112集合间的基本关系PPT精品文档.ppt

•1．．1.2　集合间的基本关系　集合间的基本关系 11．观观察察下下面面几几组组集集合合，，集集合合A与与集集合合B具具有有什么关系？什么关系？(1)A＝＝{1,2,3}，，B＝＝{1,2,3,4,5}．．(2)A＝＝{x|x＞＞3}，，B＝＝{x|3x－－6＞＞0}．．(3)A＝＝{正方形正方形}，，B＝＝{四边形四边形}．．对对于于两两个个集集合合A、、B，，如如果果集集合合A中中的的任任意意一一个个元元素素都都是是集集合合B的的元元素素，，那那么么称称集集合合A是是集合集合B的的，，记记作作A⊆⊆B(或或B⊇⊇A)．．用图表示为用图表示为 ．．子集2用平面上封闭曲线的用平面上封闭曲线的表表示示集集合合的的方方法法称作图示法．这种图称作称作图示法．这种图称作Venn图．图．2．理解子集概念注意以下几点：．理解子集概念注意以下几点：(1)不含任何元素的集合称作空集．规定：不含任何元素的集合称作空集．规定：是任何集合的子集．是任何集合的子集．(2)任何一个集合是它本身的子集．任何一个集合是它本身的子集．(3)对对于于集集合合A、、B、、C，，如如果果A⊆⊆B，，B⊆⊆C，，那那么么A C；；内部空集⊆3•(4)集集合合A不不包包含含于于集集合合B(A B)包包括括如如下下图图所示几种情况：所示几种情况：43．集合相等与真子集集合相等与真子集如如果果集集合合A的的所所有有元元素素都都是是集集合合B的的元元素素，，同同时时集集合合B的的所所有有元元素素都都是是集集合合A的的元元素素，，那那么么就就称称集集合合A等等于于集集合合B.(即即：：若若A⊆⊆B，，且且B⊆⊆A，则，则A＝＝B)如如果果集集合合A是是集集合合B的的子子集集，，并并且且存存在在x∈∈B，且，且 ，则称，则称A是是B的真子集．的真子集．值得说明的是：值得说明的是：x∉A5(1)集集合合A是是集集合合B的的真真子子集集，，即即A是是B的的子子集集，，并且并且B中至少存在一个元素中至少存在一个元素A的的元元素；素；(2)子集包括真子集和相等两种情况；子集包括真子集和相等两种情况；(3)空集空集∅ ∅是任何是任何非空非空集合的真子集；集合的真子集；不是67A8[例2]　判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}， (2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}，B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．9[例例3]　　已已知知M＝＝{x|x＞＞1}，，N＝＝{x|x＞＞a}，，且且M N，则，则(　　　　)A．．a≤1 B．．a＜＜1C．．a≥1 D．．a＞＞1[分分析析]　　为为了了形形象象直直观观地地表表示示集集合合的的关关系系．．可可借借助助数数轴轴，，让让a在在x轴轴上上运运动动，，通通过过观观察察归归纳纳M与与N的的关关系系，，进进而而得得出出1与与a的的关关系系．．10•[解析]　随随着着a在在x轴轴上上运运动动，，集集合合N也也在在变变化化，，满满足足MN的的情情况况如如图图，，显显见见a＜＜1，，故故选选B.11总总结结评评述述：：要要特特别别注注意意a能能否否取取到到1，，若若把把其其它它条条件件不不变变，，分分别别只只改改以以下下条条件件时时，，结结论如何：论如何：①①M＝＝ {x|x≥1}；； ②②N＝＝ {x|x≥a}；； ③③M⊆⊆N；；④④M⊇⊇N；；⑤⑤M N.12已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}(1)若B⊆A，则a的取值范围是________；(2)若A⊆B，则a的取值范围是________；(3)若AB，则a的取值范围是________；(4)若A＝B，则a的值是________．[答案]　(1)a≤3　(2)a≥3　(3)a>3　(4)3[解析]　(1)若B⊆A应满足a≤3；(2)若A⊆B应满足a≥3；(3)AB应满足a>3；(4)若A＝B则a＝3.13[例4]　设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋ 2(a＋ 1)x＋ a2－ 1＝ 0， x∈R}， 若B⊆A，求实数a的值．[分析]　B⊆A包括B＝A与BA两种情形．当B＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B A时，有B＝∅或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．14[解析]　A＝{－4,0}1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，∴a＜－1，3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1，经验证a＝－1时，B＝{0}满足．综上所述a＝1或a≤－1.15[点评]　①BA时，容易漏掉B＝∅的情况；②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，求得a值再验证BA是否成立；③分类讨论应按同一标准进行．本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ<0对应B＝∅.16若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B⊇A，求p、q满足的条件．[解析]　因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅.∴A＝{1}，{2}或{1,2}．(1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2；(2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.17[例5]　　已已知知集集合合A＝＝{x，，xy，，x－－y}，，集集合合B＝＝{0，，|x|，，y}，，若若A＝＝B，，求求实实数数x，，y的的值值．．[分分析析]　　有有限限集集合合的的相相等等，，即即集集合合中中的的元元素素一一一一对对应应相相等等，，可可以以由由此此建建立立关关于于x、、y的的方程组来解决问题．方程组来解决问题．18[解析]　(1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，∴x＝－1，∴x＝y＝－1.19(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为______．[答案]　2[解析]　∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.20[例6]　(1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．21[解析]　(1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a，b，c}共1个，另外还有空集∅，因此集合A共有8个子集．(2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.22[例7]　若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．[错解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2.23[辨析]　要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据B A，求m的值．在这里未考虑“B＝∅，即方程mx＋1＝0无解”这一情形导致错误．2425一、选择题1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若∅ A，则A≠∅，其中正确的个数是(　　)A．1个　B．2个 C．3个 D．4个[答案]　A[解析]　空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．26[答案]　D 2728二、解答题3．设集合A＝{－1,1}，试用列举法写出下列集合．(1)B＝{x|x∈A}；(2)C＝{(x，y)|x，y∈A}；(3)D＝{x|x⊆A}．[解析]　(1)B＝{－1,1}．(2)C＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．(3)D＝{∅，{－1}，{1}，{－1,1}}．294．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求m的取值集合．•[解析]　∵B⊆A且B≠∅，故所求集合为{m|2≤m≤3}．若把条件B⊆A，改为(1)B A或(2)A B，请再求实数m的取值集合．305．已知集合A＝{1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和．[分析]　先写出集合A的所有子集，再求这些子集的所有元素之和．[解析]　集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素x出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.3132。