第32节向量组线性相关性.ppt

线性表示线性表示可由可由ma aa aa a，，，，，，或说或说21mmkkkna aa aa aa a使得使得，，，，，，，存在常数，存在常数，，，，，，，，维向量组维向量组若对于若对于LLLLLL2121的一个线性组合，的一个线性组合，为为ma aa aa a，，，，，，则称则称21a ammkkka aa aa aa a2211    线性表示的定义回顾线性表示的定义回顾§4.2 §4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关的定义线性相关的定义1 定义定义1 1 设有设有m m个个n n维向量维向量α1，， α2 ，，  ，， α m，，如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数 使使则称向量组则称向量组αα1 1 ，， αα2 2 ，，  ，， ααm m线性相关线性相关；；否则，否则，称向量组称向量组线性无关线性无关线性相关两种定义的等价性线性相关两种定义的等价性 向量组向量组a a1 1，，a a2 2，，  ，，a am m线性相关线性相关的充要条件是：的充要条件是： 向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。

向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示必要性：因为必要性：因为a a1，，a a2，，   ，，a am线性相关，故存在不全线性相关，故存在不全为零的数为零的数l l1，，l l2，，   ，， l lm，，使使 l l1a a1 l l2a a2      l lma am o 不妨设不妨设l l1 0，，于是于是即即a a1为为a a2，，a a3，，   ，，a am的线性组合的线性组合 充分性：不妨设充分性：不妨设a a1可由其余向量线性表示：可由其余向量线性表示： a a1 l l2a a2 l l3a a3      l lma am，，则存在不全为零的数则存在不全为零的数 1，，l l2，，l l3，，   ，， l lm，，使使 ( 1)a a1 l l2a a2 l l3a a3      l lma am o ，，即即a a1，，a a2，，   ，，a am线性相关。

线性相关 证明：证明：1. 1. 含有零向量的向量组一定线性相关含有零向量的向量组一定线性相关 2 2. .由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量3.3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量 对应成比例对应成比例4. 4. n n 维基本单位向量维基本单位向量e e1 1，，e e2 2，，……，，e en n是线性无关的是线性无关的5. 5. 几何意义几何意义 定义定义1 1 设有设有m m个个n n维向量维向量αα1 1，， αα2 2 ，，  ，， αα m m，，如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数 使使则称向量组则称向量组αα1 1 ，， αα2 2 ，，  ，， ααm m线性相关线性相关；；否则，否则，称向量组称向量组线性无关线性无关思考题：给出线性无关的直接定义思考题：给出线性无关的直接定义 证明向量组证明向量组 线性无关线性无关.证证利用条件设法推出利用条件设法推出即可即可.设设(1) (1)式左乘式左乘得得(1)式成式成为为(2)(2)式左乘式左乘同理推出同理推出例例3例例2设向量设向量 可由线性无关的向量组可由线性无关的向量组线性表示线性表示,证明表法是唯一的证明表法是唯一的.(p99定理定理3.2.2)证证证证 设有两种表示方法设有两种表示方法设有两种表示方法设有两种表示方法由由 线性无关线性无关所以方程组有非零解。

所以方程组有非零解21 x12  x13  x得方程组得方程组 由于由于 解:设使使所以所以 线性相关线性相关 例例1 1 讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性即存在一组不全为零即存在一组不全为零0的数的数 21 x12  x13  x易见易见 向量组向量组a a1 1，，a a2 2，，  ，，a am m线性相关的线性相关的充分必要条件充分必要条件是：是： 以以x x1 1，，x x2 2，， ，，x xm m为未知量的齐次线性方程组为未知量的齐次线性方程组 x x1 1a a1 1  x x2 2a a2 2      x xm m a am m  o o有非零解有非零解而而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数的个数m m，，即即由此即得：由此即得：存在不全为零的数存在不全为零的数 使使即即有非零解有非零解.还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关……向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组)齐次齐次方程组方程组(用矩阵的秩用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。

无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关定理定理定理定理3.2.33.2.3证明向量组线性相关性的基本方法证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）（向量方程）思考题：思考题：如向量个数如向量个数= =向量维数，向量组线性相关向量维数，向量组线性相关及线性无关的条件是什么？及线性无关的条件是什么？答案答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0 0；； 线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0 0例例3 3．．．．t t取何值时向量组线性无关、线性相关？取何值时向量组线性无关、线性相关？取何值时向量组线性无关、线性相关？取何值时向量组线性无关、线性相关？α1=（（3，，2，，0），），α2=（（5，，4，，-1））α3=（（3，，1，，t））解解 由于由于 当当 2t-3≠02t-3≠0，即，即t≠3/2t≠3/2时，时，αα1 1，，αα2 2，，αα3 3 线性无关线性无关当当 2 t-3 = 0，即，即t=3/2时，时，α1，α2，α3 线性相关线性相关例例2、、已知已知讨论向量组讨论向量组a a1 1，，a a2 2，，a a3 3及及向量组向量组a a1 1，，a a2 2的线性相关性的线性相关性解：解：AA（（a a1，，a a2，，a a3））=∵∵R（（A））=2<3，，∴∴ a a1，，a a2，，a a3线性相关。

线性相关∵∵R（（ a a1，，a a2 ））=2，，∴∴ 向量组向量组a a1，，a a2的线性无关的线性无关另解：另解： 例例4 4．．设向量组设向量组a a1 1，，a a2 2，，a a3 3线性无关，线性无关，b b1 1 a a1 1 a a2 2，，b b2 2 a a2 2 a a3 3，，b b3 3 a a3 3 a a1 1 试证向量组试证向量组b b1 1，，b b2 2，，b b3 3也线性无关也线性无关 证明：（一）证明：（一）考虑考虑 x x1 1b b1 1  x x2 2b b2 2 x x3 3 b b3 3  o o，， ，，x1x1x2x2x3x3000       从而从而b b1 1，，b b2 2，，b b3 3线性无关线性无关方程组只有零解，方程组只有零解，即即 x x1 1( (a a1 1 a a2 2) )  x x2 2( (a a2 2 a a3 3) ) x x3 3 ( (a a3 3 a a1 1) ) o o，， 整理得整理得 ( (x x1 1+ +x x3 3) )a a1 1+ +( (x x1 1+ +x x2 2) )a a2 2+ +( (x x2 2+ +x x3 3) )a a3 3= =o o。

因为向量组因为向量组a a1 1，，a a2 2，，a a3 3线性无关，所以必有线性无关，所以必有 例例4 4．．设向量组设向量组a a1 1，，a a2 2，，a a3 3线性无关，线性无关，b b1 1 a a1 1 a a2 2，，b b2 2 a a2 2 a a3 3，，b b3 3 a a3 3 a a1 1 试证向量组试证向量组b b1 1，，b b2 2，，b b3 3也线性无关也线性无关证明： （三）从而从而R R（（B B））=R=R（（A A），），而向量组而向量组a a1，，a a2，，a a3线性无关，线性无关，所以所以R（（A））=3R（（B））=3可知可知向量组向量组b b1，，b b2，，b b3也线性无关也线性无关 例例4 4．．设向量组设向量组a a1 1，，a a2 2，，a a3 3线性无关，线性无关，b b1 1 a a1 1 a a2 2，，b b2 2 a a2 2 a a3 3，，b b3 3 a a3 3 a a1 1。

试证向量组试证向量组b b1 1，，b b2 2，，b b3 3也线性无关也线性无关证明：（二）证明：（二）只有只有即只有即只有所以向量组所以向量组b b1 1，，b b2 2，，b b3 3也线性无关也线性无关 例例 4 4．． 设设 向向 量量 组组a a1 1，，a a2 2，，a a3 3线线 性性 无无 关关 ，，b b1 1 a a1 1 a a2 2，，b b2 2 a a2 2 a a3 3，，b b3 3 a a3 3 a a1 1 试证向量组试证向量组b b1 1，，b b2 2，，b b3 3也线性无关也线性无关证明：证明： （四）（四）从而从而，，即向量组即向量组a a1，，a a2，，a a3与与向量组向量组b1，，b2，，b3等价从而从而R（（B））=R（（A））=3，， 所以向量组所以向量组b1，，b2，，b3也线性无关也线性无关(参见参见P.99—101)(1) “部分相关部分相关,则整体相关则整体相关.等价地等价地…”观察知观察知 相关相关, 从而从而 相关相关.设设相关相关,要证要证相关相关.使用方便的一些推论使用方便的一些推论书书P.98例例2(2) “个数大于维数必相关个数大于维数必相关”A 的列组是的列组是 4 个个 3 维向量维向量, 必相关必相关.设设要证要证 A 的列组线性相关的列组线性相关.P.101推论推论1如：如：(3) “短的无关短的无关, 则长的也无关则长的也无关.等价地等价地… ”是无关的是无关的.也是无关的也是无关的.P.101推论推论3再如：再如：(4)含有含有n个向量的个向量的n元向量组线性相关（无关）元向量组线性相关（无关）P.101推论推论2由它由它构成的构成的n阶阶矩阵的行列式矩阵的行列式t 取何值时取何值时,下列向量组线性相关下列向量组线性相关 ?解解解解记记当当 t = 5 时时, 上面上面向量组线性相关向量组线性相关.例例4(5) 无关无关, 相关相关则则 可由可由 A 唯一表示唯一表示.这由这由有唯一解有唯一解.为以后引用方便为以后引用方便, 给它起个名子叫给它起个名子叫唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定理.P.99 定理定理3.2.2写成矩阵乘积写成矩阵乘积:从而从而(6) 向量向量 组组 B 可由向量组可由向量组 A 表示表示, 则则(后者的后者的 A, B是矩阵是矩阵)存在矩阵存在矩阵 C 使得使得 B = AC为以后引用方便为以后引用方便, 给它起个名子叫给它起个名子叫表示不等式表示不等式表示不等式表示不等式.也体现在也体现在P.108 性质性质3(7) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关（则必相关（SteinitzSteinitz定理定理定理定理））.则则必相关必相关如果如果可由可由表示表示, 又又 m>n, 由表示不等式由表示不等式从而从而 B 必相关必相关.P.107 引理引理1 练习题 一．填空题一．填空题．．在一向量组在一向量组α１１，，α２２，，… ，，αn中，如果有中，如果有 部分向量组线性相关，则向量组必（部分向量组线性相关，则向量组必（ ））．二、多选题：二、多选题：下列命题中正确的有（下列命题中正确的有（ ）） Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关 Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关 Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关 Ｄ．由零向量组成的向量组一定线性相关Ｄ．由零向量组成的向量组一定线性相关 Ｅ．线性相关的向量组一定含有零向量。

Ｅ．线性相关的向量组一定含有零向量三、分析判断题三、分析判断题 ：：若若α１１不能被不能被α２２，，α３３，，…，，αr线性表出，线性表出，则向量则向量α１１，，α２２，，α３３，，…，，αr线性无关线性无关 ））四、证明题：四、证明题：设设β可由可由α１１，，α２２，，… ，，αr线性表示，线性表示，但不能由但不能由α１１，，α２２，，… ，，αr－１－１线性表示，证明线性表示，证明αr可可由由α１１，，α２２，，… ，，αr，，β线性表示．线性表示．例题例题7作业作业： P108：：7 ，， 8。