离散均匀分布.doc

I)離散均勻分配(DiscreteUniformDistribution)：一、背景：若隨機變數有n個不同值，具有相同機率，則我們稱之為離散型均勻分配，通常這都發生在我們不確定各種情況發生的機會，且認為每個機會都相等，例如：投擲骰子、銅幣、、、等等、疋義:設離散隨機變數X之可能變量有1,2,…,n,若其機率函數為1f(x)x=1,2,...nn則此種機率分配稱為離散均勻分配三、性質:1.E(XH^2^，由於機率值相等，故平均數為中心點,證明：E(X)，x丄x二n即n12n(n1)2n1n(n1)(2n1)16n22n3n1-6Var(X)二E(X2)一E(X)2n1)F)22n3n16-1123.MomentGeneratingFunctionnmx(t)八x41xten證明：mx(t)二Eetx1n-'etxf(x)x4J1xtex4n-n(^et)例題：一輪盤分37個面積相等扇形，每個扇形上分別標明0到36號，轉動輪盤，指針所指之數字為X，若指針所指之編號服從離散均勻分配，求(a)X之機率函數？(b)X位在1到10號間機率為何?(c)奇數格內機率為何?(d)0號之機率為何?x二1,2,...,36(d) 解：(a)f(x)二彳7(b)P(1—X-10)=P(X為基數)二看(V0到36共有18個奇數)1P(X=0):37四、應用：我們可用隨機亂數表自均勻分配中抽出樣本，若自N個物品之母體中抽出n個物品為一簡單隨機樣本，則有(N)個可能樣本，而這些樣本被抽出之機率均相同，則這些樣本之分配為1f(X)二TNTX=1,2,...,(n)(n)(H)連續型均勻分配(ContinuousUniformDistribution):一、背景：當我們認為一變數值在某區間(a,B)內發生的機率一樣時，我們稱之為連續型均勻分配設X為一隨機變數，若其機率密度函數為1P-CL-■:::X:::0,其他則稱X為在區間(a,B)上均勻分布的隨機變數，以X~UG,■)表示，其中a、B為均勻分布的兩個參數X的分布函數為x--F(x)=』,a2a+P212證明:E(X2)=rP22f(x)dx—dxaPa33-aP-a3-3Var(X)=E(X2)-[E(X)]2、；2•-2：；亠|'.；.2()32a2+aP+P2a2+2aP+P23(1-J1243.Momenttt:-GeneratingFunctionMX(t)=t(P—a)證明：Mx⑴=E[etX]=fetxf(x)dxFtx1d十—dx_11tx卩P-atea=e^-etat(B-a)4•任一隨機變數與（0,1）間之均勻隨機變數有函數關係，以下是此特性之定理:定理:令Y~U(0,1),X=FJ(Y)F(x)為連續型分配函數且F(a)=0,F(b)=1在a:：:x:：:b時，F(x)嚴格遞增(a,b可能分別為—百严)，則隨機變數X=F」(Y)的分配函數為F(x)證明：P(Xmx)二P[F」(丫)ex]F(x)為嚴格遞增，F—1(YHx=丫冬F(x).P(X乞x)=P[Y冬F(x)]■-Y~U(0,1)=P(Y

試求:(1)該乘客5分鐘內等到車子的機率為多少?(2)該乘客超過10分鐘等到車子的機率為多少？解：(1)令X表示該乘客過7點以後到站的”分”數貝IjX~U(0,30)P(10：：X:：:15)P(25：：X:：:30)151301dxdx10302530-3(2)P(0:：X:::5)P(15：：X:::20)51201dxdx0301530_3四、應用：在測度理論中，U(0,(0.5)10，)經常被用來描述在小數點後第(k+1)位四捨五入後誤差的分布也就是說，若觀測值Y在小數點後第k+1位四捨五入所得的值為Yk(即表示到小數點後第k位)，則假設丫-Yk~U(0,(0.5)10冷此外，U(0,1)分布在蒙地卡羅法(MonteCarloMethods)中也廣泛地被使用；※故可利用電腦成式先產生具有U(0,1)分布的一組隨機數(randomnumbers),再將其轉換成具有任何分布之隨機亂數※由性質4的定理知，均勻隨機變數經任一分布函數倒函數之轉換，可產生具有該分布的隨機變數感想:在所有的隨機變數中，均勻分布不外乎是較為簡單的，但其重要性卻是不可忽視的，因為在一般的日常生活中有許多的情況皆可以均勻分布來解釋，例如擲骰子、錢幣、等候公車、、、等，當然，其最重要的就是可以此分布來模擬其他離散或連續型隨機變數的觀察值，也就可得到所謂的亂數表2n2_12.Var(X)「-12n證明：E(X2)八1x12-2。