周水生-席位分配问题.ppt

公平”的席位分配模型,,1. 问题：美国众议院如何根据各州人口的比例分配众议院议员的名额? s-- 州数, pi-- 第 i 州人口数, p =Σ pi--总人口数 N--议员数, ni--第 i 州议员数, N=Σni. 根据按人口比例分配的原则给出公平的议员席位分配的方案{n1, …, ns}. qi=(pi/p)N: 第 i 州应占有的议员的份额. 求{ni}，与{qi}最接近一. 问题与背景,2. 背景 1787年美国颁布宪法, 规定“众议院议员的名额…将根据各州的人口比例分配”, 并于1788年生效. 1791年 Alexander Hamilton 提出了议员席位分配的方法, 并于1792年通过. 1792年 Thomas Jefferson 提出了议员席位分配的除子法 1851年开始用Hamilton法分配议员的席位一. 问题与背景,二. Hamilton 法及有关悖论,1. Hamilton 法： 记[qi] = int qi, 则有 qi-1[qi] qi, N-sΣ[qi]≤N . 若等号成立, 则有 ni= qi=[qi] . 否则, 有 Σ[qi] N . 令 k = N- Σ[qi] , 0 k s . 记 ri = qi - [qi] , 不妨令 r1  r2  rs. 则有ni = [qi] +1, i = 1,…,k ni = [qi] , i = k+1,…,s,Alabama 悖论,1881年当议会的总席位由299席变为300席时，各州的人口数都没有变化，重新调整议员席位的结果却使Alabama州的议员席位从 8人减少为 7人。

——这就是著名的 Alabama 悖论,悖论重现,后来，1890年人口普查之后，在各州人口数没有改变的情况下，当总席位由359席增加到360席时，Arkensas 州的议员的席位又丢掉了一个Maine 州也出现了类似的情况1910年，Hamilton 的分配方法被停止使用了问题的研究没有停止…….,1920年，Harvard 大学的数学家 Edward Huntington，Joseph Hill 开始研究这个问题 1941年，基于代表性不公平度的数学模型，他们提出了EP（Equal Proportions）法，用以分配议员的席位并且由Roosevelt 总统将它写入了法律，至今仍然延用 1970年Michael Balinsky & Peyton Young 进一步研究 1982 年提出了著名的 Balinsky & Young 不可能定理悖论的举例(1),2. 有关悖论 10. Alabama 悖论: 人口不变, 总席位增加导致某州席位减少. 例1. P = 200, s = 3, N = 2021 州 pi pi/p qi ni A 103 0.515 10.3 10 B 63 0.315 6.3 6 C 34 0.170 3.4 4,20. 人口悖论: 人口增长, 分额增加的州可能失掉席位. 例 2 . P=1000, s=3, N=3, 人口增加100人后… 州 pi pi/p qi ni A 420 0.420 1.260 1 B 455 0.455 1.365 1 C 125 0.125 0.375 1,悖论的举例(2),悖论的举例(3),30. 新州悖论: 原州人数不变, 增加新州(人数增), 席位按比例增, 将导致原州席位减少. 例 3. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, s’=3, N’=5 州 pi qi ni A 623 2.492 2 B 377 1.508 2,Hamilton 法解释,3. Hamilton 法的数学模型 q = (q1,…,qs)T: 份额向量, 1Tq=Σqi =N n = (n1,…,ns)T: 分配向量, 1Tn=Σni =N 它们均位于s维空间的s-1维单纯形 (s维空间的超平面)中 .,Hamilton 法解释,对于 s = 3 的情形: 经变形,有 10. n, q 是高为 N 的正三角形上的点，该点到三个边的距离为它们的坐标---齐次坐标。

20. 将三角形各边N等分，分别以平行各边的直线连接相应的等分点连线在三角形内的交点将是三角形上有整数坐标的格点， 这些点构成席位分配向量的集合{n} 30. 连线将三角形分为若干小三角形份额向量q为三角形上任意一点 该点到它所在的小三角形三个边的距离分别为三个坐标的小数部分Hamilton 法解释,40. 按照最大小数部分增加一个席位的Hamilton法相当于在 q 所在的小三角形中选择最靠近 q 点的顶点（格点 n）为席位分配方案 50. Hamilton 分配域：作小三角形内心，则可以构成以 n 为心，以上述若干内心为顶点的正六边形 如果 q 落入某个小六边形内，则选择该六边形的中心 n 为席位的分配方案三. Jefferson的除子法,考虑 Σqi = N 且 Σ[qi] N 的情形: 选择适当的除子 λ, 计算 qi* = qi/λ, 使得Σ[qi*] =N. 则取 ni = [qi*] . 除子法的数学模型？ “名额分配问题”，淑生，自然杂志，2（1993），46~50例 4 . P = 200, s = 3, N = 2021 州 pi qi ni qi ni A 103 10.3 10 10.815 11 B 63 6.3 6 6.615 7 C 34 3.4 4 3.570 3 λ = 0.92 qi* ni qi* ni A 103 11.2 11 11.75 11 B 63 6.8 6 7.19 7 C 34 3.4 3 3.88 3,,例 5 . P=1000, s=3, N=3(人口增加) 州 pi qi ni pi qi ni A 420 1.260 1 430 1.17 1 B 455 1.365 1 520 1.42 2 C 125 0.375 1 150 0.41 0 λ = 0.65 qi* ni pi qi* ni A 420 1.93 1 430 1.80 1 B 455 2.10 2 520 2.18 2 C 125 0.57 0 150 0.63 0,名额分配,例 6. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, s’=3, N’=5 州 pi qi ni pi qi ni A 623 2.492 2 A 623 2.595 3 B 377 1.508 2 B 377 1.570 1 C 200 0.835 1 λ = 0.80 qi ni pi qi ni A 623 3.12 3 A 623 3.24 3 B 377 1.88 1 B 377 1.96 1 C 200 1.04 1,四. 局部不公平度和Huntington法,1. 不公平度 称第 i 州平均每位议员代表的人口数 pi/ni为该州议员的代表性指标。

它可以用来度量议员席位分配公平的程度：若 pi/ni = pj/nj, 则称这两州代表席位的分配是公平的. 若pi/ni pj/nj, 则称第 j 州议员的代表性低于第 i 州议员的代表性.,(绝对)不公平度,令 dij = pi/ni - pj/nj, 则称|dij|为 i, j 两州席位分配的(绝对)不公平度 . 例 p n p/n |d| A 120 10 12 B 100 10 10 2 C 1020 10 102 D 1000 10 100 2 (绝对)不公平度无法比较不同组间席位分配不公平的程度,相对不公平度,令A, B两州的代表性指标为 p1/n1, p2/n2, 若 p1/n1 p2/n2 称 为席位分配方案(n1, n2)对A 的相对不公平度 .,若 p1/n1 p2/n2 称 为席位分配方案(n1, n2)对B 的相对不公平度 .,席位公平分配的Huntington法则,2. 席位公平分配的Huntington法则: 若i州转让一个席位给j州导致两州间相对不公平度的降低, 则进行这种转让. 连续进行这种席位的转让,直到任意两州间的转让不可能再降低它们之间的不公平度, 则可得到最优的席位分配方案 .,Huntington-Hill 算法,3. Huntington-Hill 算法 定理：在席位分配方案(ni, nj)的基础上,再增加一个席位, 方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1),当且仅当 Qi Qj, 其中 证明: 若方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1), 则有 pi/ni pj/nj . 若 pi/(ni+1) ≥ pj/nj, 可得Qi Qj . 若pi/(ni+1) pj/nj, 则由rj(ni+1, nj)ri(ni, nj+1)可得,,,充分性证明,反之, 如果 Qi Qj , 则有 当pi/(ni+1) ≥ pj/nj, 时, 有pi/ni pi/(ni+1) ≥ pj/nj pj/(nj+1), 显然, 方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1) . 当pi/(ni+1) ri(ni+1, nj), 从而可知方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1) .,Huntington—Hill 算法——Q值算法,注： 关于Q: 是代表性指标pi/ni和pi/(ni+1)的几何平均值.它表示在当前拥有ni 个席位的条件下, 考虑到再增加一个席位时的平均代表性指标. 称Q为Huntington—Hill 数。

Huntington—Hill 算法 1. 令 ni(0 )= 1, 计算 Qi(0), i =1,2,…,s . 2. 对于k=1,2,…, 取Qh(k)=max {Qi(k-1)} 3. 令 nh(k)=nh(k-1)+1, ni(k)=ni(k-1), i ≠ h 4. Σ ni(k) =N 计算结束, 否则转 2 继续 .,举例,例 7. 已知 p1= 103, p2=63, p3=34, 分配 N=21席位 n A B C 1 5304.5(4) 1984.5(5) 578.0(9) 2 1768.2(6) 661.5(8) 192.7(15) 3 884.1(7) 330.8(12) 96.3(21) 4 530.5(10) 198.5(14) 5 353.6(11) 132.3(18) 6 252.6(13) 94.5 7 189.4(16) 8 147.3(17) 9 117.9(19) 10 96.4(20) 11 80.4 11个 6个 4个,各方法比较,例 8. 六个州分配100个席位 州 人口p 份额q H法 J法 EP法 A 9215 92.15 92 95 90 B 159 1.59 2 1 2 C 158 1.58 2 1 2 D 157 1.57 2 1 2 E 156 1.56 1 1 2 F 155 1.55 1 1 。