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第五节第五节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影复习复习 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底．图形上不封顶，下封底．解解一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例例1,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C 空间曲线可以看作两个曲面的交线．空间曲线可以看作两个曲面的交线．xyzO两曲面的交线 空间曲线可以看作两个曲面的交线空间曲线可以看作两个曲面的交线．xyzO两平面的交线例例2 2 方程方程 表示什么样的曲线？表示什么样的曲线？解解 交线如图交线如图:例例3 3 方程方程 表示什么样的曲线？表示什么样的曲线？解解交线为交线为:例例4 4 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.解解例例5 5 方程组方程组 表示怎样的表示怎样的曲线？曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，表示它们的交线，表示它们的交线， 为椭圆。

为椭圆二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线 的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .例例1.1. 将下列曲线化为参数方程表示:解解: : (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为例例2. 求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例例3, 直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和  , 得旋转曲面方程为三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程空间曲线在坐标面上的投影过程：空间曲线在坐标面上的投影过程：空间曲线空间曲线投影柱面投影柱面曲线的投影曲线的投影例如例如在xoy 面上的投影曲线方程为例例4 4 求曲线求曲线 在各坐标面上的投影在各坐标面上的投影.解解 （（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段（（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段（（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，截线方程为截线方程为解解:如图所示如图所示:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影: :空空间间立立体体空空间间曲曲面面空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空空间间立立体体曲曲面面例例6解解:半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为表示一个圆表示一个圆它表示一个圆所围成的区域它表示一个圆所围成的区域.则交线则交线ΓΓ在在xOy面上的投影为面上的投影为:∴ ∴ 所求立体在所求立体在xOy面上的投影为面上的投影为: 1.解解yxzo得得交线交线L：：由由例例7z =0.1yxzo解解L...得得交线交线L：：.投影柱面投影柱面由由例例8◆◆空间曲线的一般方程、参数方程．空间曲线的一般方程、参数方程．◆◆空间曲线在坐标面上的投影及投影方程．空间曲线在坐标面上的投影及投影方程．四、小结与教学基本要求：四、小结与教学基本要求：◆◆空间立体或曲面在坐标面上的投影及投影方程．空间立体或曲面在坐标面上的投影及投影方程．◆◆掌握掌握:练习题练习题解解: 交线方程为交线方程为:在在 面上的投影曲线的方程为面上的投影曲线的方程为:消去消去z, 得投影柱面方程得投影柱面方程:◆Fig 1 (2)(1)(3)Fig 2思考思考:交线情况如何?交线情况如何?Fig 3。