贝叶斯分析第2章.docx

§.4假设检验一、假设检验经典统计中处理假设检验问题的基本步骤：1•提出检验假设又称无效假设，符号是H ；备择假设的符号是H0 1Ho：0e00， H J0e©i其中0和®是参数空间中互不相交的两个非空子集0 1H 和 H 假设都是对总体特征的检验假设，相互联系且对立01H 总是假设样本差别来自抽样误差，零假设0H 是来自非抽样误差，有单双侧之分，备择假设1预先设定的检验水准为0.05 ；当检验假设为真，但被错误地拒绝的概率，记 作a，通常取a二0.05或a二0.12、 选定统计方法，由样本观察值按相应的公式计算出统计量的大小，如x值、2t值等根据资料的类型和特点，可分别选用Z检验，T检验，秩和检验和卡方 检验等3、 根据统计量的大小及其分布确定检验假设成立的可能性p的大小并判断结果若p >a，结论为按a所取水准不显著，不拒绝H，即认为差别很可能是由 0于抽样误差造成的，在统计上不成立；如果p

从上面两种方法可以看出，贝叶斯假设检验是简单的，无需选择检验统计量， 确定抽样分布，也无需事先给出显著性水平，确定其拒绝域，此外，贝叶斯假设 检验也容易推广到多重假设检验场合，当有三个和是三个以上假设时，应接受具 有最大后验概率的假设二、贝叶斯因子定义2.4设两个假设0与0的先验概率分别为兀与兀，后验概率分别为0 1 0 1a与a，则称：0 1B兀(x)= 后验机会比 =a0 a] = a0兀] 先验机会比 兀0兀1 W兀0为贝叶斯因子从这个定义可见，贝叶斯因子既依赖于数据x又依赖于先验分布“，对两 种机会比相除，很多人认为，这会减弱先验分布的影响，突出数据的影响，从这 个角度看，贝叶斯因子B"(x)是数据x支持00的程度一下具体讨论几种情况下 的贝叶斯因子贝叶斯因子表示数据x支持原假设的程度三、简单假设00二％ 对简单假设00暑丿在这种场合，两种简单假设的后验概率分别为兀 0 p( x 0 °)兀0P(x|0 0)+兀 1 p(x%)'a】二兀 1 p( x 0 J兀 0 p( x 0 0)+兀 i p( x| 0 J其中p(x0 )为样本分布，此时后验机会比a 0 _兀 0 p(x|0 °) a】 兀]p( x|0 ])要拒绝原假设00 = ^0丿，就必须有a 0 二 a】兀0 p( x 0 0)< 1，或孔 < 匹阻即要求 兀 1 p( x 01) 兀 1 p( x 0 0) 两密度函数数值之比大于临界值，这种场合下的贝叶斯因子B“ (x)丿0卩‘XP0), a1 p( x p i) 它不依赖于先验分布，仅依赖于样本的似然比，这时贝叶斯因子的大小表示了样 本X支持0的程度。

0四、复杂假设0对复杂假设0,0 1在这种场合，贝叶斯因子为还依赖于参数空间上的先验分布兀(6)，为探讨 该关系我们把先验分布兀(6)限制在0 O0上，并另0 1g 0(6) X 兀(6) 10 (6), g1(6) X 兀(6) 10 (6)0 1「兀 g (6) 6 G0 o 0 于是先验分布兀(6)二兀g (6) +兀g (6) = { 0 0 6 00 C10 0 1 1 |兀 g (6),6 e0 o0J 1 1 0 1后验概率比a0_ b0 P(x|6 加 0 g0(6 )d6 a 1 © p(xl6 片 g1(6 )d6于是贝叶斯因子(x)=业也0 = m°(X)5兀 1 斷 P(x 16) g1(6 )d6 m1(x)可见，此时贝叶斯因子Bn(x)还依赖于参数空间00与0］上的先验分布g和g，01 0 1这时贝叶斯虽已不是似然比，但仍可看做00与01上的加权似然比，它部分的消除了先验分布的影响，而强调了样本观察值的作用若60与61分别是6在00与0］上的极大似然估计(MLE)，那么经典统计中所使用的似然比统计量sup p( x 16)6匚00sup p( x 16)6e01是贝叶斯因子B兀C)的特殊情况，即认为先验分布g0(6 )与g1(6 )的质量全部集中五、简单假设对复杂的备择假设我们考察如下的检验问题:H :0 =0 ,H :0 ^00 0 1 1对原假设H0 :0 =0°作贝叶斯检验时不能采用连续密度函数作为先验分布，因为这种先验将给0=0°的先验概率为0,而后验概率也为0,所以一个有效的办法 是对0=0°的一个正概率兀°，而对0^0°给一个加权密度兀g]@）即0的鲜艳密度 为兀@）=兀 i （0）+兀 g（0）o 0° 1'1其中i0 G）为0 =0的示性函数，兀=i-兀，g G）为0 ^0上的一个正常密度函 0 ° 0 1 0 &1 0数，这里可把“看作近似的实际假设：H : 0*0 ]上的先验概率，如0 0 0 0此的先验分布是由离散和连续两部分组成。

设p（x0 ）为样本分布，利用上述先验分布得到样本x的边缘分布m(x) = I p(x|0 )兀(0 )d0 = p(x0 )兀 + m (x)兀0 0 0 1 1m1(x) = j _ P(x|0)g1(0)d00 h00从而简单假设与复杂备择假设(记为0 =哲鼻0 })的后验概率分别为1 °兀(0 lx) = p(x0 )兀 / m(x)0 0兀(0 lx) = m (x)兀 / m(x)i i i后验机会比业=兀0 p( x 0 0) ai 兀 i mi( x)从而贝叶斯因子为（x） = 3也=四如5 兀 o mi（ x）这一简单表达式要比后验概率计算容易的多，故实际中常常计算B气x），然后再 计算“ （0°|x），因为由贝叶斯因子的定义和a0+內=1可推得兀(0 lx) = [1 +01—兀 亠o ]-1兀 B兀(x)o。