高等数学教学全套课件第二版 陈如邦 电子教案 84幂级数.ppt

8 4幂级数一 函数项级数的概念 设 为定义在区间I上的函数项级数 对 若常数项级数 敛点 所有收敛点的全体称为其收敛域 为定义在区间I上的函数 称 收敛 为其收 若常数项级数 发散 所有 为其发散点 发散点的全体称为其发散域 为级数的和函数 并写成 在收敛域上 函数项级数的和是x的函数 称它 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前n项的和 即 例如 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如 级数 级数发散 所以级数的收敛域仅为 有和函数 二 幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数 其中数列 下面着重讨论 例如 幂级数 为幂级数的系数 即是此种情形 的情形 即 称 定理 Abel定理 若幂级数 则对满足不等式 的一切x幂级数都绝对收敛 反之 若当 的一切x 该幂级数也发散 时该幂级数发散 则对满足不等式 幂级数在 收敛 由Abel定理可以看出 中心的区间 用 R表示幂级数收敛与发散的分界点 的收敛域是以原点为 则 R 0时 幂级数仅在x 0收敛 R 时 幂级数在 R R 收敛 R R 加上收敛的端点称为收敛域 R称为收敛半径 在 R R 可能收敛也可能发散 外发散 在 R R 称为收敛区间 定理2 若 的系数满足 1 当 0时 2 当 0时 3 当 时 则 的收敛半径为 说明 据此定理 2 若 则根据比值审敛法可知 绝对收敛 3 若 则对除x 0以外的一切x原级发散 对任意x原级数 因此 因此 因此级数的收敛半径 对端点x 1 的收敛半径及收敛域 解 对端点x 1 级数为交错级数 收敛 级数为 发散 故收敛域为 例1 求幂级数 例2 求下列幂级数的收敛域 解 1 所以收敛域为 2 所以级数仅在x 0处收敛 规定 0 1 例3 的收敛半径 解 级数缺少奇次幂项 不能直接应用定理2 比值审敛法求收敛半径 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 例4 的收敛域 解 令 级数变为 当t 2时 级数为 此级数发散 当t 2时 级数为 此级数条件收敛 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 三 幂级数的运算 定理 设幂级数 及 的收敛半径分别为 令 则有 其中 若幂级数 的收敛半径 则其和函 在收敛域上连续 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分 运算前后收敛半径相同 注 逐项积分时 运算前后端点处的敛散性不变 说明 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多 例如 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 解 由例2可知级数的收敛半径R 例5 则 故有 故得 的和函数 因此得 设 例6 的和函数 解 易求出幂级数的收敛半径为1 x 1时级数发 散 例7 求级数 的和函数 解 易求出幂级数的收敛半径为1 及 收敛 因此由和函数的连续性得 而 及 例8 解 设 则 而 故 三 泰勒 Taylor 级数 其中 在x与x0之间 称为拉格朗日余项 则在 若函数 的某邻域内具有n 1阶导数 此式称为f x 的n阶泰勒公式 该邻域内有 为f x 的泰勒级数 则称 当x0 0时 泰勒级数又称为麦克劳林级数 若函数 的某邻域内具有任意阶导数 注 若f x 能展成x的幂级数 则这种展开式是 唯一的 且与它的麦克劳林级数相同 由泰勒级数理论可知 第一步求函数及其各阶导数在x 0处的值 第二步写出麦克劳林级数 并求出其收敛半径R 第三步判别在收敛区间 R R 内 是否为 骤如下 0 例1 将函数 展开成x的幂级数 解 其收敛半径为 对任何有限数x 其余项满足 故 在0与x之间 故得级数 例2 将 展开成x的幂级数 解 得级数 其收敛半径为 对任何有限数x 其余项满足 类似可推出 例3 将函数 展开成x的幂级数 其中m 为任意常数 解 易求出 于是得级数 由于 级数在开区间 1 1 内收敛 因此对任意常数m 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 例4 将函数 展开成x的幂级数 解 因为 把x换成 得 将所给函数展开成幂级数 例5 将函数 展开成x的幂级数 解 从0到x积分 得 定义且连续 区间为 利用此题可得 上式右端的幂级数在x 1收敛 所以展开式对x 1也是成立的 于是收敛 例6 将 展成 解 的幂级数 例7 将 展成x 1的幂级数 解 1 函数的幂级数展开法 1 直接展开法 利用泰勒公式 2 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开 2 常用函数的幂级数展开式 式的函数 当m 1时 一 近似计算 四 函数幂级数展开式的应用 例1 计算 的近似值 使准确到 解 已知 故 令 得 于是有 例2 利用 求 误差 解 先把角度化为弧度 弧度 误差不超过 的近似值 并估计 取 例4 计算积分 的近似值 精确到 解 则n应满足 则所求积分近似值为 欲使截断误差 。