的方程为x=y2=−z，则直线l的一个方向向量是______ ，直线l与平面α所成角的余弦值为______ ．16.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝隶铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为a，高为23a，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)如图，在底面为菱形的四棱锥E−ABCD中，BE⊥底面ABCD，F为CD的中点，且AB=BE=2，∠ABC=120°，以B为坐标原点，BA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出A，B，D，E四点的坐标；(2)求cos〈AB,DE〉．18.(本小题12.0分)已知向量a=(−2,−1,3)，b=(−1,1,2)，c=(x,2,2)．(1)当|c|=2 2时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值；(2)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值．19.(本小题12.0分)如图所示，在四棱锥M−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中点，设a=AB，b=AD，c=AM．(1)用a、b、c表示向量BN，并求BN的长；(2)求证：BD⊥平面MAC．20.(本小题12.0分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，PA=AB=2．(Ⅰ)求证：MN/​/平面PAB；(Ⅱ)求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．21.(本小题12.0分)如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M为棱BC上一动点(不包含端点)．(1)若M为BC的中点，在图中过点A1作一个平面α，使得平面C1MA//α.(不必给出证明过程，只要求作出α与棱台ABCD−A1B1C1D1的截面)；(2)是否存在点M，使得平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为 66？若存在，求出BM长度；若不存在，请说明理由．22.(本小题12.0分)在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0