高三数学-第8讲.空间向量及其在立体几何中的应用.尖子.删解析.doc

空间向量及其在立体几何中的应用第8讲 知识结构图真题再现（2013年北京17题14分）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，．⑴求证：平面；⑵求二面角的余弦值；⑶证明：段存在点，使得，并求的值．【解析】 ⑴ 平面；⑵ 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，∴，可取，，可取，，结合图象知二面角为锐二面角，故其余弦值为．⑶ 设是直线上的一点，且，∴，解得．∴．由知，，即，解得．因为，所以段上存在点，使得，此时．【备注】建议讲完所有例题后有时间再讲解真题,本块设计意图是让学生了解高考出题思路．小题热身1．已知向量，，则与的夹角为（ ）A． B． C． D． 【解析】C．2．设是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不确定【解析】C．3．若、均为非零向量，则是与共线的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】A．8．1空间向量概念与运算知识梳理知识点平面向量空间向量共线共面条件对平面任意一点和不重合的2点，若（其中），则三点共线对空间任一点和不共线的3点．若满足（其中），则四点共面向量基本定理如果，是平面内的2个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使如果3个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使向量的坐标运算已知、，则：，且（为非零向量）已知，，则：且且夹角和距离设，，则：，，如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么设，，则：，，，已知，，则【教师备案】对比平面向量的结论引导学生填写空间向量的相关知识点公式．空间向量是在高二上学期学习的，学生基本都忘记了，所以基本概念和计算不宜讲太快，讲授时建议从正面引导学生回忆以达到复习的效果，不宜太绕逻辑．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对于空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使．由定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．经典精讲考点1：空间向量的基本概念【例1】⑴有以下命题：①如果向量，与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是不共线；②为空间四点，且向量，构成空间的一个基底，那么点不共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③⑵命题：①若与共线，与共线，则与共线；②向量、、共面，则它们所在直线也共面；③若与共线，则存在唯一的实数，；④若三点不共线，是平面外一点，，则点一定在平面上，且在内部．上述命题中的真命题有 ．【解析】⑴ C⑵ ④【教师备案】⑵的④是由平面类比到空间的结论，空间向量除了基本概念外还需掌握基本的运算，下面我们一起看空间向量的基本运算．考点2：空间向量的运算【例2】⑴已知，，求，，．⑵已知空间三点，，，①求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积；②若向量分别与向量,垂直，且，求向量的坐标．【解析】⑴ ，，，⑵ ①．②或．8．2空间向量基本定理的应用经典精讲考点3：空间向量基本定理的应用【例3】⑴平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）A． B．C． D．⑵已知空间四边形，其对角线为、分别是、的中点，点段上，且，怎样用基向量，，表示向量？⑴ ⑵【解析】⑴A．⑵．【教师备案】空间四点共面的证明过程 空间任意一点和不共线三点，若点满足向量关系，且四点共面，则 ．证明：因为四点共面，所以，，，令，，，则．【拓展】已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且分成定比，为的中点，求满足的实数、、的值．【分析】结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出、、的值．【解析】，，．8．3建系解决立体几何证明与计算知识梳理我们发现空间向量使得垂直和平行关系能够顺利转换为代数计算问题，于是空间向量最主要的应用就呈现在同学们眼前，应用空间向量解决立体几何中的垂直与平行问题．考点4：垂直与平行关系用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线，的方向向量分别是，平面 ， 的法向量分别是，，则①，；②；③；（前提：）④，；⑤，；⑥．【例4】⑴如图，在长方体中，，，，点在棱上，且，点在棱上，且，点分别是，的中点，求证：．⑵如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，为的中点，为的中点．证明：直线平面；⑶已知正方体中，分别是棱的中点，求证：平面平面．第⑴题 第⑵题 第⑶题【分析】⑴ 建立空间直角坐标系，设法证明存在实数，使得．⑶ 要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．【解析】⑴ 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，．∵，∴，∴．同理可得：，，．∵，∴，又，∴．【设计意图】1．证明线线平行的步骤：⑴ 证明两向量共线；⑵ 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2．本题还可采用立体几何法证明，连接，，证明是平行四边形即可，结论一眼就可看出，论述清楚却比较困难，让学生体会空间向量的简洁和方便．⑵ 作于点．如图，分别以所在直线为轴建立坐标系．则，，，，，，，．设平面的法向量为，则，，即取得．∵又平面，∴平面．【设计意图】本题用立体几何证明相对比较困难，引导学生分析困难在那里？空间向量如何证明线面平行，这是一种普遍的思想，解本题较为快捷．⑶ 解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则．取的中点的中点的中点，则．，，，，∴，，∴，，∴平面，平面，∴平面平面．解法二：设平面的法向量是，平面的法向量是．由得取，得．由得取，得．∵，∴平面平面．【拓展】如图，在底面是菱形的四棱锥中，点在上，且．问：在棱上是否存在一点，使平面？请证明你的结论．【解析】存在点，且为棱的中点，∵，∴、、共面，又平面，从而平面．【点评】证线面平行常用判定定理、证面面平行或建空间直角坐标系、通过平面的法向量与直线的方向向量垂直．以上证法是利用向量的共面定理来证明较为独特，思路新颖与新教材密切结合．【例5】⑴如图，棱长为1的正方体中，是、的中点．求证：；⑵如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，、分别为、的中点．求证：平面．⑶如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，，，求证：平面平面． 第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】⑴ 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，．∵，∴，即．【设计意图】用空间向量比较快捷，体现空间向量的价值．立体几何用勾股定理的逆定理也可以解决．⑵如图所示建立空间直角坐标系，设，则，，，，，．，；，，，，则，∴．∵，∴，即．又，∴平面．【设计意图】证明直线垂直于平面，在空间向量中有两种思路，一种是直线的方向向量与平面的法向量平行，另一种是直线与平面内的两个向量垂直，本题用的是另一种．⑶ 由正弦定理，，∴，∴，，∴．如图，以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，∴，∴，∴，∵，∴平面平面．【教师备案】利用向量解决立体几何问题是高考考查的一种重要方法，也是立体几何中求“夹角与距离”的一个通法，尤其是利用平面的法向量求二面角的大小，更是学生“最爱的选择”，但是，求二面角的两个面的法向量是一个计算难点，也是一个易错点．下面介绍一种简便、易行的好方法给大家，请关注．设平面内两条相交直线的方向向量分别为，；记平面的法向量为，则有，，，即．求解口诀 向量写两遍，去边取中间，相乘再相减．图解 见图．【设计意图】这几个题都是比较难用立体几何法证明的，或者说是，用立体几何法比较难说清楚的，重在强调空间向量法．如何求平面的法向量是教师在教学中可以下功夫研究的事情，在教学中加入一些自己研究的小结论，会使得课程增色不少．考点5：空间中的角知识梳理空间向量除了处理空间中的平行和垂直外，在处理空间中的线线夹角、线面角、面面角问题上也能起到快捷有效的作用．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设是两条异面直线，过空间任意一点作直线，，则与 所夹的锐角或直角叫做异面直线与所成的角．设异面直线与的方向向量分别是，与的夹角为，显然，则②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 设直线的方向向量是，平面的法向量是，直线与平面 的夹角为 ，显然，则．③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作 ．在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作射线，，则叫做二面角 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角 的大小就是向量与的夹角的大小．方法二：如图，分别是二面角的两个半平面，的法向量，则与该二面角的大小相等或互补．④根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【例6】⑴如图，四面体中，，，求异面直线与所成角的余弦值．⑵如图，在正三棱柱中，，点是的中点，点在上，且．求直线和平面所成角的正弦值．⑶如图，正四棱柱中，，点在上，且．求二面角的平面角的余弦值．第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】⑴ ．⑵．【教师备案】求线面角共有三种主要方法，第一种是按照定义做出线面角．第二种是通过等积转化求出高，用高比斜边求线面角的正弦值．第三种是空间向量的方法．⑶．【拓展】如图，在空间四边形中，，，，，，，。