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第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.1 计量误差计量误差3.2 数据处理数据处理习习 题题 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.1 计量误差计量误差 3.1.1 计量误差的定义计量误差是计量结果与被计量的量的真值之间的差异在第2章已经讲过, 量的真值是指某量在所处的条件下被完善地确定或严格定义的量值因此量的真值是一个理想的概念,一般是未知的虽然基本单位量的真值可以按定义给出,但是复现起来还是含有误差实际上,真值常用实际值——用高一等级的计量标准器具所计量的量值或一列计量结果的平均值来代替当测量结果仅含有随机误差时,测量结果算术平均值（数学期望）是被测量真值的最佳估计值 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.1.2 计量误差的表示方法计量误差有四种表示方法1.  绝对误差对某一量进行计量以后,用被计量的量的计量结果x减去其真值x0而得到的差值,称为绝对误差（也简称误差）Δx即 Δx=x-x0                         （3.1.1）【例3.1.1】 真值为6.42 μAμA,μA的绝对误差为6.34-6.42=-0.08  μA 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 由于真值一般无法求得,因此Δx=x-x0 这个式子只有理论上的意义,经常用上一级标准仪器的示值作为实际值代替真值,由于上一级标准也存在误差,只是小一些,因此,实际值并不等于真值。

但一般来说,实际值总比计量值更接近于真值2. 相对误差相对误差是绝对误差与被计量的量的真值之比相对误差通常以百分数表示,因此相对误差可以表示为第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理【例3.1.2】 用一个频率计测量准确值为100kHz的频率源,测得值为101kHz,则其绝对误差为     Δx=101-100=1kHz相对误差为【例3.1.3】 用波长表测量准确值为1MHz的标准频率源,测得值为1.001 MHz,则其绝对误差为   Δx=1.001-1=0.001MHz=1 kHz第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 相对误差为  从上面两个例子可以看出,两次测量的绝对误差相同,但其相对误差不同,第一个相对误差大,第二个相对误差小相对误差越小,测量的准确度越高3. 分贝误差在日常生活和工作中离不开自然计数法,但是在一些自然科学和工程计算领域,对物理量的描述往往采用对数计数法,比如对声学和电学中的物理量第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理从本质上讲,在这些场合用对数形式描述物理量是因为它们符合人的心理感受特征在一定的刺激范围内,当物理刺激量呈指数变化时,人们的心理感受是呈线性变化的,人的感受器官好像是一个对数转换装置一样,这就是心理学上的韦伯定律和费希纳定律。

 分贝误差是相对误差的另一种表现形式,在电学和声学计量中,常用分贝误差表示相对误差先看一下分贝的定义： 对于电压、电流类参量D=20lgx dB式中,x=U2/U1或x=I2/I1,U1、U2为电压,I1、I2为电流 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理对于功率类参量       D=10lgx dB式中,x=P2/P1,P1，P2为功率若x有误差Δx,则分贝也有一相应误差ΔD,即      D+ΔD=20lg (x+Δx) dB 或        D+ΔD=10 lg (x+Δx) dB所以分贝误差为:对于电压、电流类参量       ΔD=20 lg (1+δx) dB  对于功率类参量             ΔD=10 lg (1+δx) dB 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理由分贝误差计算相对误差的公式为： 当误差本身不大时,分贝误差与一般的相对误差之间有简单的计算关系： 对于电压、电流类参量ΔDδxδx≈ΔD                     ΔDδxδx≈ΔD 对于功率类参量第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理以上两组式子仅表明分贝误差与相对误差之间数值上的换算关系,使用时还要注意各个量的单位。

例3.1.4】 一电压用某电压表测得为125V,用标准表测得为127V,求分贝误差   解   先求出绝对误差为Δx=125-127=-2 V再求出相对误差为 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理则分贝误差为        在实际工作中,常用dB来表示信号电平,用dBm来表示功率电平为此,必须确定一个基础电平,也就是所谓的零电平在电学领域中,零电平一般定义为：在600Ω的纯电阻上耗散1mW的功率,电阻上的电压和流过的电流分别为第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理作为基准值的1 mWmA分别称为零电平功率、零电平电压和零电平电流（我国不采用电流电平测量基准）于是,用dB来表示信号电平的公式为用dBm来表示功率电平的公式为                                                                     (3.1.3)(3.1.2)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理dBm表示以1 mW为基准的功率电平的分贝值,在微波和通讯领域广泛应用    我国现在使用的测量仪器,有以1 mW为零电平刻度的功率电平表,也有以0.7746 V电压为零电平刻度的电压电平表,在使用这些测量仪器时,要注意这一点。

   另外,也有取1 μ为零电平的（例如测量接收机）,在这种情况下,应予以注明 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理4. 引用误差引用误差是一种简化的实用且方便的相对误差,在多挡和连续刻度的仪器仪表中广泛应用,这类仪器仪表可测范围不是一个点而是一个量程,各刻度点的示值和其对应的真值都不一样,因此,计算相对误差时所用的分母也不一样,所以计算很麻烦为了计算和划分准确度等级方便,规定一律取该仪器仪表的特定值作分母,由此可以定义引用误差： 引用误差是计量仪器的示值的绝对误差与仪器的特定值之比，通常也用百分数表示即 (3.1.4)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 式中,xlim称为特定值,也称为引用值,通常是计量仪器量程中的满刻度值（最大刻度值）或标称范围的上限例3.1.5】检定2.5级、上限为100 V的电压表时,发现50 V   刻度点的最大示值误差为2 V,并且比其他各刻度点的误差都大,问该电压表是否合格？解   该电压表的最大引用误差为        级的含义是合格仪器仪表最大引用误差的界限为2.5％,可见,该电压表合格  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理电 工 仪 表 的 准 确 度 等 级 分 别 为0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级,这些等级表明仪表的引用误差不能超过的界限。

一般来说,如果仪表为S级,则仅说明合格仪表的最大引用误差不会超过的S％,而不能认为它在各刻度点上的示值误差都具有S％的准确度设仪表的满刻度值为xn,测量点为x,则该仪表在x点邻近处的示值误差应为：         绝对误差≤xn×S%相对误差≤        ×S% 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理一般情况下,x≠xn,因此, x越接近于xn（因为x在分母上）,其测量准确度越高；x越远离xn, 其测量准确度越低；这就是为什么人们利用这类仪表测量时,尽可能在仪表满刻度值2/3以上量程内测量的原因所在在选择仪表作测量时,要注意到这一情况在分析此类仪表对测量值的实际影响时,需要按上面两个式子作换算,而不能直接采用对应于仪表的准确度等级的值,也就是说不能把引用误差当作相对误差来使用【例3.1.6】 某待测的电压约为100 V,现有0.5级0～300Ｖ和1.0级0～100 V两个电压表,问用哪一个电压表测量比较好？解  用0.5级0～300 V测量100 V时的最大相对误差为 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理而用1.0级0～100 V测量100 V时的最大相对误差为因此,选择级0～100 V电压表比较好。

这个例子说明,如果量程选择恰当,用1.0级仪表进行测量比用0.5级仪表准确  因此,在选择仪表时,不能单纯地认为准确度等级越高越好,而应根据被测量的大小,兼顾仪表的级别和测量上限合理地选择仪表  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.1.3 计量误差的分类 根据误差的性质,计量误差可以分为三类： 系统误差,随机误差和粗大误差下面分别介绍这三类误差1．系统误差在分析和研究测量误差时,必须把系统误差排除才能按随机误差理论对测量误差进行处理实际上,测量过程中往往存在系统误差在某些情况下,系统误差数值还比较大,因此,测量结果的精度,不仅取决于随机误差,还取决于系统误差的影响第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理由于系统误差和随机误差同时存在于测量数据之中,且不易被发现,多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响,这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性因此,研究系统误差的特征与规律性,用一定的方法减小或消除系统误差,就显得十分重要,否则,对随机误差的严格数学处理将失去意义,或者收效甚微1） 系统误差的定义在相同条件下,多次重复计量同一个量时,保持固定不变的误差,或者在条件改变时,按某一确定规律变化的计量误差的分量叫系统误差。

系统误差决定计量结果的“正确”程度许多系统误差可以通过实验确定（或根据实验方法、手段的特性估计出来）并加以修正第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理但有时由于对某些系统误差的认识不足或没有相应的手段予以充分确定,而不能修正,这种系统误差称为未定或剩余系统误差,也称为未消除的系统误差前面已经提到,系统误差与计量次数无关,因此,也不能用增加计量次数的方法使其减小或消除 2） 系统误差的分类系统误差按其呈现的特征可以分为常值系统误差和变值系统误差；而变值系统误差又可分为累积的、周期的和按复杂规律变化的系统误差常值系统误差是指在计量过程中绝对值和正负号始终不变的误差比如：某量块的标称尺寸为10 mm,实际尺寸为10.001 mm,误差为-0.001 mm,若按标称尺寸使用,则始终存在-0.001 mm的系统误差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理累积系统误差是指在计量过程中按一定速率逐渐增大或减小的误差例如,由于蓄电池或电池组（在正常工作区间）的电压缓慢而均匀的变化所产生的线性系统误差再比如刻度值为1mm的标准刻度尺,由于存在刻划误差Δl,每一刻度间实际距离为 (1+Δl) mm，用该尺测量一长度为l的物体,读数为n,则l的实际值为 l=n(1+Δl)=(n+nΔl) mm          (3.1.5)若认为该物体长度为nmm,就产生了随测量值大小而变化的线性系统误差-nΔl mm。

  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理周期性系统误差是指在计量过程中周期性变化的误差例如,由于刻度盘偏心所引起的误差指针式仪表中,由于安装问题,使指针动中心偏离仪表刻度盘的中心,就会出现周期性变化的指示误差如图3.1.1所示,指针的转动中心O沿水平方向偏移刻度盘中心O′的距离为l,则指针与水平线的夹角φ为90°,指示超前值为l所表示的刻度值,当φ为0°及180°时,指示误差为0,当φ为270°时,指示滞后值为l所代表的刻度值对于任意φ,图上两平行线间的弧线的长度就对应了指针的指示误差因为l很小,可以用两平行线间的直线距离代替弧长,因此可以得到,指针的指示误差Δl与夹角φ呈正弦规律变化,即Δl=l sinφ         (3.1.6)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理所以指针的指示值沿刻度标尺产生正弦函数关系的周期性变化系统误差按复杂规律变化的系统误差是指在计量过程中按复杂规律变化的误差,一般可用曲线或公式表示例如,晶体振荡器频率的长期漂移近似服从对数规律,若不考虑这种漂移,就会带来按对数规律变化的系统误差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图3.1.1 刻度盘误差示意图第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理  3）系统误差的产生  (1) 装置误差： 计量装置本身的结构、工艺、调整以及磨损、老化或故障等所引起的误差。

        (2) 环境误差：由于各种环境因素与要求的标准状态不一致及其在空间上的梯度与随时间的变化引起的测量装置和被测量本身的变化,机构失灵,相互位置改变等引起的误差这些因素和温度、湿度、气压、电磁屏蔽、震动（大地微震、冲击、碰动等）、照明、加速度、电磁场、野外工作时的风效应、阳光照射、透明度、空气含尘量等都有关科学实验中,静态分析和动态使用时的差异,是值得特别注意的误差源第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(3) 方法或理论误差：计量方法或理论不完善引起的误差4) 人员误差: 计量人员生理差异和技术不熟练引起的误差4） 系统误差的消除根据前面所讲的产生系统误差的种种原因,可以得出一些消除系统误差的基本方法(1) 计量前消除可消除的误差源    这种消除系统误差的方法是最理想的,也就是在目前的技术条件下,找出造成系统误差的原因,并想办法消除造成系统误差的因素对测量的影响,从而使测量不会产生系统误差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理更概括地讲,就是从参与测量的4个环节——进行测量的操作人员、所用测量设备、采用的测量方法和进行测量的条件入手,分别对它们进行仔细研究,深入分析,从而找出产生系统误差的原因,并设法消除这些系统误差。

  (2) 计量过程中采用适当的实验方法,如替代法、反向补偿法、对称法等,将系统误差消除① 替代法：用与被计量对象处于相同条件下的已知量来替代被计量量这种方法就是用测量仪器对一未知物理量进行测量时,为了消除系统误差,在测量后再用一已知标准量进行同样的测量,并使仪器的指示保持不变,则已知标准量就是待测未知物理量      第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理具体做法是: 先将被计量量接入测试装置,使系统误差处于某个工作状态,然后用已知量替代被计量量,并使系统的工作状态保持不变替代法最直观的例子就是利用精密天平称重在电子计量中也大量采用替代法,例如，用电桥计量电阻、电感和电容等,以及用直流替代交流的方法高精度地计量高频电压在替代法的使用中,原有的测量系统在同一工作状态下起到了判断被测量和已知量是否等量值的作用,而被测数据的取得或者来自已知量的自身显示,或者要依靠其他辅助仪表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理·替代法的应用之一——沃尔德称重法 设待测重量为x,当天平达到平衡时所加砝码重量为Q,天平的两臂长度分别为l1和l2根据力矩平衡原理,当天平达到平衡时有一般用天平称重时,我们认为l1=l2,所以有           x=Q                                  （3.1.8） （3.1.7） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 对于一般的称重,这样做就可以了。

实际在制造天平时,很难保证天平的两臂长度相等,即l1≠l2,所以对于精密的称重测量,还像般天平称重那样,认为所加砝码重即为物重,这样就会因天平臂长不等而造成系统误差 为了消除因天平臂长不等而产生的系统误差,可用已知标准砝码P代替x,若天平仍达到平衡,则（3.1.9） （3.1.10） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 这种消除系统误差的方法,最早就是应用在称重上,故称沃尔德称重法·替代法的应用之二——用电桥测量电阻电路如图3.1.2所示电桥的两测量端口AB接入被测电阻Rx时,调节可调电阻R1和R2的值,使电桥平衡电桥平衡时,检流计G指示为零,此时的等效电路如图3.1.3所示由UB=UC,可得 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图 3.1.2 直流电桥法 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 图3.1.3 等效电路第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 R1(Rx+R3)=Rx (R1+R2)R1Rx+R1R3=RxR1+RxR2R1 R3=RxR2由式（3.1.11）可以看出,各桥臂电阻的误差ΔR1、ΔR2、ΔR3对测量结果有影响,其误差为 （3.1.11）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 如果采用替代法,则可以避免这种影响。

在接入被测电阻Rx并调节平衡后， 保持各可调元件不动,然后换上标准可调电阻Rs,并调节其大小,使电桥又恢复平衡,于是可得到Rx=Rs此时,测量的精度仅取决于Rs,而与检流计G、R1、R2、R3的误差无关,只要指示器有足够高的灵敏度和各电阻在替代过程中保持稳定不变即可② 反向补偿法： 也称为异号法或抵消法这种方法要求对被测量要进行两次适当的测量,使两次测量结果所产生的系统误差大小相等,方向相反,取两次测量结果的平均值作为最终测量结果,从而达到消除系统误差的目的 （3.1.12）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理例如,用正反向两次计量来消除热电转换器的直流正反向差不少带有惯性（如热惯性）的传感器的定度测量就必须用反向补偿法来处理·反向补偿法的应用之一——消除恒温箱热惯性引入的系统误差 在对某些控温装置的标定中,为了消除热惯性引入的误差,常常要使标准恒温箱的温度升高或降低,并在两种不同温度变化方向的同一温度下读取温度计的读数,以它们的 中 间 值 作 为 读 数 刻 度 的 修 正 ,如 图 3.1.4所 示 ,  以T=(T1+T2)/2作为恒温箱在t1温度下的温度值  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图3.1.4 读数刻度修正示意图第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理·反向补偿法的应用之二——测电阻时,消除接触电动势带来的系统误差。

在电学测量中,为了测量一未知电阻值,可将待测电阻Rx与一已知阻值的标准电阻R0串联,用电压表测出两电阻上通电后的电压降根据所得电压比及标准电阻值,由欧姆定律可得待测电阻为                                                                                 （3.1.13）  在测量回路中,由于导线、接头等材料的差异会产生接触电动势,为了消除它们对测量造成的影响,可以改变电流方向进行两次测量设第一次正向电流测得的电压降为Ux,1、U0,1, 第二次反向电流测得的电压降为Ux,2、U0,2取两次测量的平均值,两个电阻上的电压降为 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（3.1.14） （3.1.15） 则待测电阻为（3.1.16） 这样就消除了因接触电动势的存在对测量所造成的影响第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理   ③ 对称法： 当被计量量的系统误差为某量（如时间）的线性函数时,在距离相等的间隔依次进行数次计量（最少三次）,则其中任何一对对称观测值的累积误差的平均值都等于两次观测的间隔中点相对应的累积误差,利用这一对称性便可将线性累积系统误差消除,如图3.1.5所示,则·对称法的应用——用电位差计测电压。

利用对称法来消除由于电池组的电压下降而在直流电位差计中引起的累积系统误差实践证明,在一定的时间内,电池组的电压下降所产生的误差是与时间成正比的线性系统误差，因此,可以利用对称法来消除这个误差原理线路如图3.1.6所示（3.1.17） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图3.1.5 对称法 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 图3.1.6 电位差计第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理首先在Rn上平衡标准电压En由于电池组的电压下降,使工作电流I减小,因此有然后在Rx上平衡被计量电压Ex,有（3.1.18） （3.1.19） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理再次平衡En,有如果使每次计量的时间间隔相等,则                                                                                 （3.1.21）由式（3.1.19）得(3.1.20)（3.1.22）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理将式（3.1.22）分别代入式（3.1.18）和式（3.1.20）,得式（3.1.23）与式（3.1.24）相加,得（3.1.23）（3.1.24）（3.1.25）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理再将式（3.1.21）代入式（3.1.25）,得  由此可得出不含累积系统误差的被测电压Ex的值： ④ 交换法： 也称为对置法, 在待测量与标准量的位置互换前后各进行一次测量,就可以实现消除恒定系统误差的目的。

   （3.1.26） （3.1.27） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理·交换法的应用——高斯称量法     交换法应用最典型的例子是用于消除天平不等臂问题引起的恒定系统误差在两臂为l1和l2的天平上称重,先将待测量x放在天平左侧,标准砝码Q放在天平右侧,达到平衡,则有然后交换x和Q的位置,由于l１≠l2,将Q换为Q′后才能与x平衡,这时有（3.1.28）（3.1.29）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理两式相比得这样就消除了由于天平不等臂而造成的系统误差    这种方法最早在天平称重中应用,因此称高斯称量法根据式（3.1.31）可以得到不带有因天平臂长不等而产生的恒定系统误差的测量结果用C表示Q′与Q之差,即Q′=Q+C       （3.1.32）（3.1.30）即 （3.1.31）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理代入式（3.1.31）,得 根据近似公式因C值很小,高次项可忽略,将C/Q看成是a,则（3.1.33） （3.1.34） （3.1.35） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理即待测值可近似地用两次测量值的平均值来表示。

将式（3.1.28）与式（3.1.29）相乘,得(3.1.36)则 (3.1.37)        式（3.1.37）就是通过交换法测量,计算天平两臂长度比的计算公式,可作为单次测量对臂长不等进行修正的修正值计算公式 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理⑤ 抵消法： 也可以将抵消法认为是一种替代法这种方法是用待测量去抵消一部分已知量,以达到消除系统误差,提高测量精度的目的·抵消法的应用——测量高频小电容利用谐振原理,用抵消法测量高频小电容,原理图如图3.1.7所示设信号源工作频率为ω0,若电感与电容构成的振荡器的谐振频率也为ω0,就会使整个回路产生谐振,电压表的指示为最大  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理在具体实现这个测量回路时,因标准可变电感难于制造,因此用标准线圈产生固定电感Lb,用标准可变电容Cb进行调谐将被测电容与Cb并联,则回路谐振时有由此可得到 （3.1.38） （3.1.39） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 在高频情况下,电感线圈自身会产生分布电容Ｃ0,相当于和Cb并联的电容则式 (3.1.39) 应该改写为即求得的待测电容,实际上是Cx与C0的和。

因此若不考虑C0的存在,就会在测量电容Cx时带来系统误差为了消除C0对测量造成的影响,就可以采用抵消法在测量之前（先不接Cx ）,先用标准可变电容Cb调谐,使回路产生谐振,电压表的指示为最大,这时回路中的谐振电容值为Cb1+C0然后把待测电容Cx与Cb并联,回路失谐,电压表的指示减小 （3.1.40） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理再用Cb进行调谐,减小Cb值,使回路重新谐振,电压表的指示又达到最大,此时,标准可变电容Cb的读数为Cb2,回路中的谐振电感量为Cb2 +C0+Cx由于两次谐振都是与固定电感Lb耦合产生的,所以回路中的电容量相等,即 Cb1+C0=Cb2+C0+Cx                    （3.1.41）从而Cx=Cb1-Cb2                          （3.1.42）因此,待测电容Cx在频率为ω0条件下的电容量,可由两次谐振时标准可变电容Cb的读数之差来求得此时,回路中的寄生电容C0在用抵消法测量时不会产生影响,即消除了因C0存在而产生的系统误差 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理⑥ 半周期法： 也称为半周期观察法或半周期偶数观察法,是消除按周期性规律变化的系统误差的方法。

具体做法是: 按系统误差变化的半个周期取值,每个周期内能取到两个测得值,取这两个测得值的平均值作为测量结果对比较规则的周期性变化的系统误差,可以表示为 式中: a为系统误差的幅值,也是系统误差的最大值； T为系统误差的变化周期；t为决定周期性误差的量,比如时间、仪表可动部分的转角等（3.1.43）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理当t=t0时,系统误差值为若创造条件经过τ=T/2,使误差的相位相差半个周期,即t=t0+τ=t0+T/2时，误差值为  （3.1.44）  （3.1.45） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理若取两次测量的平均值作为测量结果,则系统误差也应取平均值,即 （3.1.46）         所以,用平均值作为测量结果,即可消除周期性变化的系统误差对测量结果带来的影响       ·半周期法的应用——秒表指针偏心问题       若秒表指针转动中心与度盘刻度中心不重合,如图3.1.8所示,转动中心沿水平方向向右偏移的距离为a,则系统误差 Δt=asinφ         （3.1.47）  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理为了创造误差反号的条件,可把刻度值旋转180°标注在原刻度的外测,取指针的实际指示值（如图 3.1.8 中为0＋a）,再取反向延长线对旋转刻度（即外测刻度）的指示（如图3.1.8中为0－a）。

把两个值的算术平均值（0）作为测量结果,则消除了指针旋转中心与刻度中心不重合所造成的周期性系统误差(3) 用修正的方法消除系统误差通过适当的计算,根据事先针对系统误差产生根源的实验数据,用计算或软件的方法对计量结果引入可能的修正量,来改善测量精度在通过实验或其他方法已经知道系统误差的规律特征的情况下,将直接计量结果进行计算或修正处理,从而相对地消除系统误差 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理典型的例子是: 当把一个未经温度补偿的晶体振荡器用作频率计的频标时,如果该振荡器的频率随温度变化的误差已知,就可以在测量结果的计算公式中根据温度传感器获得的温度值,对计量结果进行修正来保证测量精度这个工作过程经软件处理后,在相对简单的硬件结构下能够保证较高的精度由于计算机技术的发展,这种方法获得了广泛的应用这方面的成功例子是：频率计硬件结构的简化和其精度的提高在通常的多周期同步测量技术设计的频率计中,对被测频率的计算公式是第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理其中,f0是所用频标的频率值在通常的频率计中,用高稳定度晶体振荡器作为频标,它的值是固定的Nx, N0分别是用计数器在与被测信号同步的闸门时间内测得的对被测信号和标频信号的计数值。

当用普通的晶体振荡器取代高稳定度晶体振荡器作为频率计频标时,会存在明显的系统误差,即频率随温度变化通过实验获得该振荡器的频率对温度的修正数据后,可以实时地根据温度变化用软件的方法修改公式中f0的数值,来消除这个系统误差,同时保证了高的测量精度 (3.1.48)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(4) 采用不同人员或其他处理手段重复计量来消除人员误差,或者通过自动测试和智能化处理消除人员误差 2. 随机误差随机误差是在测量过程中,因存在许多随机因素对测量结果造成干扰,而使测得值带有大小和方向都难于预测的测量误差,这种随机误差是误差理论研究的主要对象对测量数据中的系统误差进行处理后,仍会残留微小的系统误差,这些微小的系统误差已具有随机误差的性质,因而也可把这种残存的系统误差当作随机误差来考虑第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理研究随机误差不仅是为了能对测量结果中的随机误差作出科学的评定,而且是为了让它们能够指导我们合理地安排测量方案,设法减小随机误差对测量结果的影响,充分发挥现有仪表的测量精度，从而对测量所得数据进行正确处理，使进行的测量达到预期的目的。

1） 随机误差的定义在相同条件下,多次重复计量同一个量时,以不可预定的方式变化的计量误差的分量称为随机误差,也称为偶然误差随机误差决定了计量结果的“精密”程度第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理随机误差是由尚未被认识和控制的规律或因素所导致的也就是说,随机误差的出现具有随机的性质,因此不能修正,也不能完全消除,只能根据其本身存在的规律,用增加计量次数的方法,加以减小和限制要想得出正确的评定,必须经过多次重复测量得到测量列,发现它所遵循的统计规律,借助概率论和数理统计学的原理来进行研究2） 研究随机误差的理论基础       随机误差虽然不具有确定的规律性,但随机误差却遵从统计规律,因此概率论和数理统计学是研究随机误差的理论基础第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3） 误差正态分布定律由于测量结果具有随机性,使得测量误差成为一个随机变量根据概率论中心极限定理，可以认为大多数随机误差服从正态分布,而且已被大量实践所证明整个经典误差理论是以正态分布作为基础理论发展起来的正态分布也是研究其他非正态分布的基础  数学家高斯于1795年首先提出了误差正态分布定律。

正态分布的规律早在1733年已由穆阿夫尔发现,后来拉普拉斯和高斯又进行了详细的研究高斯又于1809年推导出描述随机误差统计规律的解析方程式,即概率密度函数,也称为高斯分布定律    第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理设 对 某 量 X进 行 n次 等 精 度 独 立 测 量 ,观 测 值 为xi,i=1，2，…，n,当n→∞时,测得值将服从正态分布,其概率密度函数为 式中,μ为测量列的平均值,σ为标准差测量列服从正态分布规律的前提是测量次数n为无穷大,也就是要把随机误差看成是连续型随机变量,而且还要求系统误差已经完全排除,这些条件在实际测量中是不可能实现的,因此,就决定了正态分布规律在应用时有一定的局限性和近似性 （3.1.49） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理对于这种理论和实验难于统一论证的矛盾,著名物理学家李普曼说了这样一句话： “大家都相信误差定律,因为实验家想,这是数学定律； 而数学家则认为,这是通过实验确定出来的定律4） 随机误差的基本性质    大多数的随机误差的观测结果是服从正态分布的,服从正态分布的随机误差具有下列基本性质:(1) 有界性： 在一定的条件下,绝对值很大的误差出现的概率为零,随机误差的绝对值不会超过某一界限。

(2) 对称性： 当计量次数足够多时,绝对值相等的正、负误差出现的概率相同,即P(+Δ)=P.50） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(3) 抵偿性： 当计量次数无限增加时,误差的算术平均值的极限为零,即                                                                      （3.1.51） (4) 单峰性： 在一系列等精度计量中,绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率,也就是说,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多  需要说明的是: 上述的随机误差的性质是大量实验的统计结果, 其中的单峰性不一定对所有的随机误差都存在随机误差的主要性质是抵偿性 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理5） 随机误差的表示方式随机误差的表示方式有以下几种：(1) 剩余误差（ν）： 把有限n次测量所得测得值的算术平均值作真值求得的绝对误差,称剩余误差,简称残差            （3.1.52）式中：νi为第i个测得值的残差；xi为第i次测量得到的测得值,i=1，2，…,n；     为n次测得值的算术平均值。

因为剩余误差νi可以用测得值算出,所以在误差计算中经常使用 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(2) 最大绝对误差（U）： 因为通过测量不能得到真实值,所以严格地讲,也就无法求得绝对误差（真差）若能找到一个界限值U,并能做出判断： U≥|x-x0|                         （3.1.53）即               U=sup|Δx|                       （3.1.54）则称U为最大绝对误差(其中, sup表示测得值x的绝对误差Δx的绝对值不超过U)因为在实用中很少用绝对误差Δx,所以习惯上都把最大绝对误差U简称为最大误差  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理界限值U的确定不能凭空想或任意决定,而要有一定的依据例如,在用数学常数π进行计算时,若取3.14进行计算,则由π值引起的绝对误差为Δx=3.14-π取绝对值后有|Δx|=|3.14-π|=0.001 59 … <0.0016=U因此最大绝对误差为U=0.0016(3) 标准偏差(σ)：  对一固定量进行n次测量,各次测量绝对误差平方的算术平均值,再开方所得的数值,即为标准偏差,也称为标准差。

根据其数学运算关系也称均方根差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理标准偏差是每个计量值的函数,对一组计量值中的大、小误差反映都比较灵敏,是表示计量精度的比较好的方式标准差所表征的是一个被计量量的n次计量所得结果的分散性,因此称为计量列中单次计量的标准差其几何意义是正态分布曲线上的拐点的横坐标通过查正态积分表可知,测得值的误差不超过±σ的概率为68％  式(3.1.55)给出的只是标准偏差的理论计算公式,在实际工作中,如何根据理论上的定义来求得标准偏差,在后面将作较为详细的介绍 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(4) 算术平均误差（θ）： 也称为平均误差在对一固定量进行精密测量时,需要经过多次测量才能满足要求,为了表示这种多次测量的测量误差,可以用算术平均误差θ来表示算术平均误差是多次测量全部随机误差绝对值的算术平均值, 可以表示为 （3.1.56） 其中,δi=xi-x0 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理从理论上可以证明         ,  因为n→∞,误差间具有相互抵偿性,所以用误差的绝对值求平均,才能得到表征误差的数值。

标准差与算术平均误差的关系推导如下：     根据概率论的知识,θ实际上就是|δ1|, |δ2|, …, |δn| 在n→∞时的数学期望对于连续的随机变量,则有 因为正态分布曲线是左右两边对称的,而且对于右半部分,随机误差的绝对值与随机误差本身的数值相等,即|δ|=δ  δ≥0                         （3.1.58）  （3.1.57） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理因此,上述积分只需对右半部分进行计算,而将结果乘以2,同时以δ代替|δ|,得（3.1.59）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理所以             θ=0.7979σ≈                                              （3.1.60） 算术平均误差的几何意义是: 正态分布曲线左半或右半面积重心的横坐标通过查正态分布积分表可知,测得值的误差不超出±θ的置信概率为57.62％算术平均误差这种误差形式的缺点是无法体现各次计量值之间的离散情况因为不管离散大小,都可能有相同的平均误差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(5) 或然误差（ρ）： 又称概差,是根据误差出现的概率来定义的。

在一组测量中,若不计误差的正负号,则误差大于ρ的测得值与误差小于ρ的测得值将各占一半,ρ便称为或然误差如果考虑测量误差的正负号,或然误差ρ同样可以把带有正误差的测得值及带有负误差的测得值,按测量误差大小被+ρ和-ρ等分,即（3.1.61） （3.1.62）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理根据定义,可以得出或然误差的求解方法： 将一组n个计量值的残差分别取绝对值按大小依次排列,如果n为奇数,则取中间的计量值,如果n为偶数,则取最靠近中间的两个数的平均值作为或然误差,因此或然误差又称为中值误差标准差与或然误差的关系推导如下：     根据或然误差的定义,有（3.1.63） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理由于正态分布具有对称性,因此（3.1.64）则 （3.1.65） 查正态分布积分表,可得（3.1.66）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理  根据或然误差的定义,或然误差的几何意义是在-ρ～+ρ范围内,正态分布曲线与横坐标所组成的面积为总面积的一半因此,与或然误差±ρ相应的置信概率为50％在自然科学的不少领域的科学研究中,用或然误差来表示随机误差也比较普遍,这主要是因为它的置信概率的数值比较圆整、直观。

 （3.1.67）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(6) 极限误差（δlim）: 一般在精密测量中,对于服从正态分布的随机误差常用三倍标准误差作为极限误差,记为                  δlim=3σ                （3.1.68）  从理论上讲,当测量次数无穷多时,若测得值服从正态分布,则测得值的误差小于极限误差的概率为99.73％,即测量误差只有3/1000能超过极限误差  严格地讲,最大绝对误差U应当与极限误差δlim有所区别,因为最大绝对误差的定义符号sup是绝对不会超过的意思,而极限误差δlim的3σ定义说明测量误差还有可能超过δlim,只是概率很小第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(7) 极差（R）: 一系列计量所得值中的最大值与最小值之差的绝对值称为极差记作R=|xmax-xmin|（3.1.69）      显然,极差只用到了两个数据,大多数的中间信息没有利用,而且没有反映计量次数的影响,体现不了误差的随机性及其概率    评价一个测量列的精度高低,可以用极限误差δlim、标准偏差σ、算术平均误差θ和或然误差ρ等参数作为置信限,因此称这些参数为测量列精度参数。

对同一测量列若按大小数值（取相同计量单位）进行排列,则有第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理δlim>σ>θ>ρ             （3.1.70）相应的置信概率为99.73%>68%>57.62%>50%（3.1.71）  对于不同测量列,比较其精度时,应取相同置信概率所对应的精度参数（例如取标准偏差）进行比较,数值大的精度低,数值小的精度高6） 标准偏差的计算下面介绍几种根据测量数据计算标准偏差的方法用                                    表示标准偏差σ的估计值第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(1) 计算      的极差法:                                                                         （3.1.72）其中,d为转换因子,它随测量次数不同而异这种估计方法因为有现成数据表(见表3.1.1)可查,因此十分简单第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理表3.1.1 极差系数表第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理极差法主要适用于测量次数较少的情况,因为它只利用了一组数据中的两个数据,估计的效率随测量次数的增加而减少。

所以,当n>10时,为了提高用极差估计标准偏差的精度，应该采用分组处理方法将观测数据分成几个数据个数相等的组（如将n个数据分成k组,每组有m个数据(n=km)）,求出各组极差Ri,然后用平均极差                来估计标准偏差      的估计公式为  （3.1.73） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(2) 标准偏差的极大似然估计已知σ２的极大似然估计为根据极大似然法的性质                    ,标准偏差σ的极大似然估计为（3.1.74） （3.1.75） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理标准偏差的极大似然估计是有偏估计3) 用贝塞尔公式计算根据概率论,已知样本方差为若用样本的标准偏差Sσ作为标准偏差σ的估计,则有（3.1.76）（3.1.77）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理  这就是著名的且非常具有实用价值的贝塞尔（Bessel）公式,计算标准偏差时常用的公式  尽管样本方差    是标准偏差平方σ2的无偏估计,即E(      )=σ2,但是样本的标准偏差Sσ不是标准偏差σ的无偏估计,因为E(Sσ)≠σ。

(4) 标准偏差σ的无偏估计标准偏差σ的无偏估计是（3.1.78）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理令 则（3.1.79）       根据贝塞尔公式求得的   ,乘以修正系数kσ,即可对其有偏性进行修正          7） 算术平均值的标准差       和标准差的标准差σσ         (1) 算术平均值的标准差σ         在多次测量的测量列中,是以算术平均值作为测量结果的,因此必须进一步研究算术平均值精度的评定标准 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理如果在相同条件下对同一量值作多组重复的等精度测量,则每组测量列都有一个算术平均值由于随机误差的存在,各个测量列的算术平均值也不相同,它们围绕着被测量的真值有一定的分散性这种分散性说明了算术平均值的不可靠性,而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数,可以作为算术平均值精度的评定标准已知算术平均值      为 （3.1.80） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理测量列的各个测得值是服从相同正态分布的随机变量,因此随机变量      的分布就是n个正态分布的合成。

根据概率论原理可知,正态分布和的分布仍为正态分布,且其方差为各正态分布的方差和对式（3.1.80）取方差,有且D(x1)=D(x2)=…=D(xn)=σ2因此 （3.1.81） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理即根据以上分析,可以得出两点结论： · 在n次测量的等精度测量列中,算术平均值的标准差为单次测量标准差的          倍测量次数越大,算术平均值越接近被测量的真值,测量精度也越高 ·n次重复测量的算术平均值    服从以真值为中心, 以σ2/n为方差的正态分布,因此算术平均值   的分布范围是单次测量测得值xi的分布范围的        ,即其测量精度提高了        倍（如图所示） （3.1.83） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理计量平均值的标准差     与计量次数n之间的关系曲线如图3.1.10所示由图可见,平均值标准差  随计量次数n的增加而减小,并且开始较快,逐渐变慢,当n等于5时,曲线变化已比较缓慢,当n大于10的时候,变化得更慢所以一般计量中,计量次数n等于10或12就足够了同时也说明, 要提高测量结果     的精密度,不能单靠无限地增加计量次数,而应在增加计量次数的同时,减小标准偏差σ,也就是说要改善计量方法,采用精度较高的仪器。

 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图 3.1.9               和x的分布曲线        第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图 3.1.10          与n的关系曲线第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(2) 标准差的标准差σσ当测量次数n有限,并用贝赛尔公式对标准偏差进行估计时,其估计量      本身也是一个随机变量因此,对于估计量       同样也存在一个估计的精度我们同样可以用估计量      的标准偏差σσ来表征估计量    的精密度, 即  或者（3.1.84） （3.1.85） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 当n=8时, 当n=100时,         由上述计算可以得出两个结论：        ·当n较大时,所求出的标准差比n较小时求出的更可靠这是因为n大,σσ小,说明估计值    密集在标准偏差周围的比较多        ·总的来说,估计值      并不精密,因此,用贝赛尔公式求出的标准偏差的有效数字最多取两位,如果其首位为8或9,有效数字取1位即可 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3．粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

出现这类误差的原因主要是工作人员的失误、计量仪器设备的故障以及影响量超出规定的范围等对于粗大误差必须随时或在进行数据处理时予以判别并将相应的数据剔除    粗大误差在3.2节的数据处理部分将作详细的介绍3.1.4 间接测量的误差在很多情况下,由于被测对象的特点,进行直接测量会有困难,或者难以保证被测量的精度,因此需要采用间接测量法例如在测量导线电阻率ρ时,通常是先测量导线的电阻R、导线的长度l和导线的直径d,然后按电阻率的计算公式第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理将电阻率ρ计算出来其中电阻R、导线的长度l和导线的直径d为直接测量量,电阻率ρ为间接测量量  由此可见,间接测量就是根据一些直接测量的结果按一定的关系式去求得被测量的量,因此间接测量量是直接测量量的函数通常用来表示间接测量量y与n个直接测量量x1，x2,…, xn 的关系 （3.1.86） （3.1.87） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理1．间接测量的绝对误差令Δxi为xi的误差,Δy为y的误差,则y+Δy=f(x1+Δx1, x2+Δx2, …, xn+Δxn)  （3.1.88）将上式右侧按泰勒（Taylor）级数展开得（3.1.89）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理  略去高次项,就能够得到间接测量的绝对误差:或者对式（3.1.87）取全微分：（3.1. 90）（3.1. 91）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理若已知各个直接测量值的误差为Δxi,由于这些误差值都比较小,可以用各直接测量量xi的误差Δxi来代替dxi,也可得到间接测量的绝对误差:（3.1. 92）      上式也称为函数系统误差传递公式,式中, (i=1, 2, …, n)为误差传递系数。

第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理2． 间接测量的相对误差利用间接测量的绝对误差的计算公式可得间接测量的相对误差：3． 间接测量的标准差标准差是随机误差常用的一种误差表示方法,设y=f(xi)中的xi只含有随机误差,并分别对各直接测量量xi进行m次等精度测量,结果有 （3.1. 93）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（3.1.94） 令Δxik为xik的误差, Δyk为yk的误差,则对于第k次测量有yk+Δyk =f(x1 k+Δx1 k, x2k+Δx2k, …, xnk+Δxnk)    （3.1.95） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理将上式的右侧按泰勒级数展开并略去高次项,可得（3.1.96） 将式（3.1.96）两边取平方,得（3.1.97） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理然后将m次测量结果相加,有将上式各项除以m,得 （3.1.98） （3.1.99） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 根据标准差的定义,有（3.1.100） （3.1.101） 代入式（3.1.99）,得（3.1.102） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 当n足够大时,                 就是随机变量xi和xj的协方差。

写成一般形式,即（3.1.103） 定义误差相关系数为（3.1.104） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理代入式（3.1.102）,有若各测量值的随机误差是相互独立的,且当m足够大时,相关系数ρij应该为零,得到间接测量的标准差计算公式:（3.1.105） （3.1.106） （3.1.107） 即       上式也称为函数随机误差传递公式同样, f/xi也称为误差传递系数 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理【例3.1.7】 测得两孔中心距坐标尺寸为  计算中心距z 解 中心距z可以表示为                    因为 所以 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.1.5 计量误差的合成 在实际计量测试中,对一个被计量量来说,往往可能有许多因素引入的若干项误差如何将所有的误差合理地合成起来,一直是人们关注的课题关于已定系统误差的合成,一般不存在什么问题； 而未消除的系统误差和随机误差的合成则往往难以处理,更不易统一但是,对于比较小的未消除的系统误差,一般认可按随机误差考虑合成。

比较常见的计量误差合成方法有以下几种为了简化问题,设各项误差是彼此独立其实,通常的计量误差往往都可以看成是不相关的,也就是相互独立的令e为合成误差,ei为分项误差,n为误差的项数 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理1．代数和法将所有的误差按正负号取代数和:                                                                   （3.1.108）这种方法适用于已定系统误差的合成,也就是说,适用于已经确切掌握了误差的大小和方向的系统误差的合成2． 绝对值和法绝对值和法是将所有误差按绝对值取和,即                                                    （3.1.109）   这种误差合成方法对误差的估计是偏大的,因为绝对值和法完全没有考虑误差间的抵偿性,是最保守的,但也是最稳妥的第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理在分项误差的项数n较大时,误差以同方向叠加的可能性极小,这时应该考虑到误差间的抵偿性,所以一般在n<10时,才使用这种方法。

3．方和根法方和根法是取所有误差的方和根,即这种方法充分考虑了各项误差之间的抵偿作用,对随机性的误差较为合理,也比较简单但是当误差项数较少时,可能与实际偏离较大,合成误差偏低  （3.1.110） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理4． 广义方和根法广义方和根法是将所有误差分别除以相应的置信系数Ki,再取方和根 ,然后乘以总置信系数K,即                                                                                                             （3.1.111）   这种方法考虑了各随机误差的具体分布,具有通用性和合理性但需要事先确定与误差相应的置信系数,往往比较麻烦    上述各种计量误差的合成方法在具体应用时,必须根据各分项误差的性质和大小,酌情而定在总误差合成时,也可以将不同方法混合使用 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.1.6 微小误差准则在误差合成中,有时误差项比较多,同时它们的性质和分布又不尽相同,估算起来相当烦琐。

是否有办法能够适当地减少误差项呢？这就是下面要讨论的微小误差准则若某一项误差忽略后,不改变总误差舍入后的数值,就可认为该误差是微小误差如果各误差的大小相差比较悬殊,而且小误差项的数目又不多,则在一定的条件下,可将小误差忽略不计,这个条件便称为微小误差准则1．系统误差的微小准则误差合成法则是确立微小误差准则的第一个依据,系统误差的合成法则,按代数和法有 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理e==e1+e2+…+ek+…+en       （）  设其中第k项误差ek为微小误差,即ek与其他分项误差ei相比很小,与总误差e相比可以忽略,则忽略ek后的总误差e′为e′=e1+e2+…+ek-1+ek+1+…+en                   （3.1.113）且e-e′=ek根据微小误差定义,若ek是微小误差,则                                 .114） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理要判别上式作为近似等式是否成立,就要用确立微小误差准则的第二个依据——表示误差值的有效数字所占的位数,即总误差值的有效位数。

根据有效数字的规则：  (1) 当总误差取一位有效数字时,若ek<(0.1～0.05)e则ek可忽略不计(2) 当总误差取两位有效数字时,若 ek <(0.01～0.005)e则ek可忽略不计 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理2．随机误差的微小准则确立随机误差微小准则的第一个依据——随机误差的合成法则,按方和根法有 设其中第k项误差ek为微小误差,即ek与其他分项误差ei相比很小,与总误差e相比可以忽略,则忽略ek后的总误差e′为（3.1.115)（3.1.116)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理且e2-e′2=e2k根据微小误差定义,若ek是微小误差,则e≈e′（3.1.117）  同样,要使上面的近似等式成立,就要用到确立微小误差准则的第二个依据——总误差值的有效位数根据有效数字的规则： 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(1) 当总误差取一位有效数字时,有e-e′<(0.1～0.05)ee′>(0.9～0.95)ee′2>(0.81～0.9025)e2e2-e′２=e2k<(0.19～0.0975)e2于是ek<(0.436～0.312)e或近似地取ek<(0.4～0.3)e即当某分项误差ek约小于总误差e的1/3时, ek便可忽略不计。

 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(2) 当总误差取两位有效数字时,有e-e′<(0.01～0.005)ee′>(0.99～0.995)ee′2>(0.9801～0.990 025)e2e2-e′２=e2k<(0.0199～0.009 975)e2于是ek<(0.14～0.1)e即当某分项误差ek约比总误差e小一个数量级时, ek便可忽略不计    第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理微小误差准则在总误差计算和选择高一级标准量等方面都有实际意义计算总误差或误差分配时,若发现有微小误差,可不考虑该误差对总误差的影响选择高一级精度的标准器具时,其误差一般应小于被检器具允许误差的1/3～1/10另外在校对仪表时,标准仪表的误差可以忽略,这样标准仪表的测得值就可作为“真值”来对待微小准则的另一用途,就是在进行间接测量的误差计算时,若能根据微小误差准则来判断构成微小误差的部分误差,就可以简化误差的计算第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.1.7 计量结果的精密度、正确度和准确度精密度（precision）：在相同的条件下进行多次测量时,所得结果的一致程度。

精密度反映的是随机误差的大小  正确度（correctness）： 计量结果与真值的接近程度正确度反映的是系统误差的大小准确度（accuracy）：计量结果的一致性及与真值的接近程度准确度是精密度和正确度的综合反映如图3.1.11所示,设圆心为真值,点为计量结果,其中：图（a）反映了精密度高,正确度较差； 图（b）反映了正确度高,精密度较差； 图（c）反映了准确度高,也就是正确度和精密度都较高第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图 3.1.11 精确度、正确度和准确度示意图第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理通常所说的计量精度或器具精度,一般指准确度,而不是精密度在实际应用中,就大多数计量领域和计量工作者而言,已经习惯于用精度来表示准确度因此,要注意不能用精度表示精密度精度和精密度是两个不同的概念,代表了不同的含义 3.1.8 测量不确定度1970年以来,各国计量部门逐渐使用不确定度来评定测量结果,由于评定的方法不一样，评定结果不一致,使得各国在互相利用结果时极为困难,并给各国测量结果的比较带来很大的不便   第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 1993年,国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量委员会、国际法制计量组织制定出（GUM）ISO： 1993（E）(《测量不确定度表达指南》),并颁布实施,从而使不确定度的评定与表示有了统一的标准,使不确定度的研究和应用进入了一个新的阶段。

 测量不确定度是与测量结果相联系的参数,用来表征合理地赋予被测量之值的分散性 测量不确定度以测量结果为中心,来评估测量结果与被测量真值相符合的程度测量不确定度一般由多个分量组成,一些分量可以由测量结果的统计分布估算,用实验标准偏差表征,另一些分量可以用基于实验或其他信息的概率分布来估算,也可用标准偏差表征测量不确定度评定分为A类标准不确定度评定和B类标准不确定度评定  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(1) A类标准不确定度评定：是由统计方法确定的标准不确定度的分量,即用估计方差或标准差、自由度表征,必要时应给出估计协方差用A类方法得到的不确定度分量的估计方差u2是根据一系列的重复观测值计算出的,也是常用的统计估计差s2(2) B类标准不确定度评定：是用非统计的方法确定的分量,用估算的方法来评定所谓非统计方法, 即统计方法以外的其他方法,可以根据已知的有关信息或资料来评定,例如以前的观测数据, 有关技术资料和仪器性能, 生产部门提供的技术说明文件、手册或某些资料给出的参考数据, 校准证书、检定证书提供的技术数据等用这类方法得到的估计方差称为B类方差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理由于各个不确定度的分量都会影响到测量结果,因此通常用合成标准不确定度（即测量结果的总的不确定度）来表示各种不确定度分量联合影响测量结果的一个最终的、完整的标准不确定度。

合成标准不确定度用uc来表示,是用不确定度传播定律计算出的标准偏差估计值,等于对所有方差和协方差求和后得到的总方差的平方根合成标准不确定度通常用于报告基本常数,计量学基础研究及有关SI单位的计量、标准的国际比对的测量结果用合成标准不确定度uc乘以包含因子（覆盖因子）k得到扩展不确定度U,其用途是提供测量结果的一个区间,期望被测量以较高的置信水平落在此区间内扩展不确定度通常用于报告除需要用合成标准不确定度表述以外的其他测量结果上述几个不确定度的关系如图3.1.12所示 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图3.1.12 几个不确定度的关系第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.2 数据处理数据处理3.2.1 有效数字先来看看下面两个问题【问题1】 是否一个数值中小数点后面的位数越多,这个数值就越准确？【问题2】 是否在计算结果中,保留的位数越多,这个数就越准确？第一个问题的错误在于,小数点的位置不是决定数值准确与否的标准,而仅与所用单位的大小有关例如,长度为21.3 mm与0.0213 m,其准确程度完全相同第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第二个问题的答案也是否定的。

因为所有的测量,由于仪器和人们的感官只能做到一定的准确程度这个准确程度一方面取决于所有所用仪器刻度的精细程度；另一方面也与所用的计量方法有关因此,在计算结果中,无论写多少位数,都不可能使准确度超过测量所能达到的范围反过来,表示一个数字时,如果书写的位数过少,以至于低于测量所达到的准确程度,同样是错误的 1. 有效数字的概念由数字组成的一个数,除最末一位数字是不确切值或可疑值外,其他数字均为可靠值或确切值,则组成该数的所有数字包括末位数字称为有效数字除有效数字外, 其余数字为多余数字除有特殊规定,一般认为末位数字上下一位可能有一个单位的误差,或其下一位的误差不超过±5第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理一个数,有效数字占有的位数,即有效数字的个数,为该数的有效位数在科学试验中有两类数： 一类数的有效位数均可认为无限制,也就是它们的每一位数都是确定的这类数多为纯数学计算的结果,例如各种计算式中的2、1/2、π及自然数等,在位数上可根据需要取多少位来表示都是有效的另一类则是有效位数为有限的数,这类数多与实际相联系,不能单凭数学上的运算而任意确定其有效位数,而是要结合实际恰当地表示出所要表示的量或所具有的精度。

这类数的有效位数要受到原始数据所能达到的精度、获取数据的技术水平、获取数据所依据的理论等因素的限制第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理例如,各种测量的测量结果、表示测量精度的各种精度参数等都属于这类数在误差理论中,最关心的还是作为测量结果和表示各种精度参数的数值这些数值由于受到所用测量仪表的灵敏度、刻度的分辨能力以及测量人员素质的限制,所得数值的有效位数总是有限的对这些数值所取的有效位数超过允许的范围,即实际所能达到的精度,再多取几位也是无效的单从计算上增加有效位数绝对不能提高测量精度,反而会造成混乱第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理反之,这些数值所取的有效位数少于实际所能达到的精度,不能把已经达到的精度表示出来,也是错误的这一类数的末一位往往由估计得来,因此具有一定的误差或不确定性例如,不考虑测量误差,单从数值来考虑,在数学上23与23.00两个数是相等的,而作为表示测量结果的数值,两者相差是很悬殊的用23表示的测量结果,其误差可能为±； 而用表示的测量结果,其误差可能是± 关于数字“0”,需要特别提一下,它在数中的位置不同,可能是有效数字,也可能是多余数字。

要分几种情况来讨论： （1）  整数前面的“0”无意义,是多余数字例如,00713,最前面的两个“0”是多余数字第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（2） 对纯小数,在小数点后,数字前的“0”因只起定位,决定数量级的作用（相当于所取的测量单位不同）,所以,也是多余数字例如,0.0715,小数点前后的“0”都是多余数字（3）  处于数中间位置的“0”,是有效数字例如,705,7与5中间的“0”是有效数字（4） 处于数后面位置的“0”,要特别地注意一般约定,末位数的0指的是有效数字,所以1.230×104 cm不能书写为1.23×104 cm； 同样,32.47 mm不能书写为32.470 mm为了明确地表示计量测试数据的有效位数,可以采用k×10m的形式（也就是科学计数法的形式）,其中, m为可具有任意符号的任意自然数；k为大于等于1而小于10的任意数,则数字k的位数即是有效位数 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理2. 有效数字的舍入规则在对数值判定应取的有效位数以后,就应当把数中的多余数字舍弃为了尽量减小因舍弃多余数字所引起的误差,应当根据下述原则进行取舍:（1） 在整数后面经判定有多余数字,则舍弃多余数字用“0”来代替,而这些“0”用10的乘幂来表示。

若为带小数的数或小数,则只舍弃多余数字    例如： 397 451用4位有效数字表示为3975×102；            1.4142用4位有效数字表示为1.414 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（2）　“偶舍奇入”规则（凑偶原则）： ① 若被舍数字的第一位小于5,则全部舍去例如： 8765.43用4位有效数字表示为8765② 若被舍数字的第一位为5且其后的数字都为0或无任何数字,当保留数字的末位为偶数或0时,则全部舍去； 当保留数字的末位为奇数时,则该奇数加1例如： 1234.5用4位有效数字表示为1234； 8765.5用4位有效数字表示为8766③ 若被舍数字的第一位大于5或等于5,但其后有不为0的数字时,则保留数字的末位加1第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理例如： 1234.6用4位有效数字表示为1235； 9876.54用4位有效数字表示为9877凑偶原则,一方面考虑到凑成偶数后有可能给以后的计算带来方便； 另一方面考虑到使舍弃多余数字后进1与不进1的机会,在0至9的十个数字中各占一半,从而使舍入误差正负相消的机会均等,以减少最后计算结果的舍入误差。

 （3） 在某些特殊的情况下,所处理的数据多余数字的第一个数字是“5”的数值过多,可不按凑偶原则来处理,而采用一半的数值进1,另一半只舍不进的办法这样可避免造成舍入误差(即因数值的舍入而造成的误差)过大第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（4） “四舍五入”规则由于二进制计算机的应用,上述的“偶舍奇入”规则已不甚合适于是便提出了只要舍去数的首位等于或大于5,保留数字的末位便加1； 否则, 多余数字一律舍去这一规则,称之为“四舍五入”规则“偶舍奇入”规则考虑到偶数结尾出现的概率等于奇数结尾出现的概率； 而“四舍五入”规则则没有考虑这种概率抵偿作用 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理例如：    未舍入的数字  “偶舍奇入”规则   “四舍五入”规则               175.5            176            176               286.5            286            287               394.5            394            395               410.5            410            411               521.5            522            522               633.5            634            634               744.5            744            745     +） 857.5       +）858     +）8584024.0          4024         4028第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理上面左列是未舍入的数字,中列是按“偶舍奇入”规则计算的,而右列则是按“四舍五入”规则计算的。

可见,中列的抵偿作用很明显,效果很好,但这是一个特例如果保留数字以偶数结尾的数目与以奇数结尾的数目不同,则效果将比较差如果不是进行加减运算,则效果将难以肯定对二进制来说,“四舍五入”规则则往往表现出明显的优越性例如： 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理行上面的数是按“偶舍奇入”规则所得,而行下面的数则是按“四舍五入”规则所得可见,前者形成的偶数为14个,奇数为10个,而后者形成的偶数和奇数皆为12个,分布是均匀的需要指出的是,舍入规则只是一般的原则,而不是定律,实际效果将因具体情况而异3. 有效数字的运算规则1） 加减运算    在加减计算中,所得结果的小数点后保留的位数,应与参与加减运算的各数据中小数点后位数最少的那个数据的位数相同例如：                4.286+1.32-0.4563=5.1497≈5.15第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第二个数据1.32的小数点后的位数最少,为两位,则最后结果按小数点后两位截取有效数字,得运算结果为为使计算简便,可先以有效数字位数最少的数据为准,对各数据进行截取,再作加减运算,如上例可写为                           4.29+1.32-0.46=5.15但有时这样截取可能增大舍入误差,因此最好使各数据小数点后的数字多保留一位。

当加减运算的项数较多,且小数点后位数较少的项数相对较少时,可以将各数据小数点后多保留一位这样可使运算的精度稍微高一些 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理例如,60.4,2.02,0.222,0.0467四个数相加,其中三个数在其小数点后有两位或两位以上,因此各数据小数点后多保留一位比较合适则运算的结果为             60.4+2.02+0.22+0.05=62.69≈62.7如果各数据小数点后只保留一位,则运算的结果为             60.4+2.0+0.2+0.0=62.6在使用计算器或电子计算机进行运算时,无须作简化处理,可将各数据的全部数字保留进行运算,记录数据时再按上述规则将多余数字舍去第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理2） 乘除运算数据进行乘除运算时,参与运算的各数据中有效数字位数最少的数据的相对误差最大,运算结果的有效数字位数应与这个数据的有效数字位数相同例如：                 462.8×0.64÷1.22=242.780 33按数据0.64的有效数字位数截取所得结果的有效数字,得2.4×102。

为简化运算,可先以有效数字位数最少的数据为准,对各数据进行截取,然后再进行乘除运算如上例中运算式可写为                      4.6×102×0.64÷1.2=2.5×102第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理        为尽力减小数字舍入带来的误差,参与运算的各数据可多保留一位数字在使用计算器或计算机计算时,各数据可先不进行简化处理,待计算完成,只将最后结果中的多余数字舍去即可 3） 乘方与开方运算数据经乘方与开方运算,所得结果的有效数字位数与该数据的位数相同例如： 2=10.5625≈10.64）对数运算在对数运算中,所取对数的位数应与真数有效数字位数相同例如：  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理lg32.8=1.515 87…取lg32.8=1.525） 三角函数的运算在三角函数的运算中,函数值的位数应随角度误差的减小而增多,其对应关系见表3.2.1  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 表3.2.1 三角函数值的位数与角度误差的对应关系第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理6） 其他(1) 运算的中间结果的数字可多保留1～2位,以便减小舍入误差的影响。

例如,用于计算残差的算术平均值属于中间结果,对计算残差影响较大,其保留位数应多些,这能有效地减小舍入误差的影响特别是利用计算机计算时,可不对中间结果进行有效数字的截取    （2） 计算平均值时,若为四个数或超过四个数相平均,则平均值的有效数字可增加一位     （3） 在所有的计算式中,对于π、e、   及其他无误差的数值,其有效数字的位数可认为是无限制的,即在运算中,需要几位就可以写几位例如：1/2=0.5000…,其有效数字的位数可根据需要任意取 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（4） 运算中,若有效数字的第一位数为8或9,则有效数字的位数可多计一位    例如： 9.27已接近10.00,可认为它是四位有效数再比如： 计算8.5、1.38、0.267三个数的乘积,应计8.5的有效数字位数为三位,则算式与结果为      8.5×1.38×0.267=3.134.  测试结果的有效数字在表示精度时,大多情况下只取一位有效数字,最多取两位有效数字根据有效数字的定义,一般测试结果的有效位数的最末一位应取到与精度参数的末位同一量级第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 因此,有效数字的位数便基本上反映了测试的精度。

   如测试结果有比较稳定的更高的重复性,则必要时也可比有效数字多取一位,以供应用时参考 5. 标准差的有效数字标准差的有效数字可由求出设n=9,则有（3.2.1） （3.2.2） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理根据有效数字的运算规则, σ的有效数字最多只能取两位；若σ的首位有效数字为8或9,则σ的有效数字只能取一位3.2.2 粗大误差处理1． 粗大误差定义超过规定条件下预期的误差就是粗大误差粗大误差明显地歪曲了计量结果含粗大误差的值称为异常值,一旦发现异常值,应该将其剔除2． 粗大误差产生的原因粗大误差产生的主要原因有： 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（1） 计量人员的主观原因： 由于计量人员缺少经验、操作不当、工作过于疲乏或计量时不小心、不耐心、不仔细等引起的错误读数、错误记录或错误计算的结果而造成粗大误差（2）客观外界条件原因：由于计量条件意外改变（比如机械冲击、外界振动等）引起仪器示值变化、计量条件变动等计量进行后,要判断一个数是否含有粗大误差要特别慎重,要进行充分的分析和研究,并以粗大误差的剔除准则作为异常值的剔除依据  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3． 粗大误差剔除准则常用的粗大误差的剔除准则有3σ准则、格罗贝斯准则、 狄克松准则、罗曼诺夫斯基准则、肖维勒准则等, 下面依次予以介绍。

1） 3σ准则3σ准则也称为莱以特（Paйтa）准则,是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则它以测量次数充分大为前提,但是通常测量次数都较少,因此3σ准则只是一个近似的准则            对于某一测量列x1，x2，…，xn,若各测得值只含有随机误差且服从正态分布,则根据随机误差的正态分布规律,其残差落在±3σ以外的概率约为0.27％,即第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理P｛|xi->3σ｝=0.27%i=1,2,…,n （3.2.3）也就是说,在有限次重复测量中发生的可能性很小    3σ准则认为,误差绝对值超过3σ的概率很小,进而认为是不可能事件 所以,如果计量所得值xi的残差vi=xi-       满足                       |vi|>3σ       i=1, 2, …, n （3.2.4）则认为xi含粗大误差而应剔除式中σ为计量列的标准差,可以根据贝塞尔公式求得即（3.2.5）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 3σ准则可以重复应用,直至所保留数据中已不含粗大误差为止3σ准则比较保守,因为在测量次数有限时,出现在靠近±3σ界限处的数据较少,除非有较大的粗大误差,否则依据|vi|>3σ而导致数据被剔除的可能性很小。

因为对任何vi存在（3.2.6） （3.2.7）          因此当n≤10时,3σ准则不能剔除任何异常值也就是说,测量次数少于10次时,不能用3σ准则第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理2）格罗贝斯（Grubbs）准则    格罗贝斯准则是在确认测得值,也就是随机误差服从正态分布的前提下,利用格罗贝斯统计量来判别异常值是否为可疑值的准则设对某一固定量作等精度的多次独立测量,得到一测量列：x1,x2,…,xn当测得值xi（i＝1,2,…,n）服从正态分布时,求得（3.2.8） （3.2.9） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理把测量列按大小顺序重新排列成顺序统计量为             x(1)≤x（２）≤…≤x (n) (3.2.10)其中左右两端边缘测得值最可能含有粗大误差根据顺序统计原理,格罗贝斯找出了统计量                                                                                              的确切分布,两者分布相同因此在给定显著水平a（一般取a为0.05或0.01）后,就可找出格罗贝斯统计量的临界值g0(n, a),且有及(3.2.11)(3.2.12)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理因 为 a的 取 值 很 小 ,因 此 可 认 为 g(n)  =(x(n)-   /σ≥g0(n,a)和g（１）=(      -x (1))/σ≥g0(n, a)为小概率事件,也就是说,在测量值xi服从正态分布时不应出现。

           为了易于理解,再对前面分析中的一些符号的含义加以说明: i=1, 2, …, n              （3.2.13） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理g(i)是数据x (i) 的统计量； g0(n, a)是统计量g(i) 的临界值,依测量次数n及显著度a而定；a是显著度,也称为显著水平,相当于犯“弃真”错误的概率,也就是当x(i)不含粗大误差时,判断出现错误的概率  因顺序统计测量列是按数值大小的顺序排列的,所以可疑值一定出现在顺序统计测量列的两端因此可得出准则：     把按大小顺序排列的测量列端值x (i) （i=1或n）所对应的格罗贝斯统计量g(i) 算出后,若满足第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理则认为统计量g (i) 与应当服从的统计量g的分布存在显著差异,对应的x (i) 含有粗大误差,x (i) 为可疑值,应当舍弃若 g(i)

第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理表3.2.2 格罗贝斯准则g0(n, a)数值表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理利用格罗贝斯准则每次只能剔除一个可疑值,需重复进行判别,直到无粗大误差的测得值为止格罗贝斯准则克服了3σ准则的缺陷,在概率意义上给出了较为严谨的结果,被认为是比较好的判断准则3） 狄克松（Dixon）准则    3σ准则、格罗贝斯准则以及后面要介绍的肖维勒准则和罗曼诺夫斯基准则都需要先算出标准差,应用时较为麻烦狄克松准则避免了计算标准差   狄克松根据顺序统计原理,利用极差比构成统计量,并研究了这些统计量的分布利用假设检验的方法剔除可疑值其原理是：     第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理设对一固定量经过等精度相互独立的n次测量,得到一测量列xi,i=1, 2, …, n,并设此测量列服从正态分布根据测得值数值的大小重新排成顺序统计测量列:      x (1) ≤x（２）≤…≤x (n)          （3.2.16）这些测得值中,首先最值得怀疑的是x (1) 或x (n),因为它们偏离算术平均值最远。

    狄克松准则是先构成一个与n及x (1) 或x (n) 有关的极差比统计量rjk,在选定显著水平a（取0.05或0.01）后,就可根据统计量rjk的分布,找出其对应的临界值r0(n, a)对构成小概率事件P｛rjk≥r0(n, a)｝=a  （3.2.17） 相对应的测得值x  (1) 或x (n),就可判别是否为可疑值 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 若统计量rjk满足        rjk≥r0(n, a) （3.2.18）则认为统计量rjk和应服从的分布存在显著差异,即可判定相应的x（１）或x (n) 含有粗大误差,应当剔除 狄克松提出的这一准则应用极差比的方法,得到了简化而严密的结果为了使判断的效率高,对于不同测量次数的数据应当采用不同的统计量rjk进行检验jk的取值有（10、11、21和22四组,对应的 rjk的计算公式也就有四个当n≤7时，使用r10； 当8≤n≤10时,使用r11；当11≤n≤13时,使用r21; 当n≥14时, 使用r22 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理根据统计量rjk的分布,检验用临界值r0(n, a)是测量次数n和显著水平a的函数。

对应不同测量次数n, rjk的计算公式及临界值r0(n, a)的数值见表3.2.3 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理n,rjk的计算公式及临界值r0(n, a)的数值第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理狄克松准则是于1953年提出来的,它的特点是不需要计算标准差,由数据的极差比可直接计算出检验用统计量rjk,使用比较方便  当使用狄克松准则剔除一个数据后,应按剩余顺序量,重新计算统计量,再检验另一可疑数据,直到无粗大误差为止4） 罗曼诺夫斯基（Pomaнвcкий）准则   当测量次数较少时,按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差较为合理,因此罗曼诺夫斯基准则又称为t检验准则它的特点是首先剔除一个可疑的测得值,然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差    第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理设对某量作多次等精度独立测量,得测量列x1,x2,…,xn如果认为测量值xk为可疑数据,则将其剔除后计算平均值（计算时不包括xk） 以及不包括xk的测量列的标准差       （3.2.19） （3.2.20） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理根 据 测 量 次 数 n和 选 取 的 显 著 度 a（ 取 0.05或0.01）,可以查表得到t检验系数K(n,a)。

如果xk的残差满足             |vk|=|xk-       |>K(n, a)σ         （3.2.21）则认为测量值xk含粗大误差,应将其剔除t检验系数为式中,ta(n-1)为t分布的置信系数t检验系数K(n, a)数值表见表 （3.2.22）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理表3.2.4 检验系数K(n, a)数值表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理5） 肖维勒（Chauvenet）准则    肖维勒准则也是以正态分布为前提的假设多次重复测量所得n个测得值中,某数据的残余误差满足               |vi|>Zcσ （3.2.23）  则剔除此数据实用中,当测量次数n≤185时,Zc<3,这在一定程度上弥补了3σ准则的不足从图3.2.1上可以看出,|vi|>Zcσ的概率为图中阴影部分即              P［|vi|>Zcσ］=1-2φ(Zc)         （3.2.24）  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理肖维勒准则规定： Pc=1-2φ(Zc)=                                   (3.2.25)φ(Zc)的值由测量次数n决定,而Zc值又可以根据φ(Zc)查正态概率积分表确定。

实用中,可以直接通过查表(见表3.2.5)获得Zc值则(3.2.26)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图3.2.1    |vi|>Zcσ的概率分布第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理表3.2.5   肖维勒准则Zc数值表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理在观测次数较少时,肖维勒准则犯“弃真”错误的概率是较大的,例如,n=5时,犯“弃真”错误的概率可达20％在n≤185时,肖维勒准则比3σ准则严格；当n>185时,肖维勒准则比3σ准则宽松；当n→∞时,由于Zc→∞,肖维勒准则就无法应用了    在应用以上各准则判别粗大误差时要注意,若同时有两个数据被判别出含有粗大误差,只能剔除其中含最大误差的那一个数据； 如果这两个数据相同,则只能剔除其中的任一个 也就是说,一次只能剔除一个数据之后,再对剩下的(n-1)个数据继续判断是否还有可疑数据,直到全部数据都没有问题为止那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的数据,在重新计算后,可能不超过判断的界限,所以每次只能剔除一个超限的数据第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理以上几种粗大误差的取舍准则比较如下： (1) 3σ准则方法简单,无须查表,用起来方便,在测量次数较多或要求不高时可以使用。

(2) 肖维勒准则是经典方法,过去应用较多,但它没有固定的概率意义,特别是当n→∞ 时,该准则失效,也就是说,在测量次数较多时不好用(3) 格罗贝斯准则、狄克松准则和t检验准则给出了较严格的结果对测量次数较少而要求较高的测量列,应采用这三种准则第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理其中,格罗贝斯准则的可靠性最高,通常测量次数n=20～100时,其判别效果较好;当测量次数很少时,可采用t检验准则; 若要从测量列中迅速判别出含有粗大误差的测得值,则可采用狄克松准则在较为精密的试验中,可以选用两、三种准则对试验数据进行判别 要注意以上各准则都是以数据按正态分布为前提的,当偏离正态分布时,判断的可靠性将受影响,特别是计量次数很少时更不可靠因此,对待粗大误差,除了从测量结果中及时发现和利用剔除准则鉴别外,更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心另外,要保证测量条件的稳定,防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理【例3.2.1】 对某量进行15次等精度测量,测得值如表3.2.6所示设这些测得值已消除了系统误差,试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。

已知: g0(15, 0.05)=2.41,  g0(14,  0.05)=2.37;  r0(15,  0.05)=0.525, r0(14, 0.05)=0.546; K(15, 0.05)=2.24, K(14, 0.05)=2.26; 当n=15时,Zc=2.13, 当n=14时,Zc=2.10 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理表3.2.6 例3.2.1表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理解 （1） 按3σ准则判断首先计算平均值,得 将计算所得各测得值的残差写入表中,计算标准差,得则                  3σ=3×0.033=0.099根据3σ准则,第八个测得值的残差为|v8|=0.104>0.099第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理  所以第八个测得值20.30含有粗大误差,应该将其剔除再根据剩下的14个测得值重新计算,可得平均值 则                 3σ′=3×0.0161=0.0483剩下的14个测得值的残差均满足第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理所以这些测得值中不再含有粗大误差。

（2） 按格罗贝斯（Grubbs）准则判断由前面计算,已知      σ按测得值大小,顺序排列得x (1) =20.30,  x (15) =20.43现在有两个测得值可怀疑,但是由于 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理即x (1) 的残差更大,所以首先怀疑x（１）可能含有粗大误差已知g0(15, 0.05)=2.41,则     g（１）>g0(15, 0.05)因此,第八个测得值20.30含有粗大误差,应该将其剔除第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理对剩下的14个数据,重复上述步骤,重新排序,得x′ (1)=20.39,    x′ (14)=20.43         =20.411,  σ′=0.0161因为x′ (1)的残差更大,所以先判断x′（１）是否含粗大误差已知g0(14, 0.05)=2.37,则                     g′ (1)

首先将测得值按大小排序,得 先判断最大值x（１５）,因为n=15,所以计算统计量r22:已知r0(15, 0.05)=0.525,则    r22

由此可知,其余测得值也都不含有粗大误差5） 按肖维勒（Chauvenet）准则判断  首先计算出平均值和标准差,得        =20.404, σ=0.033当n=15, Zc=2.13,则Zcσ=2.13×０.033=0.07第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理因为第八个测得值的残差为          |v8|=|x8-      |=|20.30-20.404|=0.104>0.07  所以,可判断第八个测得值20.30含有粗大误差再对 剩下的14个数据重新计算平均值和标准差,得当n=14, Zc=2.10,则 Zc σ=2.10×0.0161=0.034剩下的14个测得值均满足|v′i|<0.034所以这些测得值中不再含有粗大误差 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.2.3 计量所得结果的简单处理1． 等精度计量所得值的处理1） 等精度计量定义    等精度计量是指测试条件不变时,精度相等的计量一般以标准差σ来判定,标准差σ相同的即为等精度计量2） 等精度计量结果的处理步骤    对一个量进行等精度独立计量后,设系统误差已经采取措施消除,且粗大误差也已经剔除,则处理步骤为： (1) 求平均值（3.2.27）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(2) 求残差            vi=xi-i=1, 2, …, n          （3.2.28）(3) 求单次计量标准偏差 (4) 求平均值标准偏差  （3.2.29）（3.2.30）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 3） 算术平均值的简便算法    测得数据的有效数字较多时,按平均值的计算式计算算术平均值,各数据相加十分烦琐,很容易出错,此时就可以采用一种简便的计算方法。

    设对被测量x进行n次等精度的重复测量,得测得数据x1，x2，…，xn 为简化算术平均值的计算,任选一接近测量数据xi的数值x0,相减得      x′i=xi-x0  i=1, 2, …, n                          （3.2.31） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理则有所以（3.2.32） （3.2.33）        即算术平均值可以表示为x0与x′i的算术平均值之和x0的值的选取应使x′i的值尽可能小,并且便于计算第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理【例3.2.2】对某圆柱体外径尺寸连续测量10次,所得结果如下（单位mm）：3.985、3.986、3.988、3.986、3.984、3.982、3.987、3.985、3.989、3.986对此测量结果进行处理（包括算术平均值、残差、标准差以及算术平均值的标准差）解 按算术平均值的简便算法,取x0=3.985mm, 列表计算(见表3.2.7) 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理表3.2.7   例3.2.2表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理算术平均值为求残差,并填入表中,然后求残差的平方和。

按贝塞尔公式,测量列标准差为算术平均值的标准差为第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理2． 不等精度计量所得值的处理1） 不等精度计量的定义在不同的条件下（如环境、方法、仪器以及人员等）或不同的计量次数下,所进行的精度不等的计量,称为不等精度计量在不等精度计量中,所得各测量数据具有不同的可信程度,因此数据处理方法与等精度测量时有所不同2） 测量数据的权       若测量数据具有不同的精度,其可信程度也就不一样在数据处理过程中,精度较高的数据应给予较多的重视,而精度较低的数据则相反为了便于数据处理,这一差别应以数值来表示,这一数值就是测量数据的权 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 测量数据的权表示该数据相对其他数据的可信程度数据精度越高,即可信程度越高,其权就越大； 反之,数据精度越低,权就越小测量数据精度高低是确定权大小的基本出发点    由于测量数据的精度以其标准差来衡量,因此,测量数据xi的权pi可按其标准差来确定    设不等精度测量数据x1,x2，…，xn 的标准差分别为σ1,σ2,  …,σn,相应的权应该满足（3.2.34） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理或                                                                                      （3.2.35）  上面两个式子给出了确定权的一般方法,即测量数据的权与相应标准差的平方成反比。

    权本身是无量纲的,它只反映各测量数据之间的相对可信程度,只要能满足上面两个式子,其绝对值大小是无关紧要的这就是权的相对性但是应注意,权的数值一旦确定,在数据处理过程中就不允许再随意改变一般为了简化处理,应使权的数值尽可能约简第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理若测量的标准差为σ,现进行m组测量,各组测量次数分别为n１，n2，…，nm,则各组的算术平均值（i=1,2,…,m）的标准差为 i=1, 2, …, m （3.2.36） 于是各组算术平均值的权pi应满足下式:（3.2.37） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理由此可知,各组算术平均值的权之比等于各组测量次数之比因此,我们可以得到下面的结论： 权可以根据计量值的精度来定,有时也可以根据计量次数来定    若根据计量值的精度来定,则某计量值的权p应该与其方差σ2成反比,即  若以计量次数来定,则权p应该与计量次数n成正比,即 p=Cn                                   （3.2.39）  上述两个式子中的Ｃ为比例系数,可任选,以便于计算为原则。

（3.2.38） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3）　加权算术平均值    设对某量X进行n次不等精度重复测量,得到测量数据x1,x2,…,xn,设各测量数据的权分别为p1,p2,…,pn,则被测量X的最佳估计值应为全部测量数据的加权算术平均值: （3.2.40） 这就是加权算术平均值原理 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理加权算术平均值是被测量X的无偏估计特别地,当各测量数据的权均相等时,即p1=p2=…=pn=p时,有这正是等精度测量数据的算术平均值显然,算术平均值是加权算术平均值的特例    与算术平均值相似,加权算术平均值也是以随机误差的抵偿性为基础的,按加权算术平均值原理处理不等精度的测量数据可充分利用这一抵偿性,并使随机误差的影响减至最低限度而对于各次测量中的同一系统误差则没有这种抵偿性 （3.2.41） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 不等精度测量结果常是采用不同的测量方法而获得的,因此各测量结果中常含有不同的系统误差由于这些系统误差不是由同一因素造成的,因此互不相同这类系统误差在各测量结果中相互间具有一定程度的抵偿作用。

 加权算术平均值的计算也可以采用简便算法即设                xi=x0+x′i i=1, 2, …, n  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 （3.2.42） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 4） 单位权及单位权标准差    若某一数据xk的权pk=1,则称pk为单位权,而xk的标准差σk称为单位权标准差,记为σ0显然,由     p１σ21=p2σ22=…=pnσ2n              （3.2.43）       p１σ21=p2σ22=…=pnσ2n = σ20            （3.2.44） 则有 可得 （3.2.45）  i=1, 2, …, n 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理设有不等精度测量数据x1,x2,…,xn,相应的权分别为p1,p2,…,pn,则各测量数据的残差为将各残差vi分别乘以各自的权的平方根 ,得加权残差                                                  i=1, 2, …, n                               （3.2.46）  i=1, 2, …, n (3.2.47)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理任一数据的加权残差的权为1,显然,将加权残差代入贝塞尔公式,便可得单位权标准差的计算公式: 5） 加权算术平均值的标准差    由于加权算术平均值本身也含有随机误差,因此其精度也应以其标准差来评定。

在加权算术平均值的表达式中,测量数据x1,x2,…,xn为随机变量,而相应的权p1,p2,…,pn 为常量,则加权算术平均值的方差为(3.2.48)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理即 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理p１σ21=p2σ22=…=pnσ2n=σ2０代入上式,则有即（3.2.51） （3.2.52） 则加权算术平均值    的标准差为第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（3.2.53）  若将单位权标准差的两个计算公式i=1, 2, …, n （3.2.54） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理分别代入式（3.2.53）,可得到加权算术平均值的标准差的两个计算公式： （3.2.56） （3.2.55） （3.2.57） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理分别按上面两式计算加权算术平均值的标准差,所得结果理应是相同的但由于种种原因,实际上这两种计算方法给出的值常常是不同的这是由于对测量数据标准差估计不准以及测量数据中存在系统误差等原因而引起的,特别是系统误差的影响    当测量数据中存在不同的系统误差时,一般各测量数据之间的差异会增大,因此按照式（3.2.57）计算的   值比按式（3.2.56）计算的要大些。

即按式（3.2.57）计算加权算术平均值的标准差时,能在一定程度上反映系统误差的影响； 而按式（3.2.56）计算    时,一般不反映这一系统误差的影响,所以,通常以式（3.2.57）的计算结果为准 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理6） 不等精度计量结果的处理步骤    设各测量结果不存在系统误差和粗大误差,则不等精度计量结果处理步骤为： (1) 求加权算术平均值（２) 求残差vi=xi-                         i=1, 2, …, n                  (3.2.59) () 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(3) 求单位权标准差 (4) 求加权平均值标准差(3.2.60) (3.2.61) 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理【例3.2.3】 1m的米尺经由三位观测者测量,其结果如下  第一组：  第二组： 第三组：第三组：         求加权算术平均值、残差、单位权标准差和加权算术平均值的标准差        解 按简便算法,取x0=1000mm,列表计算（见表3.2.8)。

 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理表3.2.8 例3.2.3表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理因为所以权值可分别取为p1=16, p2=1, p3=4则加权算术平均值为 求残差,并写入表中第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理计算单位权标准差,得 加权平均值的标准差为第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理3.2.4 最小二乘法由某些物理参数或者通过已知数学模型的其他参数的一系列观测数据来确定这些物理参数的唯一解方法中,最小二乘法是通用的标准方法最小二乘法作为实验数据处理的一种基本方法,它给出了数据处理的一条准则——在最小二乘意义下获得的最佳结果（或最可信赖值）应使残差平方和最小基于这一准则所建立的一整套的理论和方法,为实验数据的处理提供了一种有力的工具,成为实验数据处理中应用十分广泛的基础内容之一 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理勒让德（Legendre）于1805年提出最小二乘法虽然勒让德与高斯同时独立地运用最小二乘法,但人们一般都认为在1795年,高斯（18岁时）首先创立并成功地将最小二乘法应用于天文观测和大地测量工作中。

此后的200多年来,最小二乘法已经广泛应用于科学实验与工程技术中现代矩阵理论的发展及电子计算机的广泛应用,为这一方法提供了新的理论工具和得力的数据处理手段,使最小二乘法得到了迅速发展,并不断完善,成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一作为数据处理手段,最小二乘法在诸如实验曲线的拟合、方差分析与回归分析、天文测量、大地测量及其他科学实验的数据处理等方面,在多种学科中均获得了广泛的应用随着计量技术及其他现代科学技术的迅速发展,最小二乘法在各科学领域将获得更为广泛的应用和发展 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理1． 最小二乘法原理最小二乘法是指计量结果的最佳值（用x0表示）,应使它与计量所得值差的平方和为最小,即这就是最小二乘法的基本原理对于等精度计量的计量值,最佳值是使所有计量值的误差的平方和最小的值因此，对于等精度计量的一系列计量值来说,它们的算术平均值就是最佳值或最可信赖值,各计量值与算术平均值偏差的平方和最小不等精度独立计量时,计量结果的最佳值是加权算术平均值,这与最小二乘法原理一致 (3.2.62) 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理2． 最小二乘法求直线在计量工作中,经常要寻求表征两个量的直线关系的问题。

这时,只要找到表征两个量的关系直线后,就可以只测一个量,而另一个量按已找出的关系算出来最小二乘法是求线性经验公式中常用的方法由于两个量在一个小范围总可以认为是线性的,因而求直线的方法有着广泛的应用 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理若两个量x、y间有线性关系:y=ax+b                             (3.2.63)则当对它们独立等精度测得n(n≥2)对数据(x1, y1), (x2, x2), …, (xn, yn)时, 如何求出常数a、b呢?    要对(xi, yi)配直线,使直线穿过所有点一般是不可能的（因为计量有误差）由于各偏差的平方均为正数,若平方和为最小,即这些偏差均最小,最佳直线便是尽可能靠近这些点的曲线因此利用最小二乘法原理,可以要求各点到直线纵坐标差yi-(axi+b)=vi 的平方和最小,这样可以解出a和b也就是要求图3.2.2中各正方形的面积和为最小由误差方程第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理图3.2.2    最小二乘法第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理(3.2.64)各等式两边平方,得 (3.2.65)第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理将以上n个式子左边和右边分别相加,得令                    ,  根据最小二乘法原理,要使V=min,则a和b必须满足 (3.2.66)  (3.2.67) 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 (3.2.69)  (3.2.70) 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理其中                                           是全部试验点的点系中心（或平均点）。

    从上面的分析结果可以看出用最小二乘法求出的直线一定通过全部试验点的点系中心                     这一点例3.2.4】 在不同的温度t（以℃为单位）,计量所得某尺的长度l（以mm为单位）如表3.2.9所示试按最小二乘法求尺长的温度膨胀系数与0℃时的尺长 解 设尺长l与温度t的关系为 l=βt+α第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理则按最小二乘法,列出如下方程组:为计算方便,将数据列表计算,如表3.2.9所示第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理将表中计算出的相应的数据代入上面正规方程,得              6α+170β=12 006.03             170α+5650β=340 201.3解得α=1999.97 mmβ=0.036 54 mm/℃所以尺长随温度的线性变化规律为l=0.036 54t+1999.97 3． 多项式的最小二乘法拟合前面我们讨论了用最小二乘法拟合直线,在这里,将讨论更一般的情形。

如果用直线不能很好地拟合数据,可以构思一个更复杂的函数,改变函数的系数使之能够更紧密地拟合实验数据对于这种数据拟合,最有用的函数是幂级数多项式 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理设已知一组数据(x1,y1), (x2,y2), …, (xm,ym),要用通常的n（n

 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理在利用最小二乘法组成和式（3.2.72）时,所有点xi都起到了同样的作用,即认为是通过等精度测量获得各数据对于不等精度计量,要用加权和            pi(yi-pn(xi)) 2                   （3.2.81）代替和式（3.2.72）取最小值其中pi为不等精度测量所得数据的权值,满足pi>0【例3.2.5】 试应用最小二乘法,用二次多项式拟合表3.2.10 中的数据 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理解 设y关于x的二次多项式为y=a2 x2+a 1 x+a0      按最小二乘法,可得关于参数a0、 a 1和a2的方程组:第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理为计算方便,将各数据列于表3.2.11进行计算第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理将表3.2.11计算结果代入方程组,得5a0a1a2=9.942a0a1a2=7.185a0a1a2=5.857 经计算,得              a2=0.928, a1=0.751, a0=1.036因此y关于x的二次多项式为                  yx2x+1.036第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理4． 两种常用非线性模型的最小二乘法拟合用多项式pn(x)=a0+a1 x+a2x2+…+anxn去近似一组给定的观测值时，  需要确定的参数是a0,a1,…,an,而pn(x)可以看成是a0,a1,…,an,的线性函数。

但是有时在利用观测值或实验数据去确定一个经验公式时,要确定的函数往往和待定参数之间不具有线性形式的关系,这样求解参数的问题就变得有些复杂然而,常常可以通过变量替换使其线性化下面,介绍两种常用非线性模型的线性化方法 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（1） 用如下类型的函数s=ptq                （3.2.82）去近似一个由一组观测数据所描绘的曲线,其中p和q是两个待定的参数显然s已经不是p和q的线性函数,怎样线性化呢？ 若将式（3.2.82）两端取对数,可得lns=lnp+q lnt                         （3.2.83）   记lns=y,lnt=x,lnp=a0,q=a1,则式（3.2.83）变为y=a0+a1                                （3.2.84）这是一个一次多项式,其系数a0和a1可以用最小二乘法求得,然后根据p=ea0q=a1（3.2.85）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理即可得到p和q这两个参数（2） 用函数s=AeCt                                    （3.2.86）  去近似一组给定实验数据时,其中A和C是待定的参数。

对于这种非线性函数,可以在式（3.2.86）两端取对数,得到               lns=lnA+Ct                      （3.2.87）记lns =y,t=x, lnA=a0,C=a1,则式（3.2.87）变为        y=a0+a1x                                   （3.2.88）这样,仍可以用最小二乘法求出系数a0和a1,从而也就求出了A和C 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理【例3.2.6】 通过实验得到表3.2.12所示的一组数据  已知t和s的函数关系为s=ptq,试用最小二乘法求解参数p和q解方程组得 a0 =4.5156, a1 =-0.4299则p=ea0=e =91.4, q=a1=-0.430因此可得st  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理5． 一般线性参数最小二乘法前面,我们已经讨论了一个简单的线性模型——直线方程y=ax+b最小二乘法的应用,该线性模型有一个自变量和两个要求解的系数a和b。

这种直线模型是一般线性模型的特例在实际测量工作中,遇到的大量问题,往往不限于单一的自变量,要拟合的函数中,常常有多个自变量和多个待求的参数最小二乘法可以用于线性参数的处理,也可以用于非线性参数的处理由于实际中大量的测量问题属于线性的,而非线性参数借助于级数展开的方法可以在某一区域近似地化成线性的形式,因此,线性参数的最小二乘问题是最小二乘法所研究的基本内容下面,我们将讨论应用最小二乘法求解具有多个自变量的一般线性模型的参数 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 假设被测量y和n个参数a1,a2,…,an之间呈如下的线性关系：         y=a1x1+a2x2+…+an xn=aixi                （3.2.89）需要指明,根据实际需要,可以令式（3.2.89）中的x1≡1因此,一般线性模型实际有n-1个自变量和n个要求解的参数 通过观测或者实验获得数据时,由于存在各种复杂的因素和随机因素的影响,致使y的测量值存在随机误差假定进行了m（m>n）次等精度测量,则有                  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理y1=x11a1+x12a2+…+x1nan=             y2=x21a1+x22a2+…+x2nan  =       …ym=xm1a1+xm2a2+…+xmnan=（3.2. 90）用l表示y的实际测量值,则相应的误差方程组为 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理l1-y1=l1-(x11a1+x12a2+…+x1 na n)=v1l2-y2=l2-(x21a1+x22a2+…+x2nan)=v2         …lm-ym=lm-(xm1a1+xm2a2+…+xmna n)=vm  线性参数的最小二乘法借助于矩阵这一工具进行讨论有很多便利之处。

误差方程组的矩阵形式为（3.2.91）（3.2.92）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理即（3.2.93）其中, 为系数矩阵, 为待求参数矩阵, 为实测值矩阵, 为残余误差矩阵 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理为了获得更可靠的结果,测量次数m总要多于未知参数的个数n,即所得误差方程的数目总是要多于未知数的数目因而直接用一般解代数方程的方法是无法求解这些未知参数的最小二乘法可将误差方程转化为有确定解的代数方程组,使其方程式数目正好等于未知参数的个数,从而可求解出这些未知参数这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法的正规方程根据最小二乘法原理,残余误差平方和最小,即（3.2.94）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理由于(v1 v2…vm) （3.2.95）因此,式（3.2.95）的矩阵形式为（3.2.96）或 （3.2.97）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理令Q=    =  欲 求 使 Q达 到 最 小 值 时 的 a1， a2， …， an,只 需 令                     （i=1，2，…，n）, 可得出m个方程:（3.2.98）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理化简得（3.2.99）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理令（3.2.100） 则式（3.2.99）写成矩阵形式为（3.2.102） （3.2.101） 即第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理这就是等精度测量时,以矩阵形式表示的正规方程。

 若X的秩等于n,则矩阵XTX是满秩的,其行列式det (XTX)≠0,那么A的解必定存在,而且是唯一的此时,用(XTX) -1左乘正规方程的两边,就得到正规方程解的矩阵表达式:     A=(XＴX) -1XTL （）不等精度测量时线性参数的误差方程仍如上述式(3.2.91)一样,但在进行最小二乘法处理时要取加权残余误差平方和为最小,即第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理其中,pi（i=1,2,…，m）为测量数据li（i=1,2,…，m）的权,其矩阵形式为（）（）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理为m×m阶权矩阵 对于不等精度测量,其他公式的推导方法和原理均与等精度测量时相同正规方程为 XTPXA=XTPL （3.2.108）正规方程的解,即参数的最小二乘解为      A=(XTPX) -1XTPL                             （3.2.109）线性参数的不等精度测量还可以通过单位权化的方法转化为等精度的形式,从而可以利用等精度测量时的最小二乘法处理的全部结果。

为此,要将误差方程化为等权的形式 设不等精度测量的误差方程为式（）,两端同乘以相应权的平方根,得 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（3.2.110） 令 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理则误差方程化为等精度的形式为（3.2.111）         上述方程组中各式已具有相同的权,与等精度测量的误差方程（3.2.91）形式一致,即可按等精度测量的方法来处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 设有m×m阶矩阵为（3.2.112） 且P=P 1/2·P1/2, 则有m×1阶矩阵（列向量） 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理和m×n阶矩阵第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理则线性参数不等精度测量误差方程的矩阵形式为L*-X*A=V*                    （3.2.116）其正规方程为          X*TX*A=X*TL*                （3.2.117）正规方程的解,即参数的最小二乘解为A=(X*TX*) -1X*TL*       （）若 将 X*=P1/2X,L*=P1/2L和 V*=P1/2V分 别 代 入 式（3.2.116）、式（3.2.117）和式（3.2.118）,则误差方程为P1/2L-P1/2XA=P1/2  V                 （3.2.119）  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理正规方程为(P1/2X) T (P1/2X)A=(P1/2X) T(P1/2L)               （3.2.120）化简得    XT PXA=XT PL                                      （3.2.121）正规方程的解为A=(XTPX) -1XT PL                                        （3.2.122） ）的结果一致。

  第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理线性参数的最小二乘法处理程序可以归结为： 首先根据最小二乘法原理,利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程； 然后求解正规方程,得到要求解的参数其中的关键步骤就是建立正规方程    对于非线性参数函数,由误差方程组直接建立正规方程并求解是很困难的为了解决这类问题,一般采取线性化的方法,对非线性函数进行级数展开,从而将非线性函数化为线性函数,再按线性参数的情形进行处理    非线性函数可以线性化,非等精度测量可以通过单位权化的方法转化为等精度测量后再处理,因此等精度测量的线性参数是最小二乘法处理的最基本形式 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理必须指出,最小二乘法原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出来的,但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理习习 题题   1. 为什么测量结果都带有误差？   2. 简述误差、相对误差、修正值的定义   3. 什么是真实值? 应用中如何选择？   4. 计算下列测量值的误差：      (1) 真值为102 mm的量块,测得值为103 mm。

 (2) 真值为6.42 μA的电流,用微安表测得为6.34 μA 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理5. 列出仪表示值误差、示值相对误差、示值引用误差和精度级别的表示式6. 某电压表刻度0～10 V，在5 V处计量检定值为4.995 V,求在5 V处仪表示值误差、示值相对误差和示值引用误差7. 0.1级,量程为10 A电流表，经检定最大示值误差为8 mA,问该表是否合格?8. 检定2.5级,量程为100 V的电压表,在50 V刻度上标准电压表读数为48 V,试问此表是否合格？9. 测量某一质量G1=50g,误差为δ1=2g；测量另一质量G2=2kg,误差为δ2=50g,问哪一个质量的测量效果好？第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理10. 某一电压表测出电压为120V，标准表测出电压为125V,求绝对误差、相对误差和分贝误差11. 误差的绝对值与绝对误差是否相同？12. 误差来源一般应如何考虑？13. 解释精度、精密度、正确度和准确度的含义14. 简述系统误差、随机误差和粗大误差的含义15. 服从正态分布的随机误差有哪些性质？16. 正态分布随机误差小于零的概率是多少？第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理17. 正态分布随机误差在±σ、±2σ、±3σ内的概率是多少？18. 计算单次测量均方根差的贝赛尔公式是什么？19. 对某量等精度测量 5 次29.18,29.24,29.27,29.25,29.26,求平均值及单次测量的均方根差σ。

20. 对某量等精度独立测量16次,单次测量均方根差为1.2,求平均值均方根差21. 实验中为什么要进行多次测量？22. 若xi为多次等精度独立测量值,则测量结果的最佳值是什么？第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理  23. 什么叫权？ 什么叫等精度测量和不等精度测量？ 在不等精度测量时,最佳值及其均方根差如何计算？24. 对某物理量独立测量6次,结果如题24表所示，求其平均值及均方根差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理题24表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理25. 不等精度计量中,某测量结果的权为零,是什么意思？26. 随机误差的传播公式是什么？27.  计 算 f=x3         的 值 及 其 均 方 根 差 σf 已 知x=2,σx=0.1,y=3,σy=0.2,且x与y不相关28.  按A=UIt计算焦耳值时,独立测得各量及其σ为I=10.330±0.015,U=120.7±0.3,t=603.2±0.2,求A±σA29. 电阻R上的电流I产生的热量QI2Rt,式中t为通过电流的持续时间已知测量I与R的相对误差为1％,测量t的相对误差为5％，求Q的相对误差。

 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理      30.  电 能 的 计 算 公 式 为 W=(V2/R)t,若 已 知γV=±1%,γR=±0.5%，γt=±1.5%,求电能的相对误差    31. 发现系统误差是好事还是坏事？   32. 举出消除系统误差的一些基本方法    33. 将下列数保留4位有效数字：            3.141 59 2.717 29 4.510 50 3.216 50            5.6235        6.378 501       7.691 499   34. 根据有效数字运算规则计算下列各式：         （1） 60.4+2.02+0.222+0.0467                     （2） 10.2838+15.01+8.695 72 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理（5） (25.8) 2                                 （6） (77.7) 2 （7）                                    （8） （9）lg2.00                          （10）ln106       35. 对含有粗大误差的异常值如何处理和判别？       36. 对某被测量进行10次测量,测量数据为100.47、100.54、100.60、100.65、100.73、100.77、100.82、100.90、101.01、101.40,问该测量列中是否含有粗大误差的测量值。

第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理37. 对某信号源的输出频率fx进行了10次等精度测量,结果为110.105,110.090,110.090,110.070,110.060,110.050,110.040,110.030,110.035,110.030,单位为kHz，试判别是否存在粗大误差  38. 用等臂电桥（R1≈R2）测电阻Rx，电路如习题38图所示电桥中Rs为标准可调电阻, 利用交换Rx与Rs位置的方法对Rx进行两次测量，试证明Rx的测量值与R1及R2的误差ΔR1及ΔR2无关 39. 在习题39图中,U1＝U2＝40V，若用50V交流电压表进行测量,允许总电压U的最大误差为±2％，问应该选择什么等级的电压表？ 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理习题38图 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 习题39图 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理40. 用示波器观察两个同频率的正弦信号如习题40图所示, 图中x1 cm,x2=8.0cm（1）计算u2导前u1的角度φ；（2）由于示波器分辨力的限制, x1cm,x2cm，问用这种方法测量造成的误差Δφ及Δφ/φ各为多少？41. R-C相移网络如习题41图所示,u2导前u1的角度为φ=arctan1/(ωRC),已知ω、R、C以及Δω/ω、ΔR/R、ΔC/C,求φ角的绝对误差Δφ和相对误差γφ。

 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理习题40图 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理 习题41图第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理42. 设有大电阻RM=RM0±ΔRＭ,小电阻Rm=Rm0±ΔRm,已知RMRm,它们的相对误差近似相等在把这两个电阻分别串、并联时,哪个电阻的误差对总误差的相对误差影响大？43.  两个电阻的测量值分别是R1=10  Ω±20%，　R2=100±0.4Ω，试求两个电阻在串联和并联时的总电阻及其相对误差44. 设某类电流表通过的电流I与指针偏转角α之间的关系是I=k tanα,式中k为常数,电流测量误差最小的条件是什么？第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理45. 对某信号源的频率的输出频率fx进行了8次等精度测量，数据如下： 求平均值及方差 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理46.  对某电阻连续测量10次,  测得值为（单位为kΩ）：　 999.31、999.41、999.59、999.26、999.54、999.23、999.14、999.06、999.92、999.62, 对该测量结果进行处理。

  47. 有4个计量机构用同一个标准电池作为传递标准进行量值比对,各计量机构给出计量结果及其方差分别为：U1=1.018 153 V  σ1=2×10-6V  U2=1.018 360 V  σ2=3×10-6V U3=1.018 897 V  σ3=6×10-6V         U4=1.018 160V      σ4=3×10-6V求4个测量机构结果的加权算术平均值及算术平均值的标准差第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理48. 用两种不同的方法测电阻,若测量中均无系统误差,则所得阻值（单位为Ω）为：第一种方法（测8次）:   100.36,100.41,100.28,100.30,100.32,100.31,100.37,100.29第二种方法（测6次）:   100.33,100.35,100.29,100.31,100.30,100.28（1） 若分别用以上两组数据的平均值作为电阻的两个估计值,问哪个估计值更可靠？（2） 用两次测量的全部数据求被测电阻的估计值（加权平均值）第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理49. 试述最小二乘法原理。

50. 在平面上已经独立测得n个点： (x1, y1),(x2, y2),…,(xn, yn),n≥2,xi无误差,而yi等精度,求用最小二乘法配合这些点的直线51. 某测力计示值D与测量时温度T的对应关系(独立测得)如题51表所示   题51表第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理设上述测量中T无误差而D等精度,试用最小二乘法求D随T变化的线性关系 kHz， 1001.501  kHz， 1001.199  kHz， 1002.011  kHz，1001.679 kHz，1001.006 kHz 53. 在19℃、20℃、21℃、22℃、23℃各温度Ti上校准电阻器的电阻值，得到相应于各温度的修正值yi分别为-1 mΩ、0mΩ、2 mΩ、5 mΩ、7 mΩ现需要在30℃下使用该电阻器,试求温度为30℃时的电阻修正值第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理54. 测量x和y的关系,得到题54表所示的一组数据,试用最小二乘法拟合，求这些实验数据的最佳曲线 题54表 第第3章章 计量误差与数据处理计量误差与数据处理55. 用某温度计对水温进行测量,重复测量8次得到测量数据为19.9℃、19.8℃、20.5℃、20.1℃、19.6℃、19.8℃、20.3℃、20.2℃。

已知温度计在示值为20℃时的校准值为20.4℃, 请问该温度计测量结果是否需要修正？ 如果要修正,修正值为多少？ 已修正的测量结果是多少？ 。