带逻辑源项的两种群一趋化物Keller-Segel模型解的有界性.docx

分类号 密级U D C 编号 10736硕 士 学 位 论 文带逻辑源项的两种群一趋化物Keller-Segel 模型解的有界性研 究 生 姓 名：刘 吉指导教师姓名、职称：伏升茂 教授专 业 名 称：应用数学研 究 方 向：偏微分方程及其应用二 〇 一 三 年 五 月Boundedness of solution in a Two-Speciesand One-Chemoattractant Keller-SegelModel with Logistic SourceJi Liu西 北 师 范 大 学研 究 生 学 位 论文 作 者 信 息论文题目带逻辑源项的两种群一趋化物Keller-Segel 模型解的有界性姓 名 刘 吉 学 号 2010210779专业名称 应用数学 答辩日期 2013.05.24联系 E_mail通信地址 (邮编 )：备注：8¹Á‡ iAbstract iic ó 11 1 Ù ÛÜ) •3•˜5 71 2 Ù k O 131 3 ٠̇(Jë•©zy² 3133ôÖa¬Æ—ÏmuL Ø© 35375Á ‡©ïÄ ‘Ü6 ‘ ü«+˜ªzÔ Keller-Segel . N)¯K . 3 ·b e §y² ÷v¿©1w Щ^‡ T . N ;)•3•˜ §¿ …T)3 (0, +∞)þk. .' …c : Keller-Segel . ; Ü6 ; k O ; N•35 ; k.5 .iAbstractThis paper is concerned with the global solution of a two-species and one-chemoattractant Keller-Segel model with logistic source. Under appropriate assump-tions, we prove that this model with any sufficiently smooth initial data possesses aunique global-in-time classical solution which is bounded in Ω × (0, ∞).Keywords: Keller-Segel model; Logistic source; A priori estimates; Globalexistence; Boundedness.ii ut = ∆u − χ · (u v) + g(u), x ∈ Ω, t > 0, 0 = ∆v − v + u, x ∈ Ω, t > 0, ∂u = ∂v = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(x, 0) = u0(x) ≥ 0, x ∈ Ω,2c óªzŠ^´‚¸¥ zÆÔŸéŒ$Ä«+ $Ä ) K• . ùU —î‚ ½•$ĽöÛܽ•$Ä9ÛÜEÄ . ªz$Ä´ŠXzÆÔŸßÝp•• $Ä § Kªz$Ä´ŠXzÆÔŸß Ý$ •• $Ä . ªzŠ^´[œD ˜ «- ‡å» . dz Æ& ÒÚå DÂû½ [œ ü †-| §~X¹|„¥ [œD .2005c §HorstmannÚ Winkler3 [1]¥(½ Keller-SegelªzXÚ ut = ∆u − · (f (u) v), vt = ∆v − v + u (0.1). »•ê §Ù¥ f (u)´ªz¯aÝ . 3 f (u)÷v, O•5^‡ ž §¦‚éXÚ (0.1) )ïá ˜‡k O¿ ) k.5Ú N•35 . d §¦‚ ‰Ñ 3k•½Ã• ž mSÃ.)•3 ^‡ §3ù«œ/evkk O .2008c §Winkler[2]3˜‡1w k.«• Ω ⊂ Rn¥ïÄ Ô -ý ªzXÚ ∂νÙ ¥ χ > 0§g(u) = Bu − buα´ í 2 Ü 6 § Ù ¥ α > 1, B ≥ 0§ …b > 0.© [2]Ú\ f) Vg §3 α > 2 − 1n b ey² ‘?¿šKЩŠ u0 ∈L1(Ω) f) N•35 . d „ïá ù«f) k.5 . , §[2]„L² §XJ b¿©Œ¿ …éu,˜ γ > n §u0 ∈ L∞(Ω) 3 Lγ(Ω)¥ ‰ê¿© §K)´Ûk. . • §3 α > n2 œ¹e §U 3 L∞(Ω)¥é ˜‡k.8 §Tk.8•ª¬áÚl L1 ¥ ?¿Ð©ŠuÑ f) .2010c §Winkler [3]3˜‡1w k.à«• Ω ⊂ Rn(n ≥ 1)¥é Ô - Ôª1 u1t = ∆u1 − χ1 · (u1 v), x ∈ Ω, t > 0, 2tvt = ∆v − γv + α1u1 + α2u2, x ∈ Ω, t > 0. u1t = ∆u1 − χ1 · (u1 v) + µ1u1(1 − u1K1 ), x ∈ Ω,K2 ), x ∈ Ω,u2t = ∆u2 − χ2 · (u2 v) + µ2u2(1 − u2 v = ∆v − γv + α u + α u , x ∈ Ω,K1 , u∗2 =K2 , v∗=α1K1 v, t∗= γt, x∗=1γ , χ∗2 = γ , µ∗1 = γ , µ∗2 =γ , α∗=1 u1t = ∆u1 − χ1 · (u1 v) + µ1u1(1 − u1), x ∈ Ω, t > 0, 2tvt = ∆v − v + u1 + αu2, x ∈ Ω, t > 0,zXÚ  ut = ∆u − χ · (u v) + f (u), τ vt = ∆v − v + u,N eumann>Š¯K šK )? 1 ïÄ §Ù¥ τ > 0, χ ∈ R§1w¼ê f (s) =ks − cs2´˜‡˜„ Ü6 ‘§Ù¥ s ≥ 0, k > 0¿ …c > 0. © [3]L²µXJ c¿©Œ §Kéu ¤k¿©1w ЩŠ §T¯Käk•˜ ˜‡'u ž m N;) §…T)3 Ω × (0, ∞)¥k. .2011c §Horstmann [4]ïÄ Xeü«+˜ªzÔ Keller-Segel .u = ∆u2 − χ2 · (u2 v), x ∈ Ω, t > 0, (0.2)§£ã [œàÜ @Ï ã[œ ü 5Æ . aquü«+ Keller-Segel . §±Ü6 ‘“O “" ”O• ‘ž §ƒAu (0.2) *Ñ -ªz -O• .•t 1 1 2 2t > 0,t > 0,t > 0,(0.3)Ù¥ µ1Ú µ2©OL« u1Ú u2 O•Ç §K1Ú K2©O´ u1Ú u2 «1Uå .y-u∗ = u1 u2 γ √γx,χ∗ = χ1α1 1 χ2α1K1 µ1 µ2 α2K2α1K1 ,r §‚ “\ (0.3)¿ K ‘∗’§ÒŒ ± (0.3) Ãþj/ªu = ∆u2 − χ2 · (u2 v) + µ2u2(1 − u2), x ∈ Ω, t > 0,2(0.4)¿šK ui0 ∈ C0(Ω)(i = 1, 2)±9 v0 ∈ W 1,θ(Ω)(θ > n)§(0.4)äk•˜(½i1,Ù¥ 0 0þ´~ê . ©Ì‡ïÄ (0.4)3k.1w«• Ω ⊂Rn(n ≥ 1)þ ÷v N eumannÐ!>Š^‡∂u∂ν =∂v∂ν = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ ΩšK) N•35Úk.5 .- a = max {a1, a2}§µ = min {µ1, µ2}§Kfi(ui) ≤ a − µu2 (∀ui ≥ 0, i = 1, 2). (0.5)(0.5)¥¹kÜ6a O••› §Ïd §•› [œ —Ý Ã•O• . ꊢ (ëw [5]½ [6])| ± ù˜ß Ž .éuü˜«+ ‘Ü6 ‘ Keller-Segel . §3 n = 1 œ/ (ëw [7])½ n =2 œ/ (ëw [8]Ú [9])e §Ù)´k. . 3ù ü«œ¹e §^ÄåXÚnØ¥rŒ ó ä)û ) k.5¯K §l ² ) ÛÄåÆ §¿ …3˜ ‘Ú‘µee §k• ‘á Úf (Jéuü˜«+ ‘Ü6 ‘ Keller-Segel .´·^ . éu n ≥ 3 œ/ (ëw [3]), e µ¿©Œ §Kéu ¤k¿©1w Щ^‡ §Ù)´k. .© ‘3ò ‘kÜ6 ‘ ü«+ªzXÚ) k.5(Jí2 –‘kÜ6‘ ü«+ªzXÚ¥ §Ì‡(J•½ n 0.1. Ω ⊂ Rn(n ≥ 1)´˜‡ ‘k1w>. k.à«• §¿ …0 0§ • 3 µ0 > 0÷ v X e 5 Ÿ µe fi ∈ Wloc∞(R)(i = 1, 2)÷v fi(0) ≥ 0§¿ …(0.5)'u,˜ µ ≥ µ0¤á §Kéu?¯N) (u1, u2, v)§Ù¥ ui(i = 1, 2)Ú vþ´šK …3 Ω × (0, ∞)¥k. .32 dt | v|2=1( | v|2 + u1 χ2 ) = ∆( | v|2+ χ2 ) − |D2v|2− | v|2− u1∆vχ1 u1(1 − u1) +2 . Ïd §(Ü (0.5)221u22( | v|2 + u1 χ2 ) ≤ ∆( | v|2+ χ2 ) − | v|2− ( 2 )u21χ2 −χ1 +χ2 ÷v ÔØ ª2 2 1Ù¥ bÚ cþ´ ~ê . e Ω´à …3 ∂Ωþ ∂|∂νv| ≤ 0§Kd•ŒŠ nŒ z´kŒ ±ÏL* {Ñ/Vã © Øyg Ž µ/ªþ‡© (0.4) 1n‡• §1 d v · ∆v − | v|2 + u1 · v + α u2 · v.3 χi > 0(i = 1, 2) œ/e §d (0.4) 1˜‡• §Ú1 ‡• §±9 v · ∆v =∆( 2 | v|2) − |D2v|2Œd 1dt 2 χ1 + αu2 1 2 u1χ1 +αu2− αu2∆v + µ1 αµ2χ2 u2(1 − u2).Ï• |∆v|2 ≤ n|D2v|2§d YoungØ ªŒ −u1∆v ≤ nu + |D2v|2≤ nα2 + |D2v|2Ú −αu2∆vd 1dt 2 χ1 + αu2 1 2 u1χ1 +αu2 µχ1 −n− ( αµ nα22 )u22 + (1χ1 +αχ2 )a.µ > max { nχ1 , nχ2α }§K¼ê z := 2 | v|2 + u αu2zt ≤ ∆z − bz + c, (0.6)2. §l á= uÚ v•´k. .e χ1, χ2¥– k˜‡š §Kþãy²L §Ã{?1 . , §•ŒŠ n¿Ø´d (0.4) k.5 •˜å» . ,˜«ŒU å»´ MoserS “§§Ì‡Äu3 (0.6) üàÓ¦ zm−1§, È©! ‰· O¿3 m → ∞ž éÑy ~ê?1 Jl . ©¢y 1˜Ú §=é z ˜gÈ© . • °(/` § ©Øy Ø%Ò´éu?¿Œ m ∈ N9 · ïá ~ê b0, . . . , bm þmbk · (u1 + αu2)k| v|2m−2k 。