2022 年南京大学自主招生试题.docx

2022 年南京大学自主招生试题 2022 年南京大学自主招生试题 一、填空题（每小题 7 分，共 70 分） 1.已知 A = {x | ?2 ?2} ，A ∩ B = {x | 1 9)，n S = 336. 则 n 的值为________________. 5.已知实数 a, b 满足 2b 2? a 2= 4 ，则| a ? 2b | 的最小值为 _____________. 6 .设 三个 复 数1z = cos A + i sin A ，2z = cos B + i sin B ，3z = cos C + i sin C, 且0321=++z z z ,则 cos( A ? B) = ______________________. 7.函数 f ( x) = x e ? ln(1 + x) + 2 单调减区间为 _____________________ . 8.用红、黄、蓝三种颜色给正五边形顶点着色，则没有相邻两个顶点有相同颜色的概率为_________________________ 9.设 A, B 是随机事件，且 P( A) = 8 5，P( B) = 4 1 ，()2 1= B A P 则 () B A P = ______________________ . 10 .过直线 2 x ? y + 3 = 0 和圆 x 2 + y 2+ 2 x ? 4 y + 1 = 0 的交点且面积最小的圆方程为__________________________ 二、（20 分） 设 a, b, c 为正数，且 a + b + c = 1. 求证： 3 101)1()1()1(2 2 2 ≥ + ++ ++c c b b a a 三、（20 分） 设 O 为 ?ABC 内任意一点， ?OBC ， ?OAC ， ?OAB 面积分别为321,,S S S . 证明： 1S OA + 2S OB +3S OC = → 0. 四、（20 分） 设 M 是直线 x + 2 y = 4 上一点，1F 与2F 是椭圆 12 6 2 2 =+ y x 的焦点.过点 M ， 以1F 、2F 为焦点作椭圆C. 问 M 在何处时，所作椭圆 C 的长轴最短，并求椭圆 C 的方程. 五、（20 分） 设正方体1111D C B A ABCD -的边长为 4， F 为 CD 中点， E 是1AA 上一点，且 2022 年南京大学自主招生试题 一、填空题（每小题 7 分，共 70 分） 1.已知 A = {x | ?2 ?2} ，A ∩ B = {x | 1 9)，n S = 336. 则 n 的值为________________. 5.已知实数 a, b 满足 2b 2? a 2= 4 ，则| a ? 2b | 的最小值为 _____________. 6 .设 三个 复 数1z = cos A + i sin A ，2z = cos B + i sin B ，3z = cos C + i sin C, 且0321=++z z z ,则 cos( A ? B) = ______________________. 7.函数 f ( x) = x e ? ln(1 + x) + 2 单调减区间为 _____________________ . 8.用红、黄、蓝三种颜色给正五边形顶点着色，则没有相邻两个顶点有相同颜色的概率为_________________________ 9.设 A, B 是随机事件，且 P( A) = 8 5，P( B) = 4 1 ，()2 1= B A P 则 () B A P = ______________________ . 10 .过直线 2 x ? y + 3 = 0 和圆 x 2 + y 2+ 2 x ? 4 y + 1 = 0 的交点且面积最小的圆方程为__________________________ 二、（20 分） 设 a, b, c 为正数，且 a + b + c = 1. 求证： 3 101)1()1()1(2 2 2 ≥ + ++ ++c c b b a a 三、（20 分） 设 O 为 ?ABC 内任意一点， ?OBC ， ?OAC ， ?OAB 面积分别为321,,S S S . 证明： 1S OA + 2S OB +3S OC = → 0. 四、（20 分） 设 M 是直线 x + 2 y = 4 上一点，1F 与2F 是椭圆 12 6 2 2 =+ y x 的焦点.过点 M ， 以1F 、2F 为焦点作椭圆C. 问 M 在何处时，所作椭圆 C 的长轴最短，并求椭圆 C 的方程. 五、（20 分） 设正方体1111D C B A ABCD -的边长为 4， F 为 CD 中点， E 是1AA 上一点，且 。