光学_郭永康_例题解答.pdf

光学例题解答与讨论光学例题解答与讨论 1． 一个直径为 200mm 的玻璃球，折射率为 1.53，球内有两个小气泡，从球外看其中 一个恰好在球心 从最近的方位去看另一个气泡，它位于球表面和球心的中间 求两 气泡的实际位置 （解题思路） 玻璃球内部的气泡作为实物经单球面折射成像 由于人眼的瞳孔直径很 小，约 2—3 毫米，且是从离气泡最近的方位观察， 所以本题是单球面折射的近轴成像 问题题中给出的是像距 s’, 需要求的是物距是 s s1 s1’ s2 s2’ r= -100mm n=1.53 n’=1.0 解： （1）n=1.53 n’=1.00 r=-100mm s’=-100mm 代入成像公式 ' ' ' nnnn ssr − −= s=-100mm 物为实物，且和像的位置重合， 且位于球心 （2） 对另一个气泡，已知 n=1.53;n’=1.00; r=-100mm s’=-50mm . 代入成像公式 1.001.531.00 1.53 50100s − −= −− s=-60.47mm 气泡为实物，它的实际位置在离球心（100-60.47）=39.53mm 的地方。

讨论： 对于第一个气泡，也可以根据光的可逆性来确定 因为第一个气泡和像是重合 的， 由可逆性将像视为物,经球面折射后仍成在相同的位置 所以像和物只能位于球心 2. 在制作氦氖激光管的过程中，常采用如图的装置 已知目镜 L1的焦距是 2 ㎝、物 镜 L2的焦距是 2 ㎝ 凹面镜的曲率半径是 8 ㎝ （1） 调节 L2使 L1和 L2之间的距离为 5 ㎝， L2和 L3之间的距离为 10 ㎝，求 L2前 1cm 的叉丝 P 经光学系统后成的像的位置 （2）当 L1和 L2之间的距离为 5 ㎝时，若人眼通过目镜能观察到一个清楚的叉丝像， 问 L2和 L3之间的距离为多少？ L1 L2 L3 P1’ P4’ P5’P2’ P P3’ F1’ F2 解： (解题思路) 物点P经前面的系统成像， 即直接经L1成像(P1’); 同时经后面的系统成像， 即先后经L2成像(P2’)、经L3反射成像(P3’)后光线方向发生改变，再经L2成像(P4’)和L1成 像(P5’) （1）P对L1直接成像P1’；s1=-4cm, f1’=2cm 根据透镜成像公式 111 ''ssf −= 得： ' 1 1 1 11 ' 4 ' s f sc sf == + m 位置位于在 L1的左侧 4 ㎝处。

P对L2成像P2’；s2=-1cm, f2’=2cm ' 22 2 22 ' 2 ' s f sc sf == − + m 像的位置位于 L2的物方焦点上 进一步对L3成像P3’ s3=-12cm, f3’=r/2=-4cm 又对L2成像P4’ s2=-4cm, f2’=2cm ' 22 2 22 ' 4 ' s f sc sf == + m 在 L2的左侧 4 ㎝处 对L1成像P5’ s1=-1cm, f1’=2cm ' 1 1 1 11 ' 2 ' s f s sf == − + cm 1 ⎞ ⎟ ⎠ 像的位置在L1的右侧 2 ㎝处， 即位于L1的焦点上 因此可以看到两个像，一个位于L1的左侧 4 ㎝处，一个位于L1的右侧 2 ㎝处（焦点 上） 可以设想，P经L2成的像如果是在L3的曲率中心，则经L3反射后像仍然在L3的 曲率中心，再经 L2成的像一定和叉丝 P 重合，这样经 L1成像后两个像是重合的 故 经过目镜只能看到一个清楚的像所以凹面镜曲率中心 c 应和 L2的物方焦点重合，故 L2和 L3的距离是 6 ㎝ 3． 一个置于空气中的复合透镜L1 L2 ， 各面曲率半径分别为r1=-1.0m, r2=1.5m, r3=-1.0m, 两透镜的厚度为d1=4cm, d2=5cm ，介质的折射率为n2=1.632， n3=1.5。

试用矩阵方法 求复合透镜的光焦度，并讨论离透镜前表面 4.0m的轴上物点的成像情况 r1 r3r2 （解题思路）本题中折射面的曲率半径和折射率是已知的，可以直接写出其折射和平移 矩 阵 ， ， 根 据 系 统 的 传 递 矩 阵 ，可求出系统的光焦度和像的位置和放大率 1( ')/10 , 01/ nnr RT d n −⎛⎞⎛ == ⎜⎟⎜− ⎝⎠⎝ 3 322211 SR T R TR= d1 n2 nd2 n3 n 1 4 C1 C3 C2 L1 L2 解： '' 333222 23 ' 111 12 101()/1()/ /10101 101()/ /101 nnrnnr S dn nnr dn ⎛⎞⎛−⎛⎞− =⎜ ⎟⎜⎜⎟ − ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎛⎞−⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ''' 342312123 ,,,1.0 ,1.5 ,1.0nn nn nn rm rm rm==== −== −以 代入得 1 1.5101.5 1.632 11 1.01.50.05 1 0101 1.5 101.632 1 1 1.0 0.04 1 01 1.632 0.973-0.202 = -0.0581.040 S −−⎛⎞⎛⎞⎛ ⎜⎟⎜⎟⎜ =− ⎜⎟⎜⎟⎜ − ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝ −⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ − ⎜⎟⎜⎟ − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 验证： det1S = 所以系统的光焦度 1 12 0.202.Sm−Φ == − l=-0.4m,由物像关系 2122 1112 0.058( 4.0) 1.040 '2 0.973( 4.0) ( 0.202) SlS lm SlS +−+ −× === − ++ −× − .39 像的放大率 1112 11 0.56 0.973( 4.0) ( 0.202)SlS β=== ++ −× − 讨论： （1）复合透镜的光焦度是负的，所以系统是发散的。

（2）物体成像在第三折射面的前方 2.39m 处，是一缩小的正立的虚像 4． 两个薄透镜L1和L2的孔径均为 4cm，L1的焦距为 8 ㎝，L2的焦距为 3 ㎝，L2在L1之 后 5 ㎝，对于平行于光轴入射的光线，求系统的孔径光阑、入射光瞳和出射光瞳 （解题思路）同一光学系统对于不同的轴上物点，可以有不同的孔径光阑，本题中入射 光是平行光，对应的物点应在无穷远 解： （1）求孔径光阑： L1对其前面的光学系统成像就是本身L2对其前面光学系统的 成像由公式 ' 2 L 111 ''ssf −= 已知 代入公式得 ' 1 5,'8scm ffc= −==m 40 '13.3 3 scm= −−? ' 2 L， 即 位于右边 约 13.3 ㎝处 1 L 由 ''ys ys β== ，的口径 ' 2 L ' 2 '210.7 s yyc s =?m m ffcm= −== 由于物点在无限远处，且的口径为 10.7cm, 的口径为 4cm, 对入射光束口径限 制最大，即为孔径光阑 ' 2 L 1 L 1 L 1 L （2）求入瞳； 因为孔径光阑对其前面的光学系统成像为入瞳， 所以又为入瞳。

1 L （3）求出瞳； 出瞳为孔径光阑对后面的光学系统成像， 即对成像 1 L ' 2 L 已知sc 代入公式 ' 2 5,'3 111 ''ssf −=得 '7.5scm= 出瞳的口径 ' 2 '26 s yyc s =×=m 即出瞳位于右侧 7.5cm 处，口径为 6 ㎝ 2 L 5．一单色平而光波的时间频率为 6×1014 Hz,在真空中沿xy面内传播，在一定 的时刻波场中的等相位线的分布如图 3.2-3 所 示已知沿 x 方向等相位线的间隔为 1μm，求： （1）在传播方向上波场的空间频率； （2）x, y 方向的空间频率； （3）传播方向与 x, y 轴夹角 解解（1）传播方向上的空间频率等于波长的倒数，即 1 14 14 μm2 10 10 − = 3 61 × × === c f υ λ （2）λ=c/v=1/2um x fk dx d πα φ 2cos−=−=， y fk dy d πβ φ 2cos−=−= 由图可见，沿x方向坐标增加，相位减少；沿y方向坐标增加，相位增加，即 0 dy dφ ，因此fx0,fy0,则 1 μm1 1 − == x x d f ， 1 2 2 μm3 − −=−−= xy fff （3）求传播方向与 X、Y 轴的夹角，即α、β 4π 2 0 π 8π -4π -6π -8π 6π -2π o β α K y x 根据 coscos ; xy ff αβ λλ == 2 1 cos== x fλα ， α=60° 2 3 cos−== y fλβ ， β=150° 即平面波的传播方向在第二、四象限，传播矢量与x轴夹角为60°，与y轴夹角为150°， 即图中的 K 方向 6.一束准单色自然光以 14 3 tg − 的入射角，由空气射向水面。

问（1）反射光强和入射光 强的比例，反射光是什么光？（2）透射能流和入射能流的比例，透射光是什么光？（3） 反射光束和透射光束的夹角是多少？ 解： （1）设入射的自然光光强为 0 I，将它分解为光强为的 s 分量线偏振光和光强 为的 p 分量线偏振光已知入射角 0/2 I 0/2 I 1 11 44 53.13 ,1, 33 o itgnn − 2 ====， 折射角 10 2 3 sin ( sin53.13 )36.87 4 i − == 0 s 分量线偏振光 0 12 12 sin() sin16.260.28 sin() s ii r ii − = −= −= − + 光强反射率 2 0.078 ss Rr== p 分量线偏振光 00 12 00 12 ()(53.1336.87 ) 0 ()(53.1336.87 ) p tg iitg r tg iitg −− == ++ = 光强反射率 2 0 pp Rr== 总的反射光强和入射光强的比例： 0 0 ()0.0393.9% 2 sp I RRI+÷== 由于 p 分量不反射，所以反射光是振动方向垂直于入射面的线偏振光。

（2） 对 p 分量线偏振光，其能流透射率为 1，全部进入水中； 对于 s 分量线偏振光能 流透射率， 所以有 92.2%射入水中， 总的能流透射率 为 11 0.0780.922 ss TR= −= −= 1 (10092.2)%96.1% 2 += 由于透射的 s 线偏振光和 p 线偏振光的强度不同，且没有位相关系，所以透入水中的是 部分偏振光 （3）， 反射光和折射光之间的夹角为 00 12 53.1336.8790ii+=+= 0 12 () 2 ii π π−+=， 两者相互垂直， 1 2 1 1 n itg n − = 为布儒斯特角 7. 低头洗脸时，很难看到自己的脸部经水面反射的像 站在广阔平静的湖面的岸边 却可以看到对岸景物明亮的反射到像 为什么？ 答： 由菲涅耳公式可知水面的光强反射率随入射角的变化关系 在入射角较小时， 反射率很低；光线的入射角较大时，特别是掠射时，其反射率会急剧增大，几乎全部反 射 所以当我们低头洗脸时，其入射角接近于零，反射率非常小，反射光强很弱，很 难看到自己脸部经水面反射的像 而站在广阔平静的湖面的岸边观看对岸的景物时， 景物接近于掠入射，光线几乎全部反射，反射光强很强，所以可以看到对岸景物明亮的 反射倒像。

8．在如图的装置中，㎜，离双缝 10 ㎝处的理想透镜的焦距㎝，其光 轴通过 s 单缝若用的紫光照射单缝 s，则在离透镜 12 ㎝的照相干板上摄 得什么图样？ 1 2 0.1s s ='10f。