电路分析基础第3章 正弦交流电路.ppt

1 1 1 1第3章 正弦交流电路 3.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 3.2 正弦交流电的基本参数正弦交流电的基本参数 3.3 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法 3.4 R、、L、、C单一元件的正弦交流电路单一元件的正弦交流电路 3.5 RLC串联交流电路串联交流电路 3.6 复阻抗电路复阻抗电路 3.7 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率 3.8 电路中的串联谐振电路中的串联谐振 3.9 复杂正弦交流电路的稳态分析复杂正弦交流电路的稳态分析2 2 2 2　　本章主要讨论正弦交流电的基本概念、基本参数以及正弦量的相量表示法，阐述R、L、C单一元件及组合电路的正弦交流电路的工作情况，并讨论正弦交流电路的功率、谐振及分析方法等 3 3 3 3　　　　　　　　3.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念3.1.1 正弦交流电概述正弦交流电概述　　前面已讨论了直流电路的分析，在直流电路中电压或电流的大小和方向都是不随时间而变化的，但在交流电路中，电压或电流的大小和方向都随时间而变化交流电的电压、电流的变化规律多种多样，应用得最普遍的是按正弦规律变化的交流电。

　　正弦交流电在现代工农业生产及其他各方面都有着极为广泛的应用，例如电热、冶金、电讯、照明等许多方面都采用正弦交流电此外在许多场合需要用的直流电，如地下铁道、矿山电力牵引、城市电车、电镀以及电子技术等也多是由正弦交流电经过整流后得到直流电的4 4 4 4　　正弦交流电本身存在着独有的一些优良特性在所有周期性变化的函数中，正弦函数为简谐函数，同频率的正弦量通过加、减、积分、微分等运算后，其结果仍为同一频率的正弦函数，这样就使得电路的计算变得简单　　日常使用的正弦交流电可分为单相和三相两种单相电路中的一些基本概念、基本规律和基本分析方法同样适用于三相电路另外，在直流电路中所学的一些基本原理及分析方法等在交流电路中也同样适用，但要注意在交流电路中由于电压、电流等均为随时间变化的物理量，因此交流电路的分析方法与直流电路的分析方法相比较，还有一些概念上的差别，分析时应加以注意5 5 5 5　　如果电路中含有一个或几个频率相同并按正弦规律变化的交流电源，就称这种电路为正弦交流电路本章主要以单相正弦交流电路为例来阐述正弦交流电的一些基本概念、定律及分析方法等6 6 6 63.1.2 正弦交流电的方向正弦交流电的方向　　由于正弦交流电压或电流的大小和方向都在随时间作正弦规律变化，它的实际方向经常都在变动，如果不规定电压、电流的参考方向就很难用一个表达式来确切地表达出任何时刻电压、电流的大小及其实际方向。

参考方向的规定和前述直流电路中一样，电流的参考方向可用箭标或双下标表示，电压的参考方向可用“+”、“-”极性来表示例如图3.1.1(a)为一个正弦电流的波形图，图3.1.1(b)为假定电压、电流的参考方向7 7 7 7图3.1.1 正弦电流的波形及参考方向 8 8 8 8　　当正弦电压或电流的瞬时值u或i大于零时，正弦波形处于正半周，否则就处于负半周u或i的参考方向即代表正半周时的方向，也就是说，在正半周，由于u、i的值为正，所以参考方向与实际方向相同；在负半周，由于其值为负，所以参考方向与实际方向相反 9 9 9 9　　　　　　3.2 正弦交流电的基本参数正弦交流电的基本参数　　正弦交流电压、电流以及电动势统称为正弦量正弦量的特征表现在变化的大小(幅值)、快慢(频率)和初相位三个方面，所以幅值、频率和初相位是确定正弦交流电的三个要素3.2.1 正弦量的瞬时值、幅值和有效值正弦量的瞬时值、幅值和有效值　　　　电路在正弦交流电源的作用下将出现正弦电压和电流，即有　　　　u=Umsin(ωt+ψu) (3.2.1)　　　　　　i=Imsin(ωt+ψi) (3.2.2) 　　u和i的波形如图3.2.1所示。

10101010图3.2.1 正弦电压和电流的波形11111111　　正弦电压或电流在每一个瞬时的数值称为瞬时值，用小写字母u或i表示瞬时值中的最大值称为幅值，它用有下标m的大写字母Um或Im表示　　在正弦交流电的计算和分析中，计算每一瞬间的电压和电流的大小是没有多少实际意义的，为此引入一个表示正弦电压或电流大小的特定值，即有效值正弦电流的有效值是根据正弦电流与直流电流的热效应相等来规定的在图3.2.2所示的两个等值电阻里分别通以正弦电流i=Imsinωt和直流电流I，如果在相同的时间内(如一个周期T)两者所产生的热量相等，那么就把该直流电流I的数值定义为该正弦电流i的有效值12121212图3.2.2 正弦电流的有效值 13131313　　根据上述定义和微积分等相关知识推得 即电流有效值与幅值的关系为 同理可得正弦电压和电动势的有效值为 (3.2.3) 14141414　　我们一般所说的正弦电压或电流的大小都是指它们的有效值各种交流电压表和交流电流表的读数值也是指有效值，例如，常说的220V民用电，即为有效值　　有效值用大写字母表示，这和直流时是一样的，我们在使用时应注意区别。

151515153.2.2 正弦量的频率与周期正弦量的频率与周期　　正弦量完成一个循环变化所需的时间称为周期T，单位为秒(s)一秒内的周期数称为频率f，单位为赫兹(Hz)，简称赫，即周/秒可见，频率和周期互为倒数，即 　　正弦量的变化快慢还可以用角频率ω来表示对同一正弦波，横轴既可用时间t，又可用角度ωt来表示，如图3.2.3所示　　ω具有角速度的量纲，当t=T时，ωT=2π，故(3.2.5) (3.2.6)16161616图3.2.3 正弦电压波形 17171717式(3.2.6)表明，角速度(或角频率)ω表示在单位时间内正弦量所经历过的角度，其单位为弧度/秒，用rad/s表示　　由此可见，f、T、ω都是用来描述正弦量变化快慢的物理量，三者是相互关联的，我们只要已知其中之一，就可得知另外两个在我国和其他大多数国家都规定电力系统供电的标准频率是50Hz，习惯上称之为工频　　一般交流电机、照明负载及家用电器等都使用工频交流电但在其他不同的领域内则需使用各种不同的频率，以满足工程的需要18181818　　例3.2.1工频交流电的周期和角频率各为多少？　　解 因为f=50Hz，故有191919193.2.3 正弦量的初相和相位差正弦量的初相和相位差　　要完整地确定一个正弦量，除了要知道其幅值和频率外，还需知道正弦量的初相。

对于正弦电流i=Imsin(ωt+ψ)，其电角度(ωt+ψ)称为正弦量的相位角；当t=0(计时起点)时的相位角ψ就称为初相角，简称初相图3.2.4为不同初相时的正弦电流波形示意图　　初相角的单位可以用弧度或度来表示，初相角ψ的大小与计时起点的选择有关另外，初相角通常在|ψ|≤π的主值范围内取值20202020图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形 21212121　　在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦量之间的相位差例如在一个电路中，某元件的端电压u和流过的电流i频率相同，设　　　　　　　u=Umsin(ωt+ψu)　　　　　　　i=Imsin(ωt+ψi) 　　它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表示)为　　φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7)即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位差φ不随时间而变化22222222　　当φ=ψu-ψi>0时，这时u总是比i先经过零值或正的最大值，这说明在相位上u超前i一个φ角，或者说i滞后u一个φ角，如图3.2.5(a)所示　　当φ=ψu-ψi=0时，这说明u和i的初相相同，或者说u和i同相，如图3.2.5(b)所示。

　　当φ=ψu-ψi=180°时，这时u和i相位相反，或者说u和i反相，如图3.2.5(c)所示23232323图3.2.5 正弦电压和电流的相位差24242424　　例3.2.2某正弦电流完成一周变化所需时间为1ms,求该电流的频率和角频率　　解 25252525　　例3.2.3已知正弦电压u=100sin(628t-30°)V，求该正弦电压的幅值Um、有效值U、角频率ω、周期T和初相角ψ　　　解 Um=100V， 26262626　　例3.2.4若正弦电压u1=U1msintV,u2=U2msin(2t-30°)V,则　A.u2相位滞后u130°角 B.u2相位超前u130°角　　C.u2、u1同相　　D.以上三种说法都不正确　　解 D因为它们的频率不同，不能进行相位比较 27272727　　例3.2.5电流波形如图3.2.6所示，(1)计算两个正弦电流iA和iB的频率、有效值及iA与iB之间的相位差；(2)写出iA和iB的瞬时值表达式解 (1)因为　　　　，所以有 28282828(2)　　　　iA=14.1sin(314t+60°)A　　　　　iB=7.07sin(314t-30°)A 29292929图3.2.6 例3.2.5的波形图 30303030　　　　　　　　3.3 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法　　一个正弦量通常有两种表示法，一种是三角函数解析式，如i=Imsin(ωt+ψ)，这是正弦量的最基本表示法；另一种是用波形图来表示。

这两种方法均能正确无误地表达出正弦量的三要素但是，在正弦交流电路的分析和计算中，有时使用上述两种方法会显得相当繁琐，其结果还容易出错，因此在实际计算中往往采用相量表示法通过相量的运算可使电路的分析和计算变得十分简便313131313.3.1 有向线段与正弦函数有向线段与正弦函数　　一个正弦量可以用一个其初始角等于正弦量初相ψ的有向旋转线段来表示由于在正弦电路中各正弦量的频率是相同的，所以我们可将角频率ω这个要素暂时略去，只需要有向线段的长度和初始角即可，因此一个正弦量可用一个有向线段来唯一表示3.3.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法　　正弦量可以用有向线段来表示，而有向线段又可用复数来表示，因此可以用复数来表示正弦量相量表示法就是以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示 32323232图3.3.1 复数的表示 33333333　　一个复数A可以用下述几种形式来表示 　　　　1.代数形式代数形式　　　　　　A=a+jb 　　　　　　　　　　　　(3.3.1)式中，　　　　称为虚数单位　　2.三角形式三角形式　　　A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ) 　　　　(3.3.2) 式中，ψ称为A的辐角。

34343434　　　　3.指数形式指数形式　　根据欧拉公式　　　ejψ=cosψ+jsinψ　　　　　　　 (3.3.3) 可以把复数A写成指数形式为　　　　　　A=rejψ 　　　　　　　(3.3.5) 或 35353535　　　　4.极坐标形式极坐标形式　　　　　　　A=r∠ψ 　　　　　　　 (3.3.6)式(3.3.6)是复数的三角形式和指数形式的简写形式　　上述几种复数的表达式可以互相转换复数的加减运算常用代数形式，而乘除运算则常用指数式和极坐标式　　为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“.”以示区别例如正弦电压u=Umsin(ωt+ψ)，则它的相量表示为　　今后在电路的分析中，若无特殊说明，一般是指有效值的相量形式36363636　　例3.3.1把下列复数化为代数形式　　(1)50∠60° (2)91.3∠-78° (3)58∠269°　　解 (1)50∠60°=50(cos60°+jsin60°)=25+j43.3　　(2)91.3∠-78°=91.3[cos(-78°)+jsin(-78°)]=19-j89.3　　(3)58∠269°=58(cos269°+jsin269°)=-1.01+j57.99　　例3.3.2某正弦电压u=20　 sin(ωt+30°)V，求其相量表达式。

　　解 其相量为37373737　　例3.3.3已知下列复数的代数形式，试求它们的极坐标形式 　　(1)j 　　(2)-j 　　(3)3-j4 　　(4)-2-j6　　解 (1)j=cos90°+jsin90°=1∠90°　　(2)-j=1∠-90°(3) (4) 38383838　　例3.3.4求下列相量所对应的正弦量　　(1) 　　　　　　　　(2) 　　(3) 　　　　　　　　　(4) 　　解　(1) 　　(2) 　　(3) 故 39393939　　(4) 故 404040403.3.3 相量图及相量运算相量图及相量运算　　　　1.相量图相量图　　在复平面上用有向线段表示相量就构成相量图有向线段的长度表示该相量的模，它与实轴的夹角就等于该相量的辐角如果有几个同频率的相量画在同一复平面中，则各有向线段的长度必须和它们的模成比例另外，在画相量图时，有时也可不必画出复平面上的实轴和虚轴　　需要说明的是，只有正弦量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则就无法进行比较41414141　　　　2.相量的四则运算相量的四则运算　　虽然相量图标示了各相量之间的大小和相位关系，在一定程度上能帮助我们定性地分析较复杂的问题，但从相量图中有时很难“看”出精确的结果，因此在作定量分析时大多采用相量分析法，即相量的四则运算来求解正弦交流电路。

　　(1)加减运算　　相量相加或相减的运算可用代数形式来进行例如设两个相量 　　　　　　A=a1+jb1, B=a2+jb2则　　A±B=(a1±a2)+j(b1±b2) 　　　 (3.3.7) 42424242　　相量相加或相减运算也可采用平行四边形法则在复平面上用作图法来进行，这种方法也称为相量图法图3.3.2(a)、(b)分别示出了两个相量A和B相加和相减的运算过程 43434343图3.3.2 两个相量相加和相减的几何意义 44444444　　(2)乘除运算　　A、B两个相量相乘时，用代数形式表示为用指数形式或极坐标形式，则有 或 　　可见，相量A乘以相量B的几何意义就是把相量A的模ra乘以B的模rb后再把相量A逆时针旋转一个角度ψb 45454545　　相量A除以相量B时，用代数形式表示为 　　用指数形式或极坐标形式表示为 或 (3.3.10) (3.3.11) 其几何意义相当于把相量A的模ra除以B的模rb后再把相量A顺时针旋转一个角度ψb 464646463.3.4 j的物理意义的物理意义　　根据欧拉公式　　　　ejψ=cosψ+jsinψ 　　当ψ=±90°时，则　　e±j90°=cos90°±jsin90°=±j 　　 (3.3.12) 可见，任意一个相量乘以+j后即逆时针(向前)旋转90°；乘以-j后即顺时针(向后)旋转90°，所以j被称为一个旋转90°的因子。

47474747　　例3.3.5已知A1=10+j3，A2=-2+j6，求　　(1)A1+A2 (2)A1·A2 (3) 　　解 (1)A1+A2=(10+j3)+(-2+j6)=8+j9　　(2)A1·A2=(10+j3)·(-2+j6)=-38+j54 　　　　(3) 484848483.3.5 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 　　　　1.KCL的相量形式的相量形式　　式中，ik可以是时间的任意函数例如对于正弦交流电路，这些电流都是同频率的正弦量，仅是幅值和初相位不同而已如改用电流的有效值相量则有 这即为KCL的相量形式 (3.3.13) 49494949　　　　2.KVL的相量形式的相量形式　　依KCL的分析，同理可知，在正弦交流电路中，沿任一回路的KVL相量形式为 　　可以看出：在形式上，它们和直流电路的KCL、KVL表达式是一样的，只要将正弦交流电路中的电压和电流改用相量表示就可以了(3.3.14) 50505050　　例3.3.6已知　　　　　　　　　，　　　　　　　　求i=i1+i2的表达式，并画出相量图　　解 先转换成相量的形式进行运算。

i1、i2的相量分别为　　总电流相量为  51515151　　最后将总电流的相量形式变换成正弦函数表达式为 其相量图如图3.3.3所示52525252图3.3.3 例3.3.6解图 53535353　　例3.3.7在图3.3.4所示电路中，已知各元件上的电压分别为　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　，电源频率为50Hz，求总电压u的表达式　　解 取顺时针方向为回路绕行方向，列写KVL的相量形式，有 故 54545454图3.3.4 例3.3.7的电路 55555555　　3.4 R、、L、、C单一元件的正弦交流电路单一元件的正弦交流电路　　　　我们在前面已介绍了三种无源二端元件R、L和C，在u、i取关联参考方向的前提下，它们各自的约束关系分别为u=Ri、　　　　和　　　　这里的u和i可为时间的任意函数，在正弦交流电路中，u和i便是时间的正弦函数为了采用相量来求解正弦交流电路，有必要将这三种元件的约束关系由瞬时表达式转化为相量表达式并讨论其功率方面的一些内容 565656563.4.1 电阻元件电阻元件　　　　1.电压与电流的相量关系电压与电流的相量关系　　　　图3.4.1(a)是一个线性电阻R的交流电路，在电阻元件交流电路中u和i是两个同频率的正弦量，在数值上它们之间的关系满足欧姆定律，而在相位上u与i是同相的，如图3.4.1(b)所示。

另外，线性电阻R的阻值是与u、i的频率无关的　　如将大小和相位综合起来考虑，可用相量形式来表示电压与电流的关系为用相量图表示如图3.4.1(c)所示 (3.4.1) 57575757图3.4.1 电阻元件的交流电路 58585858　　　　2.有功功率有功功率(平均功率平均功率)P　　图3.4.1(d)表示了线性电阻R的功率情况，在任意瞬间，把某元件的电压瞬时值和电流瞬时值的乘积称为该元件的瞬时功率，一般用小写字母p表示对于线性电阻R，它在任意时刻消耗的瞬时功率为(3.4.2) 59595959　　由式(3.4.2)可看出：p由两部分组成，第一部分是常数UI；第二部分是幅值为UI并以2ω角频率随时间而变化的交变量，这两部分合成的结果表现为瞬时功率的曲线总是为正，即p≥0，这说明电阻元件R在任何瞬间都是从电源吸收电能，并将电能转化为热能，这种转换是不可逆的能量转换过程，它与电阻R中某瞬间的电流方向无关　　瞬时功率虽能够充分表明电阻元件在交流电路中的物理特性，但由于它是一个随时间而变化的量，计算起来仍有不便，因此我们在进行计算时常取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电功率的大小，我们称之为平均功率并用大写字母P来表示，即有 60606060这里，用电压和电流的有效值来计算电阻元件所消耗的平均功率时，计算公式和直流电路中计算功率的公式完全相同，这也从另外一个侧面说明了交流有效值的“含义”。

　　值得强调的是，由于平均功率就是实际消耗的功率，我们有时又称之为有功功率有功功率的单位为瓦(W)或千瓦(kW)，它反映了一个周期内电路(这里为电阻R)消耗电能的平均速率关于“有功”二字的含义，要认真加以体会和注意(3.4.3) 61616161　　例3.4.1交流电压　　　　　　　　　　　　作用于50Ω电阻的两端，试写出电流的瞬时值表达式并计算电路的平均功率　解 设u、i为关联参考方向，电流的有效值为又由于电阻电路中u、i同相位，故有 则电路的平均功率(也就是电阻元件R消耗的功率)为　　　　　　　P=UI=220×4.4=968W 626262623.4.2 电感元件电感元件　　　　1.电压与电流的相量关系电压与电流的相量关系　　图3.4.2(a)是一个线性电感L的交流电路，根据电感元件L的物理特性，在取关联参考方向的情况下，uL和iL满足微分关系 对直流电路而言，由于稳态时电感电流iL为一恒定值，故这时没有感应电压uL，即uL=0，所以在直流电路中电感元件L相当于两端短接；而在交流电路中，由于iL随时间按正弦规律变化，就会在L两端产生感应电压uL，它仍为一正弦函数，这时它的物理特性是阻碍电流的变化。

63636363　　设iL=Imsinωt，则有 　　由此看出在理想电感电路中，uL和iL是同频率的正弦量并且在相位上uL超前电流iL90°，如图3.4.2(b)所示　　如用一个相量式来表达电感中电压和电流之间的大小和相位的关系，则此相量式可表述为或 (3.4.4) (3.4.5)64646464图3.4.2 电感元件的交流电路 65656565若令XL=ωL，则式(3.4.5)可写成 用相量图表示如图3.4.2(c)所示　　XL称为电感元件的感抗，它同样具有电阻的量纲，即其单位也是欧姆(Ω)，其大小与频率f及电感量L成正比频率越高或者是电感量越大则感抗XL就越大，它对电流的阻碍作用也就越大，所以在高频电路中XL趋于很大，电感元件L可看做开路；而对直流电路来说，由于f=0，感抗XL=0，此时电感元件就相当于短路，这和我们在前面所介绍的有关内容是十分符合的 (3.4.6) 66666666　　需注意的是，感抗XL是电感中电压与电流的幅值或有效值之比，而不是瞬时值的比值，所以不能写成XL=u/i，这与电阻电路是不一样的在电感元件中电压与电流之间成导数关系(u=L(di/dt))而不是正比关系。

另外，电感元件中电压和电流的相量式　　　　，它既包含了电压与电流间的大小关系U=XLI，又包含了电压超前电流90°的概念对于这一点我们要认真加以注意，在实际应用时要根据待求量的意义来进行分析考虑　　若电感中电流的初相不为零时，如　　　　　，则　　　　　　　　，即对于电感元件而言，电压总要超前于电流90°，其相位差φ=90°具有绝对性67676767　　　　2.电感元件的瞬时功率及无功功率电感元件的瞬时功率及无功功率　　图3.4.2(d)表示线性电感L的功率情况，设电感元件中电流和电压为　　　　　　　　　　i=Imsinωt　　则电感元件的瞬时功率为 (3.4.7) 68686868　　电感元件吸收的能量和释放的能量是相等的，这说明电感元件实际上是不消耗电能的，故其有功功率或平均功率应当为零当然，这也可通过数学推导来说明电感元件虽不消耗能量，但作为一种理想的电路元件，它在电路中要体现出自己本身的物理属性，这一属性表现在它与电源要进行能量的交换为了衡量这种能量交换的规模或程度，我们引入“无功功率”这一概念，规定无功功率等于瞬时功率的幅值如用符号Q来表示无功功率，则电感元件的无功功率为 69696969为了与有功功率相区别，无功功率Q的单位称为乏(Var)或千乏(kVar)。

　需要说明的是，一个实际的电感元件总是含有一定内阻的，它可看成是该内阻与一个理想电感串联而成 70707070　　例3.4.2一个线圈的电感L=10mH，设内阻忽略不计，接到　　　　　的电源上，求这时的感抗、电流和无功功率Q，并画出相量图；若电压幅值不变，而频率变为f′=50×103Hz，问感抗和电流又为多少？　　解 ω=314rad/s 　　相量图如图3.4.3所示 71717171图3.4.3 例3.4.2解图 72727272　　当f′=50×103Hz时，有 737373733.4.3 电容元件电容元件　　　　1.电压与电流的相量关系电压与电流的相量关系　　图3.4.4(a)是一个线性电容C的交流电路，在取关联参考方向的情况下，uC和iC满足微分关系 对于直流电路而言，由于稳态时电容中电压uC为一恒定电压，其变化率为零，这时电容中无电流通过，即iC=0，所以在直流电路中电容元件相当于两端开路；而在正弦交流电路中，由于电容C不断进行充电和放电，这时uC、iC均随时间按正弦规律变化74747474　　设uC=Umsinωt，则有 可见，在理想电容电路中，uC和iC都是同频率的正弦量，在相位上uC滞后iC90°，如图3.4.4(b)所示。

75757575图3.4.4 电容元件的交流电路 76767676　　如果规定当电压超前于电流时，其相位差φ为正；当电压滞后于电流时，φ为负这样做是为了便于说明电路是电感性的还是电容性的对电感元件，φ=90°；对电容元件，φ=-90°　　电容电压和电流间的相量式可表述为 或 77777777　　若令　　　　　，则式(3.4.9)可写成 　　用相量图表示如图3.4.4(c)所示 (3.4.10) 78787878　　XC称为电容元件的容抗，其单位同样是欧姆，其大小与频率f及电容C成反比当电压一定时，频率f越高、电容越大，则容抗XC就越小，它对电流的阻碍作用就越小，即电流I越大所以在高频电路中当XC趋于零时，电容元件可视为短路；而对直流电路而言，由于f=0，XC=∞，此时电容元件就可视为开路，这也与先前所讨论的结果相同，因此电容元件可以起到传输交流、隔离直流的作用　　直观地来说，XC与f、C成反比，这是因为f越高时电容器的充电和放电进行得越快，在同样电压作用下单位时间内电荷的移动量就越多，因而电流越大，也就是对应于XC越小；当电容C越大时，在同样电压下电容器所能容纳的电荷量就越多，因而电流越大。

79797979　　　　2.电容元件的瞬时功率及无功功率电容元件的瞬时功率及无功功率　　图3.4.4(d)表示线性电容C的功率情况，电容元件的瞬时功率为　　　p=ui=Umsinωt·Imsin(ωt+90°)=UmImsinωtcosωt　　　 =UIsin2ωt　　可以看出，电容元件吸收的功率与释放的功率相等，所以其平均功率为零，说明理想电容元件也不消耗功率，即有 80808080　　电容元件的无功功率QC表明电容器与电源之间能量交换的规模或程度，它仍定义为瞬时功率的幅值，但为了与电感元件相区别以及讨论问题方便起见，我们取电容元件的无功功率为负值，这时有 它的单位同样为乏(Var)或千乏(kVar) (3.4.11)81818181　　例3.4.3一个绝缘良好的电容器的电容C=10μF，接到　　　　　　　　　的电源上，试求容抗XC、电流相量　　、电流i的瞬时值表达式及无功功率　　解82828282　　　　　　　　3.5 RLC串联交流电路串联交流电路　　RLC串联交流电路如图3.5.1(a)所示，改用相量形式后的相量模型图如图3.5.1(b)所示，根据KVL可写出瞬时值表达式为相量表达式为 83838383图3.5.1 RLC串联交流电路 84848484其中,Z为R、L、C元件串联后的总阻抗 　　因为Z是阻抗的复数形式，故又称为复阻抗。

其实部是电阻部分，表达了阻抗的耗能性质；虚部是电抗部分，表达了阻抗的储能与交换性质　　注意Z是复数而不是正弦量，其模为|Z|，阻抗角为φ,则有(3.5.3) 85858585　　|Z|、R、X三者之间的关系可用一个直角三角形即阻抗三角形来表示，如图3.5.2所示，图3.5.3为RLC串联电路的相量图　　当XL>XC时，φ>0，此时感抗大于容抗，整个串联电路呈电感性；当XL

3.6.1 阻抗的串联阻抗的串联　　当多个阻抗串联时，有 其中 (3.6.1) 92929292　　这说明电路的总阻抗等于各部分阻抗相加，即串联总阻抗的电阻值等于各部分电阻之和，总电抗等于各部分电抗的代数和其中感抗取正号，容抗取负号　　各阻抗的分压为有一点需特别注意，在一般情况下　　　　　　|Z|≠|Z1|+|Z2|+…+|Zn|(3.6.2) 939393933.6.2 阻抗的并联阻抗的并联　　两个阻抗的并联可用一个等效阻抗Z来代替，并且有 或 　　若n个阻抗并联，则可推广为 (3.6.3) 94949494　　各阻抗的分流为(以两阻抗并联为例) 对于阻抗的并联我们同样要注意，在一般情况下 (3.6.4)95959595　　例3.6.1电路如图3.6.1所示，已知　　　　　　　　，R1=10Ω，R2=1000Ω，L=500mH，C=10μF，求电容电压uC　　解 R2与XC并联的等效阻抗为 96969696图3.6.1 例3.6.1的电路 97979797　　总等效阻抗为 故有 98989898　　　　　　　　　　3.7 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率3.7.1 瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率　　　　设交流负载的端电压u与i之间存在相位差φ。

φ的大小和正负由负载的具体情况确定因此负载的端电压u和i之间的关系可表示为　　　　　　　i=Imsinωt　　　　　　u=Umsin(ωt+φ) 　　负载取用的瞬时功率为99999999　　由式(3.7.1)可以看出瞬时功率是随时间变化的，当瞬时功率为正时，表示负载从电源吸收功率；为负时表示从负载中的储能元件(L或C)释放出能量送回到电源　　上述瞬时功率的平均值(即有功功率)为 　　可见，有功功率等于电路端电压有效值U和流过负载的电流有效值I的乘积再乘以cosφcosφ称为该负载或电路的功率因数，且cosφ≤11001001001003.7.2 无功功率无功功率　　　　不论电路的结构怎样，一个二端网络所消耗的无功功率等于该二端网络的端电压有效值与端口电流的有效值的乘积再乘以　与　之间的相位差φ的正弦，即　　　　　　　Q=UIsinφ (3.7.3) 　　需要注意的是，Q不仅用来表示电路的无功功率，也用来表示LC回路的品质因数，关于品质因数的说明将在稍后内容中介绍1011011011013.7.3 视在功率和功率三角形视在功率和功率三角形　　对于某个二端网络，它的视在功率等于其端电压有效值U和电流有效值I的乘积，习惯上以大写字母S表示视在功率，即　　　　　　　　　S=UI 　　　　　　　　　　(3.7.4)　　视在功率的单位是伏安(VA)或千伏安(kVA)。

　　平均功率、无功功率和视在功率间存在着一定的联系，即 (3.7.5) 102102102102　　显然，S和P、Q之间的关系也呈一个直角三角形的关系，我们称之为功率三角形，如图3.7.1所示如果是针对同一电路，它和先前所述的阻抗三角形和电压三角形(如图3.5.3所示)是相似三角形　　需要说明的是，虽然视在功率S具有功率的量纲，但它与有功功率和无功功率是有区别的视在功率的实际意义在于它表明交流电气设备能够提供或取用功率的能力交流电气设备的能力是由预先设计的额定电压和额定电流来确定的，我们有时称之为容量 103103103103图3.7.1 功率三角形 104104104104　　例3.7.1求图3.7.2中正弦交流电路的有功功率P和无功功率Q 　　解 105105105105图3.7.2 例3.7.1的电路 106106106106　　例3.7.2在图3.7.3所示二端网络中，已知　=10∠-15°A，Z=10∠30°Ω，求其视在功率S及功率因数 　　解解 107107107107图3.7.3 例3.7.2的电路 1081081081083.7.4 功率因数及其提高功率因数及其提高　　由前面的讨论可知电路的功率因数等于有功功率(或平均功率)与视在功率的比值，即 　　根据电压三角形和阻抗三角形，功率因数也可以表示为(3.7.6) 109109109109　　可见，电路功率因数的大小取决于电路中负载的性质和参数。

例如电阻炉和白炽灯可看成是电阻负载，它们只消耗电能，cosφ=1；而大量使用的交流异步电动机可看成是电阻与电感的串联，它既要消耗电能带动机械转动，又要与电源进行能量交换，其功率因数一般较低，约在0.5～0.85之间功率因数小于1，说明电源与负载之间发生能量交换，出现了无功功率Q=UIsinφ，这将会给供电系统带来不良后果，现从两方面加以说明 110110110110　　　　1. 电源设备的容量得不到充分利用电源设备的容量得不到充分利用　　当负载的功率因数cosφ<1时，电源设备能够供给负载的平均功率小于它的容量，即　　　　　　　　　P=UIcosφ

　　(2)设供电线路的内阻为R0，则线路功率损耗ΔP为 112112112112　　即当电源电压U和输送的有功功率P不变时，线路上的功率损耗与电流的平方成正比，或者说cosφ下降将引起ΔP明显增加总之，负载的功率因数低会造成供电设备不能充分发挥效能，这是一种很大的浪费我国电力部门规定电力用户功率因数不应低于0.9，否则将不予供电　　在实际供电线路中，功率因数低的根本原因是线路上接有大量的电感性负载，它们通过线路与发电设备进行大量的能量交换，使线路中电流增加，造成功率因数下降113113113113　　所谓提高功率因数，就是在不改变感性负载原有电压、电流并保证感性负载同样能取得所需要的无功功率的条件下，通过在感性负载两端并联电容来提高整个电路的功率因数并联电容后减少了感性负载与电源的能量交换规模，具体电路及各电量的相量关系如图3.7.4所示　　并联电容后，感性负载的电流和功率因数不变，仍为  114114114114图3.7.4 功率因数的提高 115115115115　　而电源电压和线路电流之间的相位差φ却变小了，即cosφ变大了此时电源与负载之间的能量交换减少，感性负载所需的无功功率的大部分或全部由并联电容供给，也就是说，能量交换主要或完全在感性负载和电容之间进行，因而使电源设备的负担减轻，从图3.7.4(b)中相量图可以看出，并电容前，电源的功率因数就是负载的功率因数cosφ1，电源电流就是感性负载中的电流I1；并电容后，由于电源供给的无功功率减少，使得电源电流I小于负载电流I1，电源的功率因数由原来的cosφ1增大到cosφ。

116116116116　　并联电容的大小取决于提高后的功率因数，在电源电压U和负载的平均功率P一定的条件下，功率因数由cosφ1提高到cosφ所需电容C的大小可用下述方法计算　　由图3.7.4(b)可以看出，通过电容的电流为又因为　　　　　　　　，代入式(3.7.7)可解出(3.7.7) 117117117117　　上述提高功率因数的方法是用容性无功功率去补偿感性无功功率，以减轻电源的负担，这个电容一般称为补偿电容实际上，对于每个感性负载都并上一个电容来提高功率因数是不经济的，一般采用集中补偿的方法，即对于每个用电单位，集中用一组电容来补偿该单位中所有的感性负载的无功功率从理论上讲，将cosφ提高到1时，电源设备可以得到最充分的利用，但从经济指标上讲，供电部门只要求用户将cosφ提高到0.9以上就可以了(3.7.8) 118118118118　　　　　　　　　　3.8 电路中的串联谐振电路中的串联谐振　　在具有电感和电容元件的电路中，电路两端的总电压与电路中的电流一般是不同相的，当调节电感、电容或者调节电源的频率使总电压相量与电流相量同相时，电路中就产生了谐振现象产生谐振现象的电路称为谐振电路。

研究谐振的目的就是要认识这种客观现象，并在生产上充分利用谐振特性，同时又要预防它所产生的危害按照发生谐振的电路不同，谐振可分为串联谐振和并联谐振，在本章中主要讨论串联谐振 1191191191193.8.1 串联谐振条件串联谐振条件　　图3.8.1(a)所示为RLC串联电路的相量模型图，我们在讨论RLC串联电路时已知，当XL=XC时，φ=0，此时阻抗最小，电路呈电阻性，这时称电路发生了串联谐振，发生谐振时的相量图如图3.8.1(b)所示　　当发生串联谐振时，因　　与　　同相，这时电路的等效复数阻抗的虚部应等于零，即 将式(3.8.1)整理后可得 或 (3.8.1) 或 (3.8.2) 式中，ω0和f0分别称为谐振角频率和谐振频率 120120120120图3.8.1 串联谐振 1211211211213.8.2 串联谐振的特性串联谐振的特性　　(1)谐振时XL=XC，电路阻抗为　　　　　　　Z=R+j(XL-XC)=R 　　(2)在电源电压不变的情况下，因阻抗值最小，故这时电流值达到最大 122122122122　　(3)由于XL=XC，所以电感两端与电容两端的电压有效值的大小相等、相位相反，即　　　　　，这时总体对外呈抵消状态，故此时电源电压　　　　　　 。

但若XL=XC>>R，则UL=UC>>U，即出现了电路中部分电压远大于电源电压的现象，基于此我们有时又将串联谐振称为电压谐振电感或电容上产生过电压可能导致线圈和电容的绝缘层被击穿，危及设备和人身安全，对此我们要有充分的认识和注意123123123123　　(4)因谐振时电流与总电压同相，故阻抗角φ=0，电路呈纯电阻性，电路的有功功率为　　　　　　　P=UIcosφ=UI=S而无功功率　　　　　　　Q=UIsinφ=0 　　这说明在串联谐振时电源供给的能量全部是有功功率并被电阻所消耗，电源与电路之间不发生能量的互换，能量的互换仅发生在电感线圈与电容器之间 124124124124　　(5)发生串联谐振时，电感电压或电容电压的有效值与总电压有效值之比等于电路的品质因数Q即　　品质因数表明在串联谐振时，电感或电容元件上的电压是总电压的Q倍　　LC回路的品质因数Q的物理意义：它表示LC回路在一个周期中损耗能量的快慢程度，其值为回路储存的总能量与一个周期内损耗的能量之比 (3.8.3) 125125125125　　例3.8.1 RLC串联工频交流电路中，已知电源电压U=220V，电流I=10A，且u与i同相，电感电压UL=471V，求R、L和C值。

　　解 因为u与i同相，电路发生串联谐振，故有126126126126　　例3.8.2图3.8.2所示正弦交流电路，已知　　　　　　　　　，电容调至C=0.2μF时，电流表读数最大，Imax=10A，求R、L　　解 由 　　　　　　　　　可知， 　　当　　　　时，电路发生串联谐振，电流I有最大值，故 127127127127图3.8.2 例3.8.2的电路 1281281281283.8.3 串联谐振的应用串联谐振的应用　　　　串联谐振在无线电工程中的应用较为广泛例如收音机的接收电路就是利用串联谐振来选择电台信号的，每个电台都有它自己的广播频率，即发射不同频率的电磁波信号 　　各种频率信号经过收音机天线时，如图3.8.3(a)所示，就会在天线线圈L1中感应出各种频率的电信号，由于天线线圈与LC电路的互感作用，又在LC回路中感应出不同频率的电信号u1、u2、u3…，其示意图如图3.8.3(b)所示如果调节可变电容C，使电路对某一电台频率信号产生谐振，那么这时LC回路中该频率的信号最大，在可变电容两端这种频率的电压也就最高该频率的电压经过处理与放大，129129129129图3.8.3 收音机接收电路 130130130130然后转变成声音传播出来，人们就接收到了这种频率的广播节目。

而对于其他频率的信号，虽然也出现在收音机的接收电路中，但由于电路对它们没有发生谐振，电路呈现的阻抗很大，流很小，在可变电容两端产生的电压很低，所以人们也就收听不到这些频率的广播节目，这样接收电路就起到了选择某电台信号而抑制其他电台信号干扰的作用　　最后，再来讨论一下有关谐振曲线方面的一些内容在RLC串联电路中，在电压一定的条件下，对应于不同频率可求出不同的电流有效值我们把电流与频率之间的关系曲线称为谐振曲线，如图3.8.4(a)所示131131131131图3.8.4 谐振曲线 132132132132　　在谐振曲线中，把电流值等于谐振电流I0的70.7%或　　的两处频率值分别称为下限频率f1和上限频率f2，它们之间的频率间隔称为通频带宽度fbw，即　　　　　　fbw=Δf=f2-f1　　　　　 (3.8.4)它是一个反映交流电路对信号频率适应能力的指标　　另外，谐振曲线的尖锐或平坦与电路的品质因数Q有关，如图3.8.4(b)所示，在L、C不变的条件下，品质因数Q值越大，说明电路中R越小，电流值就越大，谐振曲线也就越尖锐，这时在电容C两端的电压值UC也就越大，因此Q值越大，串联谐振电路的选择性就越强。

可以发现品质因数Q、谐振频率f0和通频带宽度fbw(Δf)之间存在如下关系(3.8.5) 133133133133　　例3.8.3一台收音机磁棒线圈的等效电阻R=20Ω，电感L=250μH，调节电容器用以收听某电台990kHz的节目，求这时的电容值及电路的品质因数 　　解 由公式　　　　　可得 电路的品质因数为 134134134134　　　　　3.9 复杂正弦交流电路的稳态分析复杂正弦交流电路的稳态分析　　对于较为复杂的正弦交流电路，不论电路的结构怎样，电路中的有关电流相量和电压相量都应遵守相应的KCL和KVL的相量形式，并且每个元件的端电压相量和电流相量之间也必须遵守元件约束关系的相量形式所以我们在前面所阐述的电路分析方法同样可用来对正弦交流电路进行分析与计算但必须注意的是，电压和电流应以相量表示，各种元件参数要用复数阻抗来表示　　例3.9.1图3.9.1所示正弦交流电路中，已知U=10V，　　　　，电路有功功率P=10W，求R和ωL 135135135135图3.9.1 例3.9.1的电路 136136136136　　解 因为在电路中只有电阻消耗有功功率,故 137137137137　　例3.9.2 日光灯电路在正常工作时实际上就是一个R、L串联电路。

今测其实际工作电压U=220V，电流I=0.36A，功率P=44.6W，试求R和L，并求其功率因数 　　解 又因 138138138138代入相关数值后求得 139139139139　　例3.9.3 设有一台有铁心的工频感应加热炉，其额定功率PN为100kW，额定电压为380V，功率因数为0.707　　(1)设电炉在额定电压和额定功率下工作，求它的额定视在功率SN和无功功率QN；　　(2)设负载的等效电路由串联R、L元件组成，求出它的等效参数R和L 　　解 (1) 140140140140　　(2) 141141141141　　例3.9.4正弦交流电路如图3.9.2所示，当开关S打开或闭合时，电流表、功率表读数均不变已知正弦交流电源频率为50Hz，U=250V，I=5A，P=1000W，试求R和C 　　解 开关S闭合时，有 142142142142图3.9.2 例3.9.4的电路 143143143143　　开关S打开时，有 　　即 求得 144144144144　　例3.9.5在图3.9.3所示电路中，已知I1=10A，　　　　　，U=200V，R1=5Ω，R2=XL，试求I、R2、XL、XC。

 　　解 设电容电压　　　　　　，根据已知条件可画出相量图如图3.9.4所示，可得 　　由于　　与　　同相，说明电路发生谐振，有 145145145145 将R2=XL代入，求得R2=XL=7.5Ω 146146146146图3.9.3 例3.9.5的电路147147147147图3.9.4 例3.9.5的解图 。