《微商及解析函数》PPT课件.ppt

Wuhan University§1.3 微商及解析函数1.3 微商及解析函数f ′ ( z) = limlim0 Δ z= lim= lim= limz 0Δ fΔ z →Δ xΔ z → 0 Δ zΔ z → 0Δ z → 0Re Δ zΔ zRe( z + Δ z ) − Re zΔ z1.3 微商及解析函数一、微商及微分：而在复变函数中：ΔfΔz → 0 Δze.g f (z) = Rez注意：（2）可导必然连续，反之则未必；如f ( z) = Re z = x在“复平面”中处处连续，但却处处不可导3）可导与连续不同，由实部与虚部在某一点连续，可以断定复变函数连续，但是由实部与虚部在某点可导，并不能判断函数可导；e.g f (z) = Re z1.3 微商及解析函数一、微商及微分：Wuhan University记1.3 微商及解析函数一、微商及微分：2. 微分dw = f ′ ( z ) dz[or df = f ′ ( z ) dz ]-微分则)dfdzdwdz(=f ′ ( z ) =-微商w = f ( z )若pn ( z) = a0 + a1 z + a2 z + L an zL LWuhan Universityn2e.g→p′n ( z) = a1 + 2a2 z + L + nan z n −11.3 微商及解析函数一、微商及微分：3. 求导、微分法则：实函中求导、微分法则在此 皆实用。

[ f1 ( z) ± f 2 ( z)]′ = f1′ ( z) ± f 2′ ( z)[ f1 ( z) ⋅￿f 2 ( z)]′ = f1′ ( z) ⋅￿f 2 ( z) + f1 ( z) ⋅￿f 2′ ( z)1.3 微商及解析函数一、微商及微分：4. 可导的必要条件注意: （1） C-R条件只是可导的必要条件，不是充分条件（2） C-R条件的极坐标形式为：1.3 微商及解析函数一、微商及微分：1.3 微商及解析函数一、微商及微分：问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？(2)可否用求导公式判断函数是否存在？1.3 微商及解析函数一、微商及微分：注：由C-R条件可得：f (z) ∈ H(σ)引入记号－表示f (z)在区域σ内解析1.3 微商及解析函数二、解析函数：1. 定义：若w = f(z) 在z0 点及 N(z0 , ε） 可导，则称w = f(z)在z0点解析若w = f(z) 在区域σ内处处可导，则称w = f(z)在区域σ内解析（注： 1）凡说解析都是指在某点或某区域解析（2）函数在某点解析是比在某点可导严格得多的条件，两者并不等价3) f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。

4) f(z)的不解析之点称为奇点5) 解析函数又称为正则函数或全纯函数1.3 微商及解析函数e.g.f ( z) = z, 在z = 0点可导却不解析二、解析函数：证明： f ( z) = e (cos y + i sin y)在复平面2.必要条件：由解析定义和可导必要条件可得：…3.充分条件：由解析定义和可导充分条件可得：…1.3 微商及解析函数二、解析函数：x解析，且f ′ ( z) = f ( z).例若f(z) = u + iv ∈ H (σ )1.3 微商及解析函数二、解析函数：4.解析函数的部分性质= 0 , Δv = 0则 （1） Δu且由C-R连系着（2） ∇u ⋅￿∇v = 0（3） 已知u 或v 均可求出解析函数（4） 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数dy = dx − dy∂v∂xdx −∂v∂ydy =∂u∂ydx +∂u∂xdu =u = ∫ d ( x − y) + c = x − y + c例 已知 v( x, y) = x + y, 求解析函数 f ( z) = u + iv（1）用全微分法（2）用积分微分求1.3 微商及解析函数二、解析函数：1.3 微商及解析函数二、解析函数：∂x∂y5.解析函数的物理解释：以平面静电场为例（也适合于其他标量场）：电势ψ(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程= 0+∂ 2ψ2∂ 2ψ2Δψ =则由解析函数的性质，可由一解析函数f(z) = u + iv来描绘该电场称为复势。

Wuhan University1.3 微商及解析函数二、解析函数：解析函数图例1.3 微商及解析函数1.3 微商及解析函数1.3 微商及解析函数f ′ ( z ) = lim{小结一、微商及微分：ΔfΔz → 0 Δz1、微商：2、微分：dw = f ′ ( z)dz∂ v∂ y∂ u∂ y== −∂ u∂ x∂ v∂ x3、 求导、微分法则：4. 可导的必要条件5.可导的充分条件：￿C-R条件1.3 微商及解析函数小结￿1.3 微商及解析函数小结二、解析函数：1. 定义：2.必要条件：3.充分条件：4、解析函数的部分性质若 f(z) = u + iv ∈ H(σ)则 （1） Δu = 0 , Δv = 0 且由C-R连系着（2） ∇u ⋅￿∇v = 0（3） 已知U（或V）均可求出解析函数1.3 微商及解析函数本节作业习题1.3：2(2);4(3);1.3 微商及解析函数。